《2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷3參考解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷3參考解析）（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)） 理科數(shù)學(xué) 一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分） 1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】表示圓上所有點(diǎn)的集合，表示直線上所有點(diǎn)的集合， 故表示兩直線與圓的交點(diǎn)，由圖可知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，即元素的個(gè)數(shù)為2，故選B. 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由題，，則，故選C. 3．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待

2、游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 2020年 2020年 2020年 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn) 【答案】A 【解析】由題圖可知，2020年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選A. 4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（） A． B． C．40 D．80 【答案】C 【解析】由二

3、項(xiàng)式定理可得，原式展開(kāi)中含的項(xiàng)為 ，則的系數(shù)為40，故選C. 5．已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)．則的方程為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵雙曲線的一條漸近線方程為，則① 又∵橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知，則② 由①②解得，則雙曲線的方程為，故選B. 6．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（） A．的一個(gè)周期為 B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在單調(diào)遞減 【答案】D 【解析】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到， 如圖可知，在上先遞減后遞增，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D. 7．執(zhí)行右圖的

4、程序框圖，為使輸出的值小于91，則輸入的正整數(shù)的最小值為（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示： 初始狀態(tài) 0 100 1 第1次循環(huán)結(jié)束 100 2 第2次循環(huán)結(jié)束 90 1 3 此時(shí)首次滿足條件，程序需在時(shí)跳出循環(huán)，即為滿足條件的最小值，故選D. 8．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑， 則圓柱體體積

5、，故選B. 9．等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若，，成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為（） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【解析】∵為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，設(shè)公差為. 則，即 又∵，代入上式可得 又∵，則 ∴，故選A. 10．已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵以為直徑為圓與直線相切，∴圓心到直線距離等于半徑， ∴ 又∵，則上式可化簡(jiǎn)為 ∵，可得，即 ∴，故選A 11．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（

6、） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由條件，，得： ∴，即為的對(duì)稱軸， 由題意，有唯一零點(diǎn)， ∴的零點(diǎn)只能為， 即， 解得． 12．在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為（） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由題意，畫(huà)出右圖． 設(shè)與切于點(diǎn)，連接． 以為原點(diǎn)，為軸正半軸， 為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)坐標(biāo)為． ∵，． ∴． ∵切于點(diǎn)． ∴⊥． ∴是中斜邊上的高． 即的半徑為． ∵在上． ∴點(diǎn)的軌跡方程為． 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參

7、數(shù)方程如下： 而，，． ∵ ∴，． 兩式相加得： (其中，) 當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值3． 二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13．若x，y滿足約束條件則的最小值為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】由題，畫(huà)出可行域如圖： 目標(biāo)函數(shù)為，則直線縱截距越大，值越?。? 由圖可知：在處取最小值，故． 14．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則________． 【答案】 【解析】為等比數(shù)列，設(shè)公比為． ，即， 顯然，， 得，即，代入式可得， ． 15．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是________． 【答案】 【解析】

8、，，即 由圖象變換可畫(huà)出與的圖象如下： 由圖可知，滿足的解為. 16．，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與 ，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角； ②當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角； ③直線與所成角的最小值為； ④直線與所成角的最大值為． 其中正確的是________（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)） 【答案】②③ 【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖． 不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1， 故，， 斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變， 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸

9、正方向，為軸正方向， 為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系． 則，， 直線的方向單位向量，． 點(diǎn)起始坐標(biāo)為， 直線的方向單位向量，． 設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)， 其中為與的夾角，． 那么在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，． 設(shè)與所成夾角為， 則． 故，所以③正確，④錯(cuò)誤． 設(shè)與所成夾角為， . 當(dāng)與夾角為時(shí)，即， ． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴，此時(shí)與夾角為． ∴②正確，①錯(cuò)誤． 三、解答題：（共70分．第17-20題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答） （一）必考題：共60分． 17．（12分） 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別

10、為a，b，c，已知，，． （1）求c； （2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積． 【解析】（1）由得， 即，又， ∴，得. 由余弦定理.又∵代入并整理得，故. （2）∵， 由余弦定理. ∵，即為直角三角形， 則，得. 由勾股定理. 又，則， . 18．（12分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，

11、為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． （1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列； （2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為（單位：元）．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 【解析】⑴易知需求量可取 . 則分布列為： ⑵①當(dāng)時(shí)：，此時(shí)，當(dāng)時(shí)取到. ②當(dāng)時(shí)： 此時(shí)，當(dāng)時(shí)

12、取到. ③當(dāng)時(shí)， 此時(shí). ④當(dāng)時(shí)，易知一定小于③的情況. 綜上所述：當(dāng)時(shí)，取到最大值為. 19．（12分）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形．，． （1）證明：平面平面； （2）過(guò)的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分．求二面角的余弦值． 【解析】⑴取中點(diǎn)為，連接，； 為等邊三角形 ∴ ∴ . ∴,即為等腰直角三角形， 為直角又為底邊中點(diǎn) ∴ 令，則 易得：， ∴ 由勾股定理的逆定理可得 即 又∵ 由面面垂直的判定定理可得 ⑵由題意可知 即,到平面的距離相等 即為中

13、點(diǎn) 以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， 易得：，， 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為， 則，解得 ，解得 若二面角為，易知為銳角， 則 20．（12分）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線交于，兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓． （1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上； （2）設(shè)圓過(guò)點(diǎn)（4，），求直線與圓的方程． 【解析】⑴顯然，當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意． 設(shè)，，， 聯(lián)立：得， 恒大于，，． ∴，即在圓上． ⑵若圓過(guò)點(diǎn)，則 化簡(jiǎn)得解得或 ①當(dāng)時(shí)，圓心為， ，， 半徑

14、 則圓 ②當(dāng)時(shí)，圓心為， ，， 半徑 則圓 21．（12分）已知函數(shù)． （1）若，求的值； （2）設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，，求的最小值． 【解析】⑴ ， 則，且 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增，所以時(shí)，，不滿足題意； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增． ①若，在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)矛盾 ②若，在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)矛盾 ③若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴滿足題意 綜上所述． ⑵ 當(dāng)時(shí)即 則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 ∴， 一方面：， 即． 另一方面： 當(dāng)時(shí)， ∵，， ∴的最小值為． 22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

15、 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），設(shè)與的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C． （1）寫(xiě)出C的普通方程： （2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)，M為與C的交點(diǎn)，求M的極徑． 【解析】⑴將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程 ……① ……② ①②消可得： 即的軌跡方程為； ⑵將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程 ……③ 聯(lián)立曲線和 解得 由解得 即的極半徑是． 23．[選修4-5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)． （1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集非空，求m的取值范圍． 【解析】⑴可等價(jià)為.由可得： ①當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意； ②當(dāng)時(shí)，，解得； ③當(dāng)時(shí)，恒成立.綜上，的解集為. ⑵不等式等價(jià)為， 令，則解集非空只需要. 而. ①當(dāng)時(shí)，； ②當(dāng)時(shí)，； ③當(dāng)時(shí)，. 綜上，，故.