2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合A=(𝑥|𝑥|<2),B=2,0,1,2,則（A）0,1（B）1,0,1（C）2,0,1,2（D）1,0,1,2（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）（B） （C）（D） （4）設(shè)a,b,c,d是非零實(shí)數(shù)，則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（5）“十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率f，則第八個(gè)單音頻率為（A） （B）（C） （D）（6）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（A）1（B）2（C）3（D）4（7）在平面坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)𝑥為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是 （A） （B）（C）（D） （8）設(shè)集合則（A）對(duì)任意實(shí)數(shù)a， （B）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2,1）（C）當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),（2,1）（D）當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),（2,1）第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）設(shè)向量a=（1,0），b=（1,m）,若，則m=_.（10）已知直線l過(guò)點(diǎn)（1,0）且垂直于𝑥軸，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi).（11）能說(shuō)明“若ab，則”為假命題的一組a，b的值依次為_(kāi).（12）若雙曲線的離心率為，則a=_.（13）若𝑥,y滿足，則2y𝑥的最小值是_.（14）若的面積為,且C為鈍角，則B=_；的取值范圍是_.三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（15）（本小題13分）設(shè)是等差數(shù)列，且.（）求的通項(xiàng)公式；（）求.（16）（本小題13分）已知函數(shù).（）求的最小正周期； （）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.（17）（本小題13分）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.（）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率； （）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).（）求證：PEBC；（）求證：平面PAB平面PCD；（）求證：EF平面PCD.（19）（本小題13分）設(shè)函數(shù).（）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；（）若在處取得極小值，求a的取值范圍.（20）（本小題14分）已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.（）求橢圓M的方程；（）若，求 的最大值；（）設(shè)，直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn) 共線，求k.參考答案1A2D3B4B5D6C7C8D9 10 11（答案不唯一） 124133 14 15（共13分）解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，.（II）由（I）知，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.16.（共13分）【解析】（），所以的最小正周期為.（）由（）知.因?yàn)?，所?要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.17.（共13分）（）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000.第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50，故所求概率為.（）方法一：由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估計(jì)為.方法二：設(shè)“隨機(jī)選取1部電影,這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)”為事件B.沒(méi)有獲得好評(píng)的電影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得.（）增加第五類電影的好評(píng)率, 減少第二類電影的好評(píng)率.18.（共14分）【解析】（），且為的中點(diǎn)，.底面為矩形，.（）底面為矩形，.平面平面，平面.又, 平面，平面平面.（）如圖，取中點(diǎn)，連接.分別為和的中點(diǎn)，且.四邊形為矩形，且為的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，平面.19. （13分）解：（）因?yàn)椋?，由題設(shè)知，即，解得.（）方法一：由（）得.若a>1，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在x=1處取得極小值.若，則當(dāng)時(shí)，所以.所以1不是的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0極大值在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時(shí)，令得.當(dāng)，即a=1時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意.當(dāng)，即0<a<1時(shí)，隨x的變化情況如下表：x1+00+極大值極小值在x=1處取得極大值，不合題意.當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的變化情況如下表：x+00+極大值極小值在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當(dāng)a<0時(shí)，令得.隨x的變化情況如下表：x0+0極小值極大值在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.20（共14分）【解析】（）由題意得，所以，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）設(shè)直線的方程為，由消去可得，則，即，設(shè)，則，則，易得當(dāng)時(shí)，故的最大值為（）設(shè)，則 ， ，又，所以可設(shè)，直線的方程為，由消去可得，則，即，又，代入式可得，所以，所以，同理可得故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得，即