2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合A=x|x|<2，B=2，0，1，2，則AB=（A）0，1（B）1，0，1（C）2，0，1，2（D）1，0，1，2（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）（B）（C）（D）（4）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（A） （B）（C） （D）（5）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為（A）1（B）2 （C）3（D）4（6）設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“ab”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（7）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cos，sin）到直線的距離，當(dāng)，m變化時，d的最大值為（A）1（B）2（C）3（D）4（8）設(shè)集合則（A）對任意實(shí)數(shù)a，（B）對任意實(shí)數(shù)a，（2，1）（C）當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，（2，1）（D）當(dāng)且僅當(dāng)時，（2，1）第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項(xiàng)公式為_（10）在極坐標(biāo)系中，直線與圓相切，則a=_（11）設(shè)函數(shù)f（x）=，若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為_（12）若x，y滿足x+1y2x，則2yx的最小值是_ （13）能說明“若f（x）>f（0）對任意的x（0，2都成立，則f（x）在0，2上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是_（14）已知橢圓，雙曲線若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點(diǎn)及橢圓M的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_；雙曲線N的離心率為_三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求AC邊上的高（16）（本小題14分）如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC=2（）求證：AC平面BEF；（）求二面角B-CD-C1的余弦值；（）證明：直線FG與平面BCD相交（17）（本小題12分）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立（）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評的概率；（）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）寫出方差，的大小關(guān)系（18）（本小題13分）設(shè)函數(shù)=（）若曲線y= f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求a；（）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍 （19）（本小題14分）已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值（20）（本小題14分）設(shè)n為正整數(shù)，集合A=對于集合A中的任意元素和，記M（）=（）當(dāng)n=3時，若，求M（）和M（）的值；（）當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時，M（）是偶數(shù)求集合B中元素個數(shù)的最大值；（）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M（）=0寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由參考答案一、選擇題1A2D3B4D5C6C7C8D二、填空題9101112313y=sinx（不答案不唯一）14三、解答題（15）（共13分）解：（）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如圖所示，在ABC中，sinC=，h=，AC邊上的高為（16）（共14分）解：（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，四邊形A1ACC1為矩形又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，ACEFAB=BCACBE，AC平面BEF（）由（I）知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如圖建立空間直角坐稱系E-xyz由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1），設(shè)平面BCD的法向量為，令a=2，則b=-1，c=-4，平面BCD的法向量，又平面CDC1的法向量為，由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為（）平面BCD的法向量為，G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），與不垂直，GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，GF與平面BCD相交（17）（共12分）解：（）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50故所求概率為（）設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”故所求概率為P（）=P（）+P（）=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由題意知：P（A）估計(jì)為0.25，P（B）估計(jì)為0.2故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35（）>>=>>（18）（共13分）解：（）因?yàn)?，所以f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由題設(shè)知f (1)=0，即(1a)e=0，解得a=1此時f (1)=3e0所以a的值為1（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a>，則當(dāng)x(，2)時，f (x)<0；當(dāng)x(2，+)時，f (x)>0所以f (x)<0在x=2處取得極小值若a，則當(dāng)x(0，2)時，x2<0，ax1x1<0，所以f (x)>0所以2不是f (x)的極小值點(diǎn)綜上可知，a的取值范圍是（，+）（19）（共14分）解：（）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k0）由得依題意，解得k<0或0<k<1又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)（1，-2）從而k-3所以直線l斜率的取值范圍是（-，-3）（-3，0）（0，1）（）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知，直線PA的方程為y2=令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為由，得，所以所以為定值 （20）（共14分）解：（）因?yàn)?（1，1，0），=（0，1，1），所以M(，)= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，M(，）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）設(shè)=（x1，x 2，x3，x4）B，則M(，）= x1+x2+x3+x4由題意知x1，x 2，x3，x40，1，且M(，)為奇數(shù)，所以x1，x 2，x3，x4中1的個數(shù)為1或3所以B(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).將上述集合中的元素分成如下四組： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).經(jīng)驗(yàn)證，對于每組中兩個元素，均有M(，）=1.所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素所以集合B中元素的個數(shù)不超過4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)滿足條件，所以集合B中元素個數(shù)的最大值為4.（）設(shè)Sk=( x1，x 2，xn）|( x1，x 2，xn）A，xk =1，x1=x2=xk1=0）（k=1，2，n)，Sn+1=( x1，x 2，xn）| x1=x2=xn=0，則A=S1S1Sn+1對于Sk（k=1，2，n1）中的不同元素，經(jīng)驗(yàn)證，M(，)1.所以Sk（k=1，2 ，n1）中的兩個元素不可能同時是集合B的元素所以B中元素的個數(shù)不超過n+1.取ek=( x1，x 2，xn）Sk且xk+1=xn=0（k=1，2，n1）.令B=（e1，e2，en1）SnSn+1，則集合B的元素個數(shù)為n+1，且滿足條件.故B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合