2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷2）注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1ABCD2已知集合，則中元素的個數(shù)為 A9B8C5D43函數(shù)的圖像大致為 4已知向量，滿足，則A4B3C2D05雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為ABC D6在中，則ABC D7為計算，設(shè)計了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A B C D8我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是 ABC D9在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為ABC D10若在是減函數(shù)，則的最大值是ABC D11已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足若，則AB0C2D5012已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，則的離心率為A BC D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13曲線在點(diǎn)處的切線方程為_14若滿足約束條件 則的最大值為_15已知，則_16已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值18（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2020年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖為了預(yù)測該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2020年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：；根據(jù)2020年至2020年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由 19（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，（1）求的方程；（2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程20（12分）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值21（12分）已知函數(shù)（1）若，證明：當(dāng)時，；（2）若在只有一個零點(diǎn)，求（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率23選修45：不等式選講（10分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍參考答案一、選擇題1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空題13.14.915.16.三、解答題17. (12分)解：（1）設(shè)的公差為d，由題意得.由得d=2.所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得.所以當(dāng)n=4時,取得最小值,最小值為16.18.(12分)解：（1）利用模型,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為(億元).利用模型,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為(億元).（2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：（）從折線圖可以看出,2000年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下.這說明利用2000年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2020年相對2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.（）從計算結(jié)果看,相對于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.19.(12分)解：（1）由題意得，l的方程為.設(shè)，由得.，故.所以.由題設(shè)知，解得（舍去），.因此l的方程為.（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線方程為，即.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則解得或因此所求圓的方程為或.20.(12分)解：（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且.連結(jié).因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且?由知.由知平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得取平面的法向量.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為.21（12分）【解析】（1）當(dāng)時，等價于設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減而，故當(dāng)時，即（2）設(shè)函數(shù)在只有一個零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點(diǎn)（i）當(dāng)時，沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故是在的最小值若，即，在沒有零點(diǎn)；若，即，在只有一個零點(diǎn)；若，即，由于，所以在有一個零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時，所以故在有一個零點(diǎn)，因此在有兩個零點(diǎn)綜上，在只有一個零點(diǎn)時，22選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為當(dāng)時，的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時，的直角坐標(biāo)方程為（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為，則又由得，故，于是直線的斜率23選修4-5：不等式選講（10分）【解析】（1）當(dāng)時，可得的解集為（2）等價于而，且當(dāng)時等號成立故等價于由可得或，所以的取值范圍是