21 1一元二次方程 第二十一章一元二次方程 一 情境導(dǎo)入 雷鋒紀(jì)念館前的雷鋒雕像高為2m 設(shè)計者當(dāng)初設(shè)計它的上部 腰以上 與下部 腰以下 的高度比 等于下部與全部 全身 的高度比 即下部高度的平方等于上部與全部的積 如果設(shè)此雕像的下部高為xm 則其上部高為 2 x m 由此可得到的等 量關(guān)系如何 它是關(guān)于x的方程嗎 如果是 你能看出它和我們以往學(xué)過的方程有什么不同嗎 二 探索新知 解 依題意得 x 2 2 x 即x 2x 4 0 顯然這個方程只含有一個未知數(shù) 且x的最高次數(shù)為2 如圖 有一塊矩形鐵皮 長100cm 寬50cm 在它的四個角分別切去一個正方形 然后將四周突出的部分折起 就能制作一個無蓋方盒 如果要制作的無蓋方盒的底面積是3600cm2 那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形 探究1 對于上述問題 你能設(shè)出未知數(shù) 列出相應(yīng)的方程嗎 x 設(shè)切去的正方形的邊長為xcm 則盒底的長為 100 2x cm 寬為 50 2x cm 根據(jù)方盒的底面積為3600cm2 得 100 2x 50 2x 3600 整理 得4x2 300 x 1400 0 化簡 得x2 75x 350 0 要組織一次排球邀請賽 參賽的每兩個隊之間都要比賽一場 根據(jù)場地和時間等條件 賽程計劃安排7天 每天安排4場比賽 比賽組織者應(yīng)該邀請多少個隊參賽 對于上述問題 你能設(shè)出未知數(shù) 列出相應(yīng)的方程嗎 探究2 請問 1 這次排球賽共安排場 2 若設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽 則每個隊與其他個隊各比賽一場 這樣應(yīng)共有場比賽 3 由此可列出的方程為化簡得 28 x 1 x x 1 x x 56 0 等號兩邊都是整式 方程只含有一個未知數(shù) 且未知數(shù)的最高次數(shù)為2次 一般地 任何一個關(guān)于x的一元二次方程 經(jīng)過整理 都能化成如下形式ax2 bx c 0 a 0 這種形式叫做一元二次方程的一般形式 其中ax2是二次項 a是二次項系數(shù) bx是一次項 b是一次項系數(shù) c是常數(shù)項 從探究問題2中可以看出 由于參賽球隊的支數(shù)x只能是正整數(shù) 由此可列下表 56 54 50 44 36 26 14 0 可以發(fā)現(xiàn) 當(dāng)x 8時 x x 56 0 所以x 8是方程x x 56 0的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 探究3 三 掌握新知 分析 要證明不論m取何值 該方程都是一元二次方程 只要證明m2 8m 17 0即可 證明 m2 8m 17 m 4 2 1 m 4 2 0 m 4 2 1 0 即 m 4 2 1 0 不論m取何值 該方程都是一元二次方程 例2將方程3x x 1 5 x 2 化成一元二次方程的一般形式 并寫出其中的二次項系數(shù) 一次項系數(shù)和常數(shù)項 分析 一元二次方程的一般形式是ax2 bx c 0 a 0 因此 方程3x x 1 5 x 2 必須運用整式運算進行整理 包括去括號 移項等 解 去括號 得3x2 3x 5x 10 移項 合并同類項 得一元二次方程的一般形式3x2 8x 10 0 其中二次項系數(shù)為3 一次項系數(shù)為 8 常數(shù)項為 10 四 鞏固練習(xí) 1 在下列方程中 一元二次方程的個數(shù)是 A 1個B 2個C 3個D 4個2 已知方程的一個根是 則m的值為 3 關(guān)于x的方程是一元二次方程 則a的取值范圍是 A 13 a 1 4 根據(jù)下列問題 列出關(guān)于x的方程 并將其化成一元二次方程的一般形式 指出其二次項系數(shù) 一次項系數(shù)和常數(shù)項 1 4個完全相同的正方形的面積之和是25 求正方形的邊長x 2 一個長方形的長比寬多2 面積是100 求長方形的長x 其中二次項系數(shù)為4 一次項系數(shù)為0 常數(shù)項為 25 其中二次項系數(shù)為1 一次項系數(shù)為12 常數(shù)項為 100 一元二次方程 1 本節(jié)課要掌握 1 一元二次方程的概念 2 一元二次方程的一般形ax2 bx c 0 a 0 和二次項 二次項系數(shù) 一次項 一次項系數(shù) 常數(shù)項的概念及其它們的運用 2 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí) 你還有哪些收獲 五 歸納小結(jié)