2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷3）注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上.2回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,在涂選其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的。）1已知集合，則（ ）ABCD2（ ）ABCD3中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（ ）4若，則（ ）ABCD5的展開式中的系數(shù)為（ ）A10B20C40D806直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（ ）ABCD7函數(shù)的圖像大致為（ ）8某群體中的每位成品使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，則（ ）A0.7B0.6C0.4D0.39的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則（ ）ABCD10設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（ ）ABCD 11設(shè)是雙曲線（）的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)過作的一條漸近線的垂線，垂足為若，則的離心率為（ ）AB2CD 12設(shè)，則（ ）ABCD二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13已知向量，若，則_14曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則_15函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_16已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)若，則_三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分。17（12分）等比數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式；記為的前項(xiàng)和若，求18（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，19（12分）如圖，邊長為2的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)證明：平面平面；當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值20（12分）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)線段的中點(diǎn)為證明：；設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且證明：，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差21（12分）已知函數(shù)若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若是的極大值點(diǎn)，求（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)求的取值范圍；求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程23選修45：不等式選講（10分）設(shè)函數(shù)畫出的圖像；當(dāng)， ，求的最小值參考答案一、選擇題1答案：C解答：，.故選C.2答案：D解答：，選D.3答案：A解答：根據(jù)題意，A選項(xiàng)符號題意.4答案：B解答：.故選B.5答案：C解答：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)系數(shù).故選C.6答案：A解答：由直線得，圓的圓心為，圓心到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，即，. 7答案：D解答：當(dāng)時(shí)，可以排除A、B選項(xiàng)；又因?yàn)?，則的解集為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；的解集為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.結(jié)合圖象，可知D選項(xiàng)正確.8答案：B解答：由，解之得，由，有.9答案：C解答：，又，故，.故選C.10答案：B解答：如圖，為等邊三角形，點(diǎn)為，外接球的球心，為的重心，由，得，取的中點(diǎn)，球心到面的距離為，三棱錐體積最大值.11答案：C解答：， ；又因?yàn)?，所以；在中，；在中?12答案：B解答：，即，又，故選B.二、填空題13答案：解答：，解得.14答案：解答：，則，所以.15答案：解答：由，有，解得，由得可取，在上有個(gè)零點(diǎn).16答案：解答：依題意得，拋物線的焦點(diǎn)為，故可設(shè)直線，聯(lián)立消去得，設(shè)，則，.又，.三、解答題17答案：（1）或；（2）.解答：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，.或.（2）由（1）知，或，或（舍），.18 解答：（1）第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為，第二種生產(chǎn)方式平均數(shù)為，所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間大于第二種，第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（2）由莖葉圖數(shù)據(jù)得到，列聯(lián)表為（3），有的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.19 解答：（1）正方形半圓面，半圓面，平面.在平面內(nèi)，又是半圓弧上異于的點(diǎn)，.又，平面，在平面內(nèi)，平面平面.（2）如圖建立坐標(biāo)系：面積恒定，最大.，,設(shè)面的法向量為，設(shè)面的法向量為，同理， .20 解答：（1）設(shè)直線方程為，設(shè),聯(lián)立消得，則，得，且， 且.且.由得，或.， .（2），,，的坐標(biāo)為.由于在橢圓上， ，又，兩式相減可得，又，直線方程為，即，消去得，,.，成等差數(shù)列，.21 解答：（1）若時(shí)，.令，.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2），.設(shè)，在鄰域內(nèi)，時(shí)，時(shí)，.時(shí)，由洛必達(dá)法則得，時(shí)，由洛必達(dá)法則得，綜上所述，.22 解答：（1）的參數(shù)方程為，的普通方程為，當(dāng)時(shí)，直線：與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，由直線與有兩個(gè)交點(diǎn)有，得，或，或，綜上.（2）點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，有，整理得， 得代入得.當(dāng)點(diǎn)時(shí)滿足方程，中點(diǎn)的的軌跡方程是，即，由圖可知，則，故點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.23 解答：（1），如下圖：（2）由（1）中可得：，當(dāng)，時(shí)，取最小值，的最小值為.