2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（天津卷）本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第II卷3至5頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件A，B互斥，那么 .如果事件A，B相互獨(dú)立，那么 .棱柱的體積公式，其中表示棱柱的底面面積，表示棱柱的高.棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高.一. 選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)全集為R，集合，則 (A) (B) (C) (D) (2)設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)設(shè)，則“”是“”的 (A)充分而不必要條件(B)必要而不重復(fù)條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件(5)已知，則a，b，c的大小關(guān)系為 (A) (B) (C) (D) (6)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù) (A)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (B)在區(qū)間上單調(diào)遞減(C)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (D)在區(qū)間上單調(diào)遞減(7)已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn). 設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 (A) (B) (C) (D) (8)如圖，在平面四邊形ABCD中，. 若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則的最小值為 (A) (B) (C) (D) 第卷注意事項(xiàng)：1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2. 本卷共12小題，共110分。二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。 (9) i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) .(10) 在的展開式中，的系數(shù)為 .(11) 已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為 .(12)已知圓的圓心為C，直線(為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為 . (13)已知，且，則的最小值為 . (14)已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是 . 三.解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（15）（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（I）求角B的大??；（II）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.(16)(本小題滿分13分) 已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望； （ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.(17)(本小題滿分13分) 如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：；（II）求二面角的正弦值； （III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長.(18)(本小題滿分13分) 設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列. 已知，.（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為， （i）求； （ii）證明.(19)(本小題滿分14分)設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q. 若(O為原點(diǎn)) ，求k的值.(20)(本小題滿分14分)已知函數(shù)，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn) 處的切線平行，證明；（III）證明當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.參考答案：一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算每小題5分，滿分40分（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算每小題5分，滿分30分（9）4i（10） （11） （12） （13） （14） 三、解答題（15）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力滿分13分（）解：在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因?yàn)?，可得B=（）解：在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因?yàn)閍<c，故因此， 所以， （16）本小題主要考查隨機(jī)抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力滿分13分（）解：由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人（）（i）解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（ii）解：設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=BC，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A發(fā)生的概率為（17）本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識考查用空間向量解決立體幾何問題的方法考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力滿分13分依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，1），N（1，0，2）（）證明：依題意=（0，2，0），=（2，0，2）設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則 即 不妨令z=1，可得n0=（1，0，1）又=（1，1），可得，又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN平面CDE（）解：依題意，可得=（1，0，0），=（0，1，2）設(shè)n=（x，y，z）為平面BCE的法向量，則 即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）設(shè)m=（x，y，z）為平面BCF的法向量，則 即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=所以，二面角EBCF的正弦值為（）解：設(shè)線段DP的長為h（h0，2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），可得易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個法向量，故，由題意，可得=sin60°=，解得h=0，2所以線段的長為.（18）本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識.考查等差數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.滿分13分.（I）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由可得.因?yàn)?，可得，?設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得由，可得 從而 故 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（II）（i）由（I），有，故.（ii）證明：因?yàn)?，所以?（19）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力滿分14分（）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b由已知可得，由，可得ab=6，從而a=3，b=2所以，橢圓的方程為（）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）由已知有y1>y2>0，故又因?yàn)椋鳲AB=，故由，可得5y1=9y2由方程組消去x，可得易知直線AB的方程為x+y2=0，由方程組消去x，可得由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或所以，k的值為 （20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)與方程思想、化歸思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.（I）解：由已知，有.令，解得x=0.由a>1，可知當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）證明：由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.因?yàn)檫@兩條切線平行，故有，即.兩邊取以a為底的對數(shù)，得，所以.（III）證明：曲線在點(diǎn)處的切線l1：.曲線在點(diǎn)處的切線l2：.要證明當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當(dāng)時，存在，使得l1和l2重合.即只需證明當(dāng)時，方程組有解，由得，代入，得. 因此，只需證明當(dāng)時，關(guān)于x1的方程有實(shí)數(shù)解.設(shè)函數(shù)，即要證明當(dāng)時，函數(shù)存在零點(diǎn).，可知時，；時，單調(diào)遞減，又，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 在處取得極大值.因?yàn)椋?，所?下面證明存在實(shí)數(shù)t，使得.由（I）可得，當(dāng)時，有，所以存在實(shí)數(shù)t，使得因此，當(dāng)時，存在，使得.所以，當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.