考點(diǎn)46 隨機(jī)抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例一、選擇題1. （2013·四川高考文科·7）某學(xué)校隨機(jī)抽取個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示。以組距為將數(shù)據(jù)分組成，時，所作的頻率分布直方圖是（ ）【解析】選A.由0,5),5,10)內(nèi)的頻數(shù)均為1,可知頻率分布直方圖中的高度相等,可以排除選項(xiàng)B;由于分組時按照組距為5分的,而選項(xiàng)C,D的組距為10,故錯誤;所以選A.2. （2013·重慶高考理科·4）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）.甲組乙組90921587424已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則、的值分別為（ ）A. 2,5 B. 5,5 C. 5,8 D. 8,8【解題指南】直接利用中位數(shù)和平均數(shù)的定義進(jìn)行求解.【解析】選C. 因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，所以易知,又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,所以,解得.故選C.3. （2013·重慶高考文科·6）下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22,30）內(nèi)的概率為（ ）A.0.2 B.0.4C.0.5 D.0.6【解題指南】直接根據(jù)數(shù)據(jù)的總個數(shù)和落在區(qū)間22,30）內(nèi)的個數(shù)求解即可.【解析】選B. 落在區(qū)間20,30）內(nèi)的個數(shù)為4個,總的數(shù)據(jù)有10個,故概率為0.4.選B.4.（2013·湖南高考理科·2）某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（ ）A抽簽法 B隨機(jī)數(shù)法 C系統(tǒng)抽樣法 D分層抽樣法【解題指南】 本題要弄懂三種抽樣方法之間的區(qū)別和聯(lián)系。 【解析】選D.簡單隨機(jī)抽樣適用于樣本較小的抽樣,選項(xiàng)A,B不適合,系統(tǒng)抽樣適用于樣本容量大且總體差異不明顯,所以選項(xiàng)C不適合.本題樣本男女差異明顯,適合分層抽樣.故選D.5. （2013·湖南高考文科·3）某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件。為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=（ ）A.9 B.10 C.12 D.13【解題指南】用分層抽樣時，各層的抽樣比是一樣的。【解析】選D，因?yàn)?，所以。故選D。6.（2013·江西高考文科·5）與（2013·江西高考理科·4）相同總體由編號為01，02，19，20的20個個體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為( )7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01【解題指南】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法選取編號.【解析】選D.由題意知選定的第一個數(shù)為65（第1行的第5列和第6列），按由左到右選取兩位數(shù)（大于20的跳過、重復(fù)的不選?。?個個體編號為08、02、14、07、01.故選出來的第5個個體的編號為01.7.（2013·安徽高考理科·5）某班級有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機(jī)詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的成績,五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是()A.這種抽樣方法是一種分層抽樣B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D.該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)【解題指南】分別計算出男、女兩同學(xué)的平均數(shù)和方差。 【解析】選C.因?yàn)樗运?，故選C。8.（2013·福建高考理科·4）某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖。已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（ ）A.588 B.480 C.450 D.120 【解題指南】切記，直方圖的縱坐標(biāo)不是頻率，而是頻率比組距【解析】選B.大于60分的頻率為，所以所求學(xué)生人數(shù)為人.9.（2013·福建高考文科·11）已知之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：123456021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為求得的直線方程為則以下結(jié)論正確的是（ ）A B C D【解題指南】審題時,要注意“直線方程”和“回歸直線”的區(qū)別?！窘馕觥窟xC過和的直線方程為,畫出六點(diǎn)的散點(diǎn)圖,回歸直線的大概位置如圖所示,顯然增長率,10. （2013·湖北高考文科·4）四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論： y與x負(fù)相關(guān)且； y與x負(fù)相關(guān)且； y與x正相關(guān)且； y與x正相關(guān)且.其中一定不正確的結(jié)論的序號是 （ ）A B C D 【解題指南】x的系數(shù)的符號決定變量x,y之間的正、負(fù)相關(guān)關(guān)系.【解析】選D.x的系數(shù)大于0為正相關(guān),小于0為負(fù)相關(guān).11.（2013·山東高考文科·10）將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場做的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以表示： 則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為（ ）A. B. C.36 D.【解題指南】先將數(shù)據(jù)寫出，去掉最高分和最低分，根據(jù)平均數(shù)求出x的值，利用方差公式求7個剩余分?jǐn)?shù)的方差.【解析】選B.這組數(shù)據(jù)為87,87,94,90,91,90,9x,99,91,最高分為99，最低分為87，剩余數(shù)據(jù)為87,94,90,91,90,9x,91. ，所以方差為.12. （2013·陜西高考理科·4） 某單位有840名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法, 抽取42人做問卷調(diào)查, 將840人按1, 2, , 840隨機(jī)編號, 則抽取的42人中, 編號落入?yún)^(qū)間481, 720的人數(shù)為 ( )A. 11B. 12C. 13D. 14【解題指南】統(tǒng)計中不管哪種抽樣方法都需保證抽樣的等可能性，即不管什么抽樣方法，每個個體入選的概率都是相等的.【解析】選B.根據(jù)抽樣方法的等概率性可知，每人入選的概率是，由題設(shè)可知區(qū)間481, 720的人數(shù)為240，所以編號落入?yún)^(qū)間481, 720的人數(shù)為.13. （2013·陜西高考文科·5）對一批產(chǎn)品的長度(單位:mm)進(jìn)行抽樣檢測,下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn),產(chǎn)品長度在區(qū)間20,25)上的為一等品,在區(qū)間15,20)和區(qū)間25,30)上的為二等品,在區(qū)間10,15)和30,35上的為三等品.用頻率估計概率,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,則其為二等品的概率為()A. 0.09B. 0.20 C. 0.25D. 0.45【解題指南】根據(jù)頻率分布直方圖中縱軸的意義,計算樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間15,20)和區(qū)間25,30)上的頻率,用頻率代替概率得二等品的概率.【解析】選D.組距為5，二等品的概率為.所以，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其是二等品的概率為0.45.14. （2013·遼寧高考文科·5）與（2013·遼寧高考理科·5）相同某班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是（ ）【解題指南】 利用頻率分布直方圖，計算出低于60分的人數(shù)的頻率，利用頻數(shù)除以相應(yīng)的頻率得總?cè)藬?shù)【解析】選B. 由頻率分布直方圖，計算出低于60分的人數(shù)的頻率（前兩個小矩形的面積）則總?cè)藬?shù)為15.（2013·新課標(biāo)高考理科·3）為了了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況,擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大,在下面抽樣方法中,最合理的抽樣方法是()A.簡單隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣【解題指南】利用三種抽樣:簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣的概念和性質(zhì)進(jìn)行判斷.【解析】選C.小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異而男女生視力情況差異不大,故選用按學(xué)段分層抽樣的抽樣方法.二、填空題16. (2013·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T6)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運(yùn)動員的5次訓(xùn)練成績(單位:環(huán)),結(jié)果如下:運(yùn)動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動員成績的方差為.【解題指南】利用平均數(shù)公式與方差公式求解可得結(jié)果.【解析】,故,【答案】2.17. （2013·遼寧高考文科·16）與（2013·遼寧高考理科·16）相同為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)。已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_.【解題指南】借助題目條件，樣本數(shù)據(jù)中最大的不會超過12，采用逐一討論的方法【解析】由定義知，樣本的方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，若設(shè)互不相同的樣本數(shù)據(jù)分別為，且，則有，即，若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11，不妨設(shè)，則可得，由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，這是不可能成立的；若樣本數(shù)據(jù)為4,6,7,8,10，代入驗(yàn)證可知符合題目要求，此時樣本數(shù)據(jù)中最大值為10.故最大值為10.【答案】.18. （2013·湖北高考理科·11）從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示（1）直方圖中x的值為 （2）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間100,250內(nèi)的戶數(shù)為 【解題指南】各小矩形的面積即每小組的頻率，面積和為1，矩形的高是頻率比組距。 【解析】(1)50x=1-50×(0.0012+0.0024×2+0.0036+0.0060)=0.22,x=0.0044.(2)100×(0.18+0.3+0.22)=70.【答案】(1)0.004 4(2)70.19. （2013·湖北高考文科·12）某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4則（）平均命中環(huán)數(shù)為 ； （）命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 .【解析】，=4， 【答案】7； 2.三、解答題20. （2013·重慶高考文科·17）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入（單位：千元）與月儲蓄（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得，（）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄附：線性回歸方程中，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為【解題指南】根據(jù)公式可直接求出回歸直線方程,然后根據(jù)回歸方程解決相關(guān)問題.【解析】（）由題意知,又由此得故所求回歸方程為.（）由于變量的值隨的值增加而增加,故量與之間是正相關(guān).（）將代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為(千元).21.（2013·安徽高考文科·17）為調(diào)查甲、乙兩校高三年級學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況,用簡單隨機(jī)抽樣,從這兩校中各抽取30名高三年級學(xué)生,以他們的數(shù)學(xué)成績(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:（）若甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率（60分及60分以上為及格）；（）設(shè)甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為，估計 的值。【解析】（）設(shè)甲校高三年級學(xué)生總數(shù)為n，由題意知，樣本中甲校高三年級學(xué)生成績不及格人數(shù)為5，據(jù)此估計甲校高三年級此次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績及格率為。（）設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為，根據(jù)樣本莖葉圖可知，=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此，故的估計值為0.5分.22.(2013·福建高考文科·T19) 某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組: 分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率.(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【解題指南】分層抽樣,等比例取人,讀出直方圖的信息,羅列基本事件,根據(jù)古典概型,求出相應(yīng)概率,按卡方公式計算.根據(jù)表格讀出把握性.【解析】(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名,所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05=3(人),記為A1,A2,A3.25周歲以下組工人有40×0.05=2(人),記為B1,B2.從中隨機(jī)抽取2名工人,所有可能的結(jié)果共有10種,即:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少抽到一名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種,是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求概率P=.(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手60×0.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手40×0.375=15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下:生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計周歲以上組周歲以下組合計所以得：因?yàn)?，所以沒有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.23. （2013·新課標(biāo)高考文科·18）為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥,B藥)的療效,隨機(jī)地選取20位患者服用A藥,20位患者服用B藥,這40位患者在服用一段時間后,記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位:h)實(shí)驗(yàn)的觀測結(jié)果如下:服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（）分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好.（）根據(jù)兩種數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好.【解析】設(shè)藥觀測數(shù)據(jù)的的平均數(shù)為，藥觀測數(shù)據(jù)的的平均數(shù)為，由觀測結(jié)果可得由以上計算結(jié)果可得，因此可以看出藥的療效更好.（）由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖從以上莖葉圖可以看出，藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖上，藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖上，由此可以看出藥的療效更好.