會計學(xué)1高等數(shù)學(xué)方明亮高等數(shù)學(xué)方明亮 常系數(shù)齊次線性微分方常系數(shù)齊次線性微分方程程2022年6月16日星期四20 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式( )(1)11( )nnnnya yaya yf xn階常系數(shù)線性微分方程的標準形式第1頁/共16頁2022年6月16日星期四3基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第2頁/共16頁2022年6月16日星期四4),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程,1. 當042qp時, 有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為xrxreCeCy2121( r 為待定常數(shù) ),xrer函數(shù)為常數(shù)時因為,所以令的解為 則微分其根稱為特征根.二階常系數(shù)齊次線性微分方程:第3頁/共16頁2022年6月16日星期四5042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru2. 當?shù)?頁/共16頁2022年6月16日星期四6042qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根irir21,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx3. 當?shù)?頁/共16頁2022年6月16日星期四7),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .小結(jié)第6頁/共16頁2022年6月16日星期四8若特征方程含 m 重復(fù)根,ir若特征方程含 l 重實根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項112()lr xkCC xC xe112()cosxmkeCC xC xx112()sinmkDD xD xx則其通解中必含對應(yīng)項)(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣:第7頁/共16頁2022年6月16日星期四9032 yyy求方程的通解.解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxeCeCy321例2. 求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetCCs)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為tets)24(22C例1（補充題）（補充題）第8頁/共16頁2022年6月16日星期四10解:所給微分方程的特征方程為2250rr它有一對共軛虛根 112i,r 212ir 故所求通解為 12ecos2sin2xyCxCx第9頁/共16頁2022年6月16日星期四11052)4( yyy求方程的通解. 解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例5 .0)4()5( yy解方程（補充題）解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不難看出, 原方程有特解), 132xexxx例4第10頁/共16頁2022年6月16日星期四1202)(22222rr. )0(0dd444wxw解方程解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC例6（課本例5）第11頁/共16頁2022年6月16日星期四13.02)4( yyy解方程解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為,2,1irir4,3則方程通解 :12()cosyCC xx12()sinDD xx（補充題）例7第12頁/共16頁2022年6月16日星期四14),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當時, 通解為xrxreCeCy212121rr (2) 當時, 通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當時, 通解為)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .課后練習習題117 1（偶數(shù)題） ；2 ；3第13頁/共16頁2022年6月16日星期四15 1.求方程0 yay的通解 .答案:0a通解為xCCy21:0a通解為xaCxaCysincos21:0a通解為xaxaeCeCy21第14頁/共16頁2022年6月16日星期四16123,2,cos2 ,xxyeyxeyx個求求一一以以xy2sin34為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分程,并求其通解 .解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :, 121 rrir24, 3因此特征方程為2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程為其通解為xCxCexCCyx2sin2cos)(43212.第15頁/共16頁