2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 文（全國卷2）注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1ABCD2已知集合，則ABCD3函數(shù)的圖像大致為4已知向量，滿足，則A4B3C2D05從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為ABCD6雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為ABCD7在中，則ABCD8為計算，設計了如圖的程序框圖，則在空白框中應填入 A B C D9在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為ABC D10若在是減函數(shù)，則的最大值是ABC D11已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為ABC D12已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足若，則AB0C2D50二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13曲線在點處的切線方程為_14若滿足約束條件 則的最大值為_15已知，則_16已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題。考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）記為等差數(shù)列的前項和，已知，（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值18（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2020年環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額（單位：億元）的折線圖為了預測該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2020年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：；根據(jù)2020年至2020年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的預測值；（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由19（12分）如圖，在三棱錐中，為的中點（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離20（12分）設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程21（12分）已知函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：只有一個零點（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22選修44：坐標系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（1）求和的直角坐標方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率23選修45：不等式選講（10分）設函數(shù)（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍參考答案一、選擇題1D2C3B4B5D6A7A8B9C10C11D12C二、填空題13y=2x214915168三、解答題17解：（1）設an的公差為d，由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通項公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為1618解：（1）利用模型，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的預測值為=30.4+13.5×19=226.1（億元）利用模型，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的預測值為=99+17.5×9=256.5（億元）（2）利用模型得到的預測值更可靠理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2020年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的變化趨勢2020年相對2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額有明顯增加，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預測值更可靠（ii）從計算結(jié)果看，相對于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額220億元，由模型得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預測值更可靠以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分 19解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OPAC，且OP=連結(jié)OB因為AB=BC=，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足為H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的長為點C到平面POM的距離由題設可知OC=2，CM=，ACB=45°所以OM=，CH=所以點C到平面POM的距離為20解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x1）（k>0）設A（x1，y1），B（x2，y2）由得，故所以由題設知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程為y=x1（2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則解得或因此所求圓的方程為或21解：（1）當a=3時，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=當x（，）（，+）時，f （x）>0；當x（，）時，f （x）<0故f（x）在（，），（，+）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減（2）由于，所以等價于設=，則g （x）=0，僅當x=0時g （x）=0，所以g（x）在（，+）單調(diào)遞增故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點綜上，f（x）只有一個零點22解：（1）曲線的直角坐標方程為當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，整理得關(guān)于的方程因為曲線截直線所得線段的中點在內(nèi)，所以有兩個解，設為，則又由得，故，于是直線的斜率23解：（1）當時，可得的解集為（2）等價于而，且當時等號成立故等價于由可得或，所以的取值范圍是