2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）1已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A3B2C1D0【答案】B【解析】表示圓上所有點(diǎn)的集合，表示直線(xiàn)上所有點(diǎn)的集合，故表示兩直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)，由圖可知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，即元素的個(gè)數(shù)為2，故選B.2設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（）ABCD2【答案】C【解析】由題，則，故選C.3某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線(xiàn)圖2020年 2020年 2020年根據(jù)該折線(xiàn)圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】A【解析】由題圖可知，2020年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選A.4的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）ABC40D80【答案】C【解析】由二項(xiàng)式定理可得，原式展開(kāi)中含的項(xiàng)為，則的系數(shù)為40，故選C.5已知雙曲線(xiàn)（，）的一條漸近線(xiàn)方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)則的方程為（）ABCD【答案】B【解析】雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則又橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，易知，則由解得，則雙曲線(xiàn)的方程為，故選B.6設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A的一個(gè)周期為 B的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C的一個(gè)零點(diǎn)為D在單調(diào)遞減【答案】D【解析】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到，如圖可知，在上先遞減后遞增，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D.7執(zhí)行右圖的程序框圖，為使輸出的值小于91，則輸入的正整數(shù)的最小值為（）A5B4C3D2【答案】D【解析】程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示： 初始狀態(tài)01001第1次循環(huán)結(jié)束1002第2次循環(huán)結(jié)束9013此時(shí)首次滿(mǎn)足條件，程序需在時(shí)跳出循環(huán)，即為滿(mǎn)足條件的最小值，故選D.8已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）ABCD【答案】B【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑，則圓柱體體積，故選B.9等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0若，成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為（）ABC3D8【答案】A【解析】為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，設(shè)公差為.則，即又，代入上式可得又，則，故選A.10已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，且以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)相切，則的離心率為（）ABCD【答案】A【解析】以為直徑為圓與直線(xiàn)相切，圓心到直線(xiàn)距離等于半徑，又，則上式可化簡(jiǎn)為，可得，即，故選A11已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）ABCD1【答案】C【解析】由條件，得：，即為的對(duì)稱(chēng)軸，由題意，有唯一零點(diǎn)，的零點(diǎn)只能為，即，解得12在矩形中，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上若，則的最大值為（）A3BCD2【答案】A【解析】由題意，畫(huà)出右圖設(shè)與切于點(diǎn)，連接以為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)坐標(biāo)為，切于點(diǎn)是中斜邊上的高即的半徑為在上點(diǎn)的軌跡方程為設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的參數(shù)方程如下：而，兩式相加得： (其中，)當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值3二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13若x，y滿(mǎn)足約束條件則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】由題，畫(huà)出可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)為，則直線(xiàn)縱截距越大，值越小由圖可知：在處取最小值，故14設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足，則_【答案】【解析】為等比數(shù)列，設(shè)公比為，即，顯然，得，即，代入式可得，15設(shè)函數(shù)則滿(mǎn)足的x的取值范圍是_【答案】【解析】，即由圖象變換可畫(huà)出與的圖象如下：由圖可知，滿(mǎn)足的解為.16，為空間中兩條互相垂直的直線(xiàn)，等腰直角三角形的直角邊所在直線(xiàn)與，都垂直，斜邊以直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線(xiàn)與成角時(shí)，與成角；當(dāng)直線(xiàn)與成角時(shí)，與成角；直線(xiàn)與所成角的最小值為；直線(xiàn)與所成角的最大值為其中正確的是_（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】【解析】由題意知，三條直線(xiàn)兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，斜邊以直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系則，直線(xiàn)的方向單位向量，點(diǎn)起始坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方向單位向量，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，那么在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，設(shè)與所成夾角為，則故，所以正確，錯(cuò)誤設(shè)與所成夾角為，.當(dāng)與夾角為時(shí)，即，此時(shí)與夾角為正確，錯(cuò)誤三、解答題：（共70分第17-20題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分17（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，（1）求c；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積【解析】（1）由得，即，又，得.由余弦定理.又代入并整理得，故.（2），由余弦定理.，即為直角三角形，則，得.由勾股定理.又，則，.18（12分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為（單位：元）當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解析】易知需求量可取.則分布列為：當(dāng)時(shí)：，此時(shí)，當(dāng)時(shí)取到.當(dāng)時(shí)：此時(shí)，當(dāng)時(shí)取到.當(dāng)時(shí)，此時(shí).當(dāng)時(shí)，易知一定小于的情況.綜上所述：當(dāng)時(shí)，取到最大值為. 19（12分）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，（1）證明：平面平面；（2）過(guò)的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分求二面角的余弦值【解析】取中點(diǎn)為，連接，；為等邊三角形.,即為等腰直角三角形，為直角又為底邊中點(diǎn)令，則易得：，由勾股定理的逆定理可得即又由面面垂直的判定定理可得由題意可知即,到平面的距離相等即為中點(diǎn)以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，易得：，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，解得，解得若二面角為，易知為銳角，則20（12分）已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，圓是以線(xiàn)段為直徑的圓（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上；（2）設(shè)圓過(guò)點(diǎn)（4，），求直線(xiàn)與圓的方程【解析】顯然，當(dāng)直線(xiàn)斜率為時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于一點(diǎn)，不符合題意設(shè)，聯(lián)立：得，恒大于，即在圓上若圓過(guò)點(diǎn)，則化簡(jiǎn)得解得或當(dāng)時(shí)，圓心為，半徑則圓當(dāng)時(shí)，圓心為，半徑則圓21（12分）已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，求的最小值【解析】 ，則，且當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增，所以時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增若，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)矛盾若，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)矛盾若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增滿(mǎn)足題意綜上所述 當(dāng)時(shí)即則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，一方面：，即另一方面：當(dāng)時(shí)，的最小值為22選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線(xiàn)的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），設(shè)與的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線(xiàn)C（1）寫(xiě)出C的普通方程：（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)，M為與C的交點(diǎn)，求M的極徑【解析】將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程 消可得：即的軌跡方程為；將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程 聯(lián)立曲線(xiàn)和解得由解得即的極半徑是23選修4-5：不等式選講（10分）已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范圍【解析】可等價(jià)為.由可得：當(dāng)時(shí)顯然不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立.綜上，的解集為.不等式等價(jià)為，令，則解集非空只需要.而.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，故.