江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 數(shù)列 規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問題學(xué)案
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江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 數(shù)列 規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問題學(xué)案
江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 數(shù)列 規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問題學(xué)案典例5(16分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1a,(an1)(an11)6(Snn),nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若對任意的nN*,都有Snn(3n1),求實數(shù)a的取值范圍;(3)當(dāng)a2時,將數(shù)列an中的部分項按原來的順序構(gòu)成數(shù)列bn,且b1a2,求證:存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列bn審題路線圖(1) (2)(3)規(guī) 范 解 答·分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板(1)解當(dāng)n1時,(a11)(a21)6(S11),故a25;當(dāng)n2時,(an11)(an1)6(Sn1n1),所以(an1)(an11)(an11)(an1)6(Snn)6(Sn1n1),即(an1)(an1an1)6(an1)又an0,所以an1an16,3分所以a2k1a6(k1)6ka6,a2k56(k1)6k1,kN*,故數(shù)列an的通項公式為an5分(2)解當(dāng)n為奇數(shù)時,n1為偶數(shù),所以an3na3,an13n2,所以(3na31)(3n21)6(Snn),整理得Sn(3na2)(n1)n.由Snn(3n1),得a對nN*恒成立令f(n)(nN*),則f(n1)f(n)0,所以f(n)(nN*)單調(diào)遞增,f(n)minf(1)4,所以a4.8分當(dāng)n為偶數(shù)時,n1為奇數(shù),an3n1,an13na,所以(3n11)(3na1)6(Snn),整理得Sn,由Snn(3n1)得,a3(n1)對nN*恒成立,所以a9.又a1a0,所以實數(shù)a的取值范圍是(0,4.10分(3)解當(dāng)a2時,若n為奇數(shù),則an3n1,所以an3n1(nN*)因為數(shù)列bn的首項是b15,其整數(shù)倍的最小項是a720,故可令等比數(shù)列bn的公比q4m(mN*),因為b1a25,所以bn5·4m(n1)設(shè)km(n1),因為14424k1,所以4k3(14424k1)1,所以5·4k53(14424k1)135(14424k1)21.14分因為5(14424k1)2為正整數(shù),所以數(shù)列bn是數(shù)列an中包含的無窮等比數(shù)列又公比q4m(mN*)有無數(shù)個不同的取值,對應(yīng)著不同的等比數(shù)列,故無窮等比數(shù)列bn有無數(shù)個.16分第一步找關(guān)系,求通項:根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關(guān)系第二步巧轉(zhuǎn)化,定方法:根據(jù)要證式子或所求結(jié)論的結(jié)構(gòu),進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,如對數(shù)列求和,將數(shù)列函數(shù)化討論數(shù)列的性質(zhì)等確定解題方法第三步寫步驟,再反思:確定解題方案后要認(rèn)真規(guī)范書寫解題步驟,數(shù)列綜合問題一般為壓軸題,難度較大,要有搶分意識,不放過任何一個得分點.評分細(xì)則(1)求出an的遞推公式給3分;(2)求出an的通項公式給2分;(3)討論n為奇數(shù)的情況給3分;(4)討論n為偶數(shù)的情況給2分;(5)求出bn的通項公式給4分;(6)證明出最后結(jié)果給2分跟蹤演練5(2018·南通、徐州等六市調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列a1,a2,a3,a4的公比為q,等差數(shù)列b1, b2,b3,b4的公差為d,且q1,d0.記ciaibi (i1,2,3,4)(1)求證:數(shù)列c1,c2,c3不是等差數(shù)列;(2)設(shè)a11,q2.若數(shù)列c1, c2, c3是等比數(shù)列,求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;(3)數(shù)列c1,c2, c3,c4能否為等比數(shù)列?并說明理由(1)證明假設(shè)數(shù)列c1,c2,c3是等差數(shù)列,則2c2c1c3,即2. 因為b1,b2,b3是等差數(shù)列,所以2b2b1b3.從而2a2a1a3.又因為a1,a2,a3是等比數(shù)列,所以aa1a3.所以a1a2a3,這與q1矛盾,從而假設(shè)不成立所以數(shù)列c1,c2,c3不是等差數(shù)列(2)解因為a11, q2,所以an2n1. 因為cc1c3,所以2,即b2d23d, 由c22b20,得d23d20,所以d1且d2.又d0,所以b2d23d,定義域為.(3)解設(shè)c1,c2,c3,c4成等比數(shù)列,其公比為q1,則則將2×得, a1(q1)2c1(q11)2, 將2×得, a1q2c1q12, 因為a10, q1,由得c10, q11.由得qq1,從而a1c1.代入得b10.再代入,得d0,與d0矛盾所以c1,c2,c3,c4不成等比數(shù)列