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1、第三十八周 最大最小問題 專題簡(jiǎn)析： 在日常生活中，人們常常會(huì)遇到“路程最近”、“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最少”等問題，這些尋求極端結(jié)果或討論怎樣實(shí)現(xiàn)這些極端情形的問題，最終都可以歸結(jié)成為：在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問題，我們稱這些問題為“最大最小問題”。 解答最大最小問題通常要用下面的方法： 1，枚舉比較法。當(dāng)題中給定的范圍較小時(shí)，我們可以將可能出現(xiàn)的情形一一舉出再比較； 2，著眼于極端情形，即充分運(yùn)動(dòng)已有知識(shí)和生活常識(shí)，一下子從“極端”情形入手，縮短解題過程。 例題1 把1、2、3、…、16分別填進(jìn)圖中16個(gè)三角形里，使每邊上7個(gè)小三角形內(nèi)數(shù)的和相等。問這個(gè)

2、和最大值是多少？ 分析 為了方便描述，我們把圖中部分三角形注上字母，從圖中可以看出：中心處D中填的數(shù)和三條邊上的和沒有關(guān)系，因此，應(yīng)填最小的數(shù)1。而三個(gè)角上的a、b、c六個(gè)三角形中的數(shù)都被用過兩次，所以要盡可能填大數(shù)，即填11——16。然后根據(jù)“三角形三邊上7個(gè)小三角形內(nèi)數(shù)的和相等”這一條件，就可以計(jì)算出這個(gè)和的最大值了。 （2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72 練習(xí)一 1，將5、6、7、8、9、10六個(gè)數(shù)分別填入圓圈內(nèi)，使三角形每條邊上的和相等，這個(gè)和最大是多少？ 2，把2——9分別填入下圖圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)的和相等，并且最大。

3、 3，將1——9這九個(gè)自然數(shù)分別填進(jìn)九個(gè)小三角形中，使每4個(gè)小三角形組成的三角形內(nèi)的4個(gè)數(shù)的和都等于20。 例題2 有8個(gè)西瓜，它們的重量分別是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它們分成三堆，要使最重的一堆西瓜盡可能輕些，那么，最重的一堆應(yīng)是多少千克？ 分析 3堆西瓜的總重量是42.5千克，要使最重的一堆盡可能輕些，另兩堆就得盡可能重些。 根據(jù)42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8。5千克組成，另外兩堆分別是14千克。 練習(xí)二 1，一把鑰匙只能開一把鎖?，F(xiàn)有9把鑰匙和9把鎖，但

4、不知道哪把鑰匙開哪把鎖。最多要試開多少次才能配好全部鑰匙和鎖？ 2，如果四個(gè)人的平均年齡是25歲，其中沒有小于17歲的，且四人年齡都不相同。那么年齡最大的最多是幾歲？ 3，五位同學(xué)捐款，他們捐的錢有3張1元的，4張2元的，3張5元的和3張10元的。這五位同學(xué)捐款數(shù)各不相同，問：捐款最多的同學(xué)至少捐了多少元？ 例題3 一次數(shù)學(xué)考試滿分100分，6位同學(xué)平均分為91分，且6人分?jǐn)?shù)互不相同，其中得分最少的同學(xué)僅得65分，那么排第三名的同學(xué)至少得多少分？（分?jǐn)?shù)取整數(shù)） 分析 除得65分的同學(xué)外，其余5位同學(xué)的總分是91×6－65=481分。根據(jù)第三名同學(xué)得分要至少，也就說其他四人得分要盡量

5、高，第一、第二名分別得100分和99分，而接近的三個(gè)不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。 練習(xí)三 1，一個(gè)三位數(shù)除以43，商a余數(shù)是b（a、b都是整數(shù)），求a＋b的最大值。 2，如下圖，有兩條垂直相交的線段AB、CD，交點(diǎn)為E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD取3個(gè)點(diǎn)畫三角形，問：怎樣取三個(gè)點(diǎn)，畫出的三角形面積最大？ 3，一次考試滿分100分，5位同學(xué)平均分是90分，且各人得分是不相同的整數(shù)。已知得分最少的人得了75分，那么，第一名同學(xué)至少得了多少分？ 例題4 一個(gè)農(nóng)場(chǎng)里收的莊稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一種莊稼需要先收割好、捆好，然后往回運(yùn)輸?，F(xiàn)

6、由兩個(gè)小組分別承包這兩項(xiàng)工作，工時(shí)如下表（一種莊稼不割好、捆好，不準(zhǔn)運(yùn)輸），這兩組從開工到完工最少經(jīng)過多少小時(shí)？ 分析 先把各類莊稼從開工到完工所用的時(shí)間分別算出來：大豆7+5=12小時(shí)，谷子3+6=9小時(shí)，高梁5+1=6小時(shí)，小米5+9=14小時(shí)。平均每個(gè)小組用（12+9+6+14）÷2=20.5小時(shí)，但實(shí)際做不到。因此，根據(jù)各類莊稼所需時(shí)間相加，使其最接近20.5小時(shí)。 12+9=21小時(shí)是最少經(jīng)過的時(shí)間。 練習(xí)四 1，三個(gè)老師為7位不同的扮演者化妝，這7位同學(xué)化妝需要的時(shí)間分別為8、12、14、17、18、23、30分鐘。如果三位老師化妝速度相同，問最少經(jīng)過多少時(shí)間完成化妝

7、任務(wù)？ 2，甲、乙、丙三位同學(xué)為7棵樹苗澆水，由于各棵樹路程的遠(yuǎn)近關(guān)系，需澆水的時(shí)間分別為：4、5、6、6、8、9、9分鐘。現(xiàn)三人各自同時(shí)開始，至少幾分鐘全部澆完？ 3，有五人來理發(fā)，按發(fā)型所用時(shí)間是10、12、15、22和24分鐘。由兩位師傅同時(shí)為這五人理發(fā)，問怎樣安排，使五人理發(fā)和等候的時(shí)間總和最少，最少是多少分鐘？ 例題5 A、B、C是三個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，從A出發(fā)經(jīng)過B到達(dá)C要走18千米，從A經(jīng)過C到B要走16千米，從B經(jīng)過A到C要走24千米。相距最近的是哪兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)？它們之間相距多少千米？ 分析 根據(jù)題意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用（1

8、8+16+24）÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。B、C兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的距離最近，只相距5千米。 練習(xí)五 1，人民路兩側(cè)有三家大商店，從甲店經(jīng)過乙店到丙店要走300米，從乙店經(jīng)過丙店到甲店要走350米，從丙店經(jīng)過甲店到乙店要走250米。哪兩家店之間的距離最近？相距多少米？ 2，在期中測(cè)試中，小華語文和數(shù)學(xué)平均成績(jī)是96分，數(shù)學(xué)和作文平均成績(jī)是88分，語文和作文平均成績(jī)是86分。求小華的這三門功課哪門得分最高，是多少分？ 3，十個(gè)參賽者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5個(gè)和第6個(gè)人的平均分是多少分？