二次曲線小結(jié) 曹楊職校 授課人 陳開運(yùn) 二次曲線小結(jié) 更多資源 二次曲線小結(jié) 附錄 二次曲線發(fā)展史 目標(biāo)診斷題 綱要信號(hào)圖表 學(xué)習(xí)導(dǎo)航與要求 概念的精細(xì)化 曲線的個(gè)性與共性 技巧與題型歸類 圓 橢圓 雙曲線 雙曲線 拋物線 雙曲線定義的盲點(diǎn) 雙曲線的漸近線 離心率分析 直線與雙曲線關(guān)系 幾種曲線定義 一般二次方程的討論 曲線與方程 Excel作圖 曲線的切線 觀看網(wǎng)上動(dòng)態(tài)曲線 更多資源 圓的學(xué)習(xí)要求和導(dǎo)航 學(xué)習(xí)要求 掌握由圓的定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 理解參數(shù)a br的幾何意義 掌握一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 用圓方程解決有關(guān)問題 解決直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程圓的幾何定義幾何量間的關(guān)系d P M r代數(shù)等式 x a 2 y b 2 r2 a b r的意義 由 x a 2 y b 2 r2x2 y2 Dx Ey F 0且與Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0比較 得出圓方程A C 0 B 0 且D2 E2 4F 0 x2 y2 Dx Ey F 0的圓心 D 2 E 2 半徑r 圓與直線的關(guān)系 圓心M a b 半徑r直線Ax By C 0 d r相離 d r相切 d r相交圓與圓關(guān)系兩圓的圓心 a1 b1 a2 b2 兩圓的半徑r1 r1兩圓的圓心距關(guān)于相切 1 過圓上一點(diǎn) x0 y0 公式法 x0 a x a y0 b y b r2判別式法 設(shè)切線y y0 k x x0 代入圓方程 消去y得相應(yīng)x的二次方程 由判別式 0可求得k從而得切線 幾何法 由圓心到切線距離r確定k而得切線 2 圓外一點(diǎn) x0 y0 的切線可仿上述判別式法 幾何法處理 繼續(xù) 圓的公式 回主頁(yè) 橢圓的學(xué)習(xí)要求與導(dǎo)航 學(xué)習(xí)要求知道橢圓定義并推出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 理解參數(shù)a b c e的相互關(guān)系和幾何意義 能靈活應(yīng)用橢圓定義 方程及性質(zhì)解決問題 橢圓作圖 學(xué)習(xí)導(dǎo)航橢圓方程的定義及參數(shù)a b c e 是橢圓所特有的 與坐標(biāo)無關(guān) a b 0 c2 a2 b2 e c a 必須牢固掌握 橢圓的性質(zhì) 有心 封閉的曲線 橢圓曲線的范圍 掌握曲線 橢圓 對(duì)稱性的判別 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 特別 1 橢圓的焦點(diǎn)一定在長(zhǎng)軸上 2 a b c三個(gè)參數(shù)的關(guān)系是滿足以a為斜邊的直角三角形勾股定理a2 b2 c2 3 標(biāo)準(zhǔn)方程中a對(duì)應(yīng)的變量x 或y 表明焦點(diǎn)就在x軸 或y軸 直線與橢圓的位置關(guān)系 把直線與橢圓的方程組消元后得一元二次方程 它的判別式 0直線與橢圓相交 0直線與橢圓相切 0直線與橢圓相離 繼續(xù) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 回主頁(yè) 雙曲線的學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)導(dǎo)航 學(xué)習(xí)要求知道雙曲線的定義 理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的參數(shù)a b c e的幾何意義和相互關(guān)系 根據(jù)條件熟練寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 靈活應(yīng)用雙曲線的定義 方程及性質(zhì)解有關(guān)問題 學(xué)習(xí)導(dǎo)航學(xué)習(xí)時(shí) 要與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較 加深這兩種曲線之間的區(qū)別和聯(lián)系 必須理解雙曲線參數(shù)a b c e是雙曲線所固有的 與坐標(biāo)的建立無關(guān) 雙曲線有心但不封閉 所以存在這樣的特殊情況 直線平行 雙曲線的漸進(jìn)線但與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn) 而并不相切 因此 直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn) 是直線與雙曲線相切的必要而非充分條件 什么時(shí)候直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) 沒有交點(diǎn) 繼續(xù) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 回主頁(yè) 雙曲線定義的三個(gè) 盲點(diǎn) 雙曲線定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1F2的距離之差的絕對(duì)值是常量 小于 F1F2 的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線 定義內(nèi)有三個(gè)盲點(diǎn) 小于 F1F2 絕對(duì)值 常數(shù) 稍有不慎 就回出錯(cuò) 盲點(diǎn)1 小于 F1F2 將 小于 F1F2 改成 大于 F1F2 經(jīng)過演示 點(diǎn)的軌跡不存在 將 小于 F1F2 改成 等于 F1F2 經(jīng)過演示 點(diǎn)的軌跡不再是雙曲線 而是以F1F2為起點(diǎn)的兩條射線 盲點(diǎn)2 絕對(duì)值 若將 絕對(duì)值 去掉 經(jīng)過演示點(diǎn)的軌跡不再是兩支曲線 只有一支 即左支或右支 盲點(diǎn)3 常數(shù) 若常數(shù)等于零 點(diǎn)的軌跡是什么 經(jīng)過演示 不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線 思考題 學(xué)習(xí)橢圓 拋物線的定義要注意什么 回主頁(yè) 雙曲線與它的漸近線 雙曲線方程可得可以看出 隨著x無限變大 y也無限變大所以雙曲線是無界的 為了更好研究它無限伸展的趨勢(shì) 把上式改為當(dāng)x無限變大時(shí) 趨近于0這時(shí) y就漸近于 b ax 說明當(dāng)x無限增大 雙曲線愈來愈接近直線y b ax 并且不論x有多大 在第一象限內(nèi)總有 X無限變大 雙曲線無限逼近漸近線 但永遠(yuǎn)不會(huì)相連接 設(shè)在第一象限內(nèi)取x0 漸近線對(duì)應(yīng)y1 雙曲線對(duì)應(yīng)y0 有 說明了 在第一象限內(nèi) 對(duì)同樣的x漸近線的值大于雙曲線的值 x無限增大 y1 y0也無限趨向于0思考題 你能說說離心率e與雙曲線漸近線開口大小的關(guān)系嗎 你能舉出其他已學(xué)的函數(shù)或方程的曲線的漸近線的例子嗎 回主頁(yè) 拋物線的學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)導(dǎo)航 學(xué)習(xí)要求掌握拋物線的定義 熟記四種標(biāo)準(zhǔn)方程 了解焦參數(shù)p的幾何意義 掌握拋物線的幾何性質(zhì)并能運(yùn)用解決有關(guān)問題 學(xué)習(xí)導(dǎo)航掌握拋物線的定義 推導(dǎo)和建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 用定義解題有時(shí)更簡(jiǎn)潔 雖然拋物線只一個(gè)參數(shù) 只須一個(gè)條件就可以求出 但有四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程 所以必須掌握它的特征和對(duì)應(yīng)的拋物線的開口方向 對(duì)稱軸 焦點(diǎn)位置和準(zhǔn)線的關(guān)系 了解二次曲線的幾種定義 對(duì)提高解題能力是有幫助的 直線與拋物線的位置關(guān)系 特別注意相切的情況 由于拋物線與對(duì)稱軸只一個(gè)交點(diǎn) 而它不是拋物線的切線 所以直線與拋物線相切并不是直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件 回主頁(yè) 繼續(xù) 坐標(biāo)平移 二次曲線Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0通過坐標(biāo)平移可以消去一次項(xiàng) 簡(jiǎn)化方程的表達(dá)式 坐標(biāo)系的改變 曲線的位置形狀和大小都沒有改變 點(diǎn)的坐標(biāo)和方程也隨之改變 坐標(biāo)的平移公式 x x hx x hy y ky y k主要題目類型 1 已知原坐標(biāo)系 新坐標(biāo)原點(diǎn) 求一些點(diǎn)和方程的在新坐標(biāo)系中的表達(dá)式 2 已知新坐標(biāo)系 原坐標(biāo)的原點(diǎn) 求一些點(diǎn)和方程的在原坐標(biāo)系中的表達(dá)式 3 二次曲線方程經(jīng)過配方成完全平方式 用平移公式簡(jiǎn)化 4 把x x h y y k代入曲線方程 使一次項(xiàng)系數(shù)為0 簡(jiǎn)化曲線方程 回主頁(yè) 你還想學(xué)點(diǎn)嗎 除了書本上二次曲線的定義外 還有一種統(tǒng)一的定義 平面上 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離之比是一個(gè)常數(shù) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線 這一定點(diǎn)叫做焦點(diǎn) 定直線叫做準(zhǔn)線 這個(gè)常數(shù)叫做離心率 離心率小于1時(shí)叫做橢圓 離心率大于1時(shí)叫做雙曲線 離心率等于1時(shí)叫做拋物線 以焦點(diǎn)F為原點(diǎn) 經(jīng)過焦點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線為x軸 取垂足到焦點(diǎn)的方向?yàn)檎较?建立直角坐標(biāo)系 設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p 離心率為e 可得到直角坐標(biāo)系中圓錐曲線的統(tǒng)一方程 1 e2 x2 y2 2e2px e2p2 0 又以焦點(diǎn)F為極點(diǎn) 經(jīng)過焦點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線為極軸 取垂足到焦點(diǎn)的方向?yàn)檎较?建立極坐標(biāo)系 得到極坐標(biāo)系中圓錐曲線的統(tǒng)一方程思考題1 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn) 3 0 3 0 的斜率的積為 1 這軌跡是什么曲線 若斜率的積為 1 4 是什么曲線 若斜率的積為1 4 是什么曲線 2 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn) 3 0 3 0 的距離的平方差為常量 這軌跡是什么曲線 回主頁(yè) 繼續(xù) 圓錐截線 你還想學(xué)點(diǎn)嗎 離心率概念分析 離心率是反映了二次曲線的形態(tài)及性質(zhì)的重要概念 引入定義 橢圓的焦距2c與長(zhǎng)軸2a的比叫做橢圓的離心率 類似的給出了雙曲線 拋物線的離心率定義 離心率定義有兩個(gè)要點(diǎn) 一個(gè)距離與長(zhǎng)度有序之比 e c a 0離心率取值范圍 橢圓 2c2a 得e 1 按拋物線定義 e 1 離心率與圓周率是幾何中的兩大比率 它們的共同特點(diǎn) 均為兩個(gè)定量的有序之比 區(qū)別在于前者適用于二次曲線 后者只適用于圓 e值有相對(duì)的任意性 可變 卻具有唯一性 無理常數(shù) 離心率深刻揭示了二次曲線的實(shí)質(zhì) 溝通了它們的關(guān)系 橢圓 雙曲線 拋物線三者關(guān)系密切 是同一定義 下的不同表現(xiàn) 三種曲線可統(tǒng)一定義為 平面內(nèi)到一定點(diǎn)和一定直線的距離之比等于常數(shù)e的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫二次曲線 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo) 軌跡上任一點(diǎn)M x y 定點(diǎn)F p 0 所以整理即得 1 e2 x2 y2 2px p2 0當(dāng)01方程分別是橢圓 拋物線 雙曲線 對(duì)立統(tǒng)一 量變到質(zhì)變 e0橢圓圓 e1 橢圓變得愈來愈扁 e 1為拋物線 e 1為雙曲線 e增大 則b a 也變大 雙曲線開口變大 反之 開口變小 E趨向于1時(shí) 漸近線傾斜角近于0 回主頁(yè) 圓錐曲線 圓錐截線 點(diǎn) 點(diǎn)圓 圓 橢圓 雙曲線 拋物線 圓錐曲線退化為兩條直線 一條直線 你能說出截面的條件嗎 圓錐的頂角影響曲線形狀嗎 回主頁(yè) 繼續(xù) 二次曲線的發(fā)展史 公元前四世紀(jì) 古希臘學(xué)者梅納科莫斯最早通過截割圓錐的方法得到三種不同類型的曲線 橢圓 圓 雙曲線 拋物線 統(tǒng)稱圓錐曲線 許多學(xué)者繼續(xù)研究這一課題 最有成就的是生于小亞細(xì)亞佩加城的阿波羅尼 他將自已的成果寫成八大卷的 圓錐曲線論 成為這一課題的經(jīng)典文獻(xiàn) 十六世紀(jì) 著名天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星按橢圓形軌道運(yùn)行 著名天文學(xué)家伽里略證明了不計(jì)阻力的斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線 這說明了圓錐曲線并不是附生于圓錐之上的靜態(tài)曲線 而是自然界中物體常見的運(yùn)動(dòng)形式 1629年 法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在 平面和立體軌跡引論 一書中 運(yùn)用斜角坐標(biāo)研究圓錐曲線 證明了圓錐曲線的方程都是含有二個(gè)未知數(shù)且最高次冪是二次的方程 反之 一般二元二次方程點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線 1655年 英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯在 圓錐截線論 中 干脆把圓錐曲線叫作二次曲線 1748年 著名數(shù)學(xué)家歐拉在 無窮小分析引論 一文中 詳細(xì)討論了形如 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0的一般二次方程 證明經(jīng)過平移 轉(zhuǎn)軸變換 任何一個(gè)二次方程可以化為橢圓 圓 雙曲線 拋物線及它們的退化形式 所以二次曲線就是圓錐曲線 回主頁(yè) 橢圓雙曲線拋物線基本性質(zhì) 回主頁(yè) 一些常用技能技巧的梳理 在鞏固求曲線方程 應(yīng)用曲線方程的基礎(chǔ)上 練習(xí)常用的技能技巧 提高解題能力 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系應(yīng)用解幾方法解題 必須建立坐標(biāo)系 而且選定恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 一般是以原點(diǎn) 坐標(biāo)軸對(duì)稱的 或以原點(diǎn)為起點(diǎn) 簡(jiǎn)化曲線方程 2 充分利用圓錐曲線特有的幾何性質(zhì) 例如 m為何值時(shí) 直線2x y m 0和圓x2 y2 5 無公共點(diǎn) 截得弦長(zhǎng)為2 交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直 解 圓心 0 0 到直線距離d 圓半徑r 時(shí)即m5時(shí)圓和直線無公共點(diǎn) 弦過中點(diǎn)的半徑垂直于弦 r2 d2 1即5 m2 5 1 當(dāng)m 時(shí)圓在直線上截得弦長(zhǎng)為2 此時(shí)弦與過 弦兩端的半徑組成等腰直角三角形 時(shí)過弦兩端的半徑互相垂直 3 圓錐曲線定義的應(yīng)用有些題目從表象上看較難 但用圓錐曲線定義解題 問題迎刃而解 繼續(xù) 一些常用技能技巧的梳理 如圖雙曲線方程的左焦點(diǎn)作弦交曲線于A B 連接AF2和BF2 求 AF2 BF2 AB 的值解 AF2 AF1 2a 8 BF2 BF1 2a 8 AF2 BF2 AB 的值為16 曲線系方程的應(yīng)用方程f1 x y f2 x y 0表示的曲線經(jīng)過曲線f1 x y 0和曲線f2 x y 0的交點(diǎn) A1x B1y C1 A2x B2y C2 0表示過直線A1x B1y C1 0 A2x B2y C2 0的交點(diǎn)的一系列直線 你能寫出圓系列方程和雙曲線系列方程嗎 例題 一個(gè)圓經(jīng)過已知圓x2 y2 x y 2 0和x2 y2 5的交點(diǎn) 且圓心在直線3x 4y 1 0上求圓方程 解 設(shè)所求圓方程為 x2 y2 x y 2 x2 y2 5 0即 1 x2 1 y2 x y 2 0其圓心為 1 2 2 1 2 2 在已知直線上 得 1 5 所求方程為 X2 y2 2x 2y 11 0 前一頁(yè) 繼續(xù) 一些常用技能技巧的梳理 韋達(dá)定理的應(yīng)用 例題1 已知直線l過 1 0 點(diǎn) 傾斜角為 4 求l在橢圓x2 2y2 4上截得的長(zhǎng) 解 直線方程為y x 1代入橢圓方程x2 2y2 4 得3x2 4x 2 0設(shè)所截交點(diǎn)為AB AB 2 x2 x1 2 y2 y1 2 2 x2 x1 2 2 x2 x1 2 4x2x1 80 9 AB 回主頁(yè) 繼續(xù) 一般二次方程的討論 一般二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換 適當(dāng)選取 角 化成A x 2 C y 2 D x E y F 0關(guān)鍵看A C 是否有一個(gè)為零 都不為零時(shí)它們是同號(hào)還是異號(hào)來決定 經(jīng)過變換 4A C B2 4AC B2 4AC為二次方程判別式 回主頁(yè) 課堂訓(xùn)練題 選擇題1 如果方程x2 ky2 2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 A 0 B 0 2 C 1 D 0 1 2 焦點(diǎn)在 1 0 頂點(diǎn)在 1 0 的拋物線方程是 A y2 8 x 1 B y2 8 x 1 C y2 8 x 1 D y2 8 x 1 3 橢圓x2 9 5y2 36的離心率為 A 1 3B 2 3C 1 2D 3 44 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1和F2 短軸的一個(gè)端點(diǎn)是B 則 BF1F2的周長(zhǎng)是 A B C D 5 若拋物線y2 2x上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為5 則該 點(diǎn)的坐標(biāo)是 A 4 2 或 4 2 B 5 或 5 C 4 5 3 或 4 5 3 D 6 2 或 6 2 6 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 中心在原點(diǎn) 實(shí)軸長(zhǎng)為10 焦距為12的雙曲線方程是 A x2 25 y2 11 1或 y2 25 x2 61 1B x2 25 y2 11 1或y2 25 x2 11 1C x2 61 y2 25 1或y2 25 x2 61 1D x2 61 y2 25 1或y2 25 x2 11 17 若方程表示雙曲線 則k的值的范圍是 A k25C 1625 你能做對(duì)多少題 繼續(xù) 回主頁(yè) 圓的目標(biāo)診斷題 1 寫出圓心在 0 3 半徑是的圓方程 A1 2 下列方程表示社么圖形 1 x 3 2 y2 0 2 x2 y2 2x 2y 2 0 3 x2 y2 2ab 0 B1 3 寫出過圓x2 y2 25 0上一點(diǎn)M 2 1 的切線的方程 B2 4 求下列條件所決定的圓的方程 1 圓心在 3 4 且與直線6x 8y 15 0相切 C1 2 經(jīng)過點(diǎn)A 2 1 與直線x y 1相切 且圓心在直線y 2x上 3 經(jīng)過A 5 1 B 1 2 C 1 3 三點(diǎn) 5 求經(jīng)過點(diǎn)P 0 10 且與x軸切于原點(diǎn)的圓的方程 并判斷點(diǎn)A 5 5 B 6 C 3 10 在圓內(nèi) 在圓外 還是在圓上 6 判斷直線3x 4y 24 0與圓x2 y2 6x 4y 12 0的位置關(guān)系 7 求證 兩圓x2 y2 4x 4 0與x2 y2 6x 10y 16 0互相外切 8 求圓的切線方程 1 與圓 x 1 2 y 3 2 25切于點(diǎn)A 3 6 的切線方程 2 若圓x2 y2 13的切線平行于直線4x 6y 5 0 求這切線的方程 3 過點(diǎn)A 4 0 向圓x2 y2 1引切線 求這切線的方程 9 一圓拱橋跨度長(zhǎng)12米 拱高3米 以拱弦所在的直線為x軸 弦的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 求這圓拱曲線的方程 繼續(xù) 圓的目標(biāo)診斷題答案 1 x2 y 3 2 32 1 點(diǎn) 3 0 2 以 1 1 為圓心 2為半徑的圓 3 x2 y b 2 b23 4 1 x 3 2 y 4 2 49 4 2 x 1 2 y 2 2 2或 x 9 2 y 18 2 338 3 7x2 7y2 25x 3y 54 05 x2 y 5 2 25 A點(diǎn)在圓上 B點(diǎn)在圓內(nèi) C點(diǎn)在圓外6 直線與圓相切7 故兩圓外切8 1 4x 3y 30 0 2 2x 3y 13 0 3 9 x2 y 9 2 2 225 4 y 0 橢圓目標(biāo)診斷題 1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 a b 1 焦點(diǎn)在x軸上 2 a 5 c 焦點(diǎn)在y軸上 3 a 6 e 1 3 焦點(diǎn)在x軸上 4 b 4 e 3 5 焦點(diǎn)在y軸上2 利用橢圓的面積公式S ab 求下列橢圓的面積 1 9x2 25y2 225 2 36x2 5y2 1803 求下列橢圓長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng) 離心率 焦點(diǎn)坐標(biāo) 頂點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 并畫出草圖 1 4x2 9y2 36 2 9x2 y2 814 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 長(zhǎng)軸是短軸的5倍 且過點(diǎn) 7 2 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)坐標(biāo)是 0 4 0 4 且經(jīng)過點(diǎn) 5 求直線x y 0和橢圓x2 4 y2 1的交點(diǎn)6 點(diǎn)P與一定點(diǎn)F 4 0 的距離和它到一定直線x 25 4的距離之比是4 5 求點(diǎn)P的軌跡方程 7 地球的子午線是一個(gè)橢圓 兩個(gè)半軸之比是299 300 求地球子午線的離心率 繼續(xù) 答案 回主頁(yè) 橢圓目標(biāo)診斷題的答案 1 1 x2 3 y2 1 2 x2 8 y2 25 1 3 x2 36 y2 32 1 4 x2 16 y2 25 12 1 15 2 3 1 2a 6 2b 4 e F 0 頂點(diǎn) 3 0 0 2 準(zhǔn)線方程 2 2a 18 2b 6 e F 0 頂點(diǎn) 3 0 0 9 準(zhǔn)線方程 4 1 x2 149 25y2 149 1 2 x2 20 y2 36 15 6 x2 25 y2 9 17 前一頁(yè) 雙曲線目標(biāo)診斷題 1 求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 1 a 3 b 4 焦點(diǎn)在x軸上 2 a c 3 焦點(diǎn)在y軸上 3 a 6 e 3 2 焦點(diǎn)在x軸上 4 b e 3 2 焦點(diǎn)在x軸上2 求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸長(zhǎng) 頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo) 離心率 漸近線和準(zhǔn)線方程 并畫出草圖 1 x2 4y2 4 2 9x2 16y2 1443 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 實(shí)半軸是 經(jīng)過點(diǎn)焦點(diǎn)在y軸上 2 兩漸近線方程是y 3 2x 經(jīng)過點(diǎn) 4 求直線3x y 3 0和雙曲線x2 y2 4 1的交點(diǎn)5 點(diǎn)P與定點(diǎn) 6 0 及定直線x 16 3的距離之比是求點(diǎn)P的軌跡方程6 求以橢圓x2 25 y2 9 1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn) 頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程 7 兩個(gè)觀察點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A 200 0 B 200 0 單位是米 A點(diǎn)聽到爆炸聲比B點(diǎn)早1 08秒 求炮彈爆炸點(diǎn)的曲線方程 8 求證 當(dāng)k 9 k 4時(shí) 方程所表示的圓錐曲線有共同的焦點(diǎn) 繼續(xù) 答案 回主頁(yè) 雙曲線目標(biāo)診斷題答案 1 1 x2 9 y2 16 1 2 y2 5 x2 4 1 3 x2 36 y2 45 1 4 y2 2 x2 14 12 1 2a 4 2b 2 頂點(diǎn) 2 0 F 0 e 漸近線方程y 1 2x 準(zhǔn)線方程x 2 2a 6 2b 8 頂點(diǎn) 0 3 F 0 5 e 5 3 漸近線方程 Y 3 4x 準(zhǔn)線方程y 9 53 1 y2 20 5x2 16 1 2 9x2 4y2 24 1 0 和 13 5 24 5 5 x2 8y2 326 x2 16 y2 9 17 8 1 當(dāng)k 4時(shí) 方程表示橢圓 焦點(diǎn)在x軸 此a2 9 k b2 4 k c2 a2 b2 5 F 0 2 當(dāng)4 k 9時(shí) 方程表示雙曲線 焦點(diǎn)在x軸 a2 9 k b2 k 4 c2 a2 b2 5 F 0 所以方程表示的橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn) 前一頁(yè) 拋物線目標(biāo)診斷題 1 拋物線y2 2px p 0 上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是4 求點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離 2 寫出適合下列條件的拋物線方程 1 焦點(diǎn)是F 3 0 2 準(zhǔn)線方程是x 1 2 3 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1 23 求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 1 y2 4x 0 2 2x2 3y 04 推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2 2px p 0 5 根據(jù)下列條件 求拋物線的方程 并描點(diǎn)畫出圖形 1 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸是y軸 且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于2 2 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸是x軸 且經(jīng)過 3 2 點(diǎn) 6 已知一等邊三角形內(nèi)接于拋物線y2 2x 且一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn) 求其他兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo) 7 已知拋物線型的拱橋的頂點(diǎn)距水面2米時(shí) 量得水面寬為8米 當(dāng)水面升高1米后 求水面的寬 8 拋物線頂點(diǎn)是橢圓16x2 25y2 400的中心 焦點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn) 求這拋物線的方程9 把拋物線通徑的兩端分別與準(zhǔn)線和拋物線軸的交點(diǎn)連接 證明這兩條直線互相垂直 答案 回主頁(yè) 拋物線目標(biāo)診斷題答案 1 42 1 y2 12x 2 y2 2x 3 y2 x 或x2 y3 1 F 1 0 準(zhǔn)線方程 x 1 2 F 0 3 8 準(zhǔn)線方程y 3 85 1 x2 8y 2 y2 4 3x6 7 8 y2 12x 9 通徑兩端為 p 2 p p 2 p 準(zhǔn)線與拋物線軸的交點(diǎn) p 2 0 kAC kBC 1 回主頁(yè) 前一頁(yè) 橢圓 雙曲線 拋物線 除課本的定義外還有準(zhǔn)線定點(diǎn) 極坐標(biāo) 圓錐截線等定義 范圍對(duì)稱性頂點(diǎn) 定義 范圍對(duì)稱性頂點(diǎn) 范圍對(duì)稱性頂點(diǎn) 性質(zhì) 共性 都是二次曲線圓錐截線對(duì)稱性準(zhǔn)線定點(diǎn)離心率極坐標(biāo)都有焦點(diǎn) 概念精細(xì)化 直線與雙曲線的位置關(guān)系雙曲線與漸近線的定量分析再說說曲線與方程的兩句話曲線方程與函數(shù)的關(guān)系 Excel畫曲線圖形 請(qǐng)你探索網(wǎng)絡(luò)上的二次曲線圖形 歸納為幾句話 綱要信號(hào)圖表 競(jìng)爭(zhēng)又合作 實(shí)際應(yīng)用1 力學(xué)結(jié)構(gòu)拱橋散熱塔網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)儲(chǔ)槽容器2 光學(xué)性質(zhì)衛(wèi)星天線雷達(dá)激光器光學(xué)器件3 運(yùn)動(dòng)軌跡彈道天體軌道4 測(cè)量定位衛(wèi)星定位GPSB超聲納 JAVA 學(xué)生小結(jié) 求曲線軌跡橢圓 雙曲線 拋物線定義和參數(shù)的題目點(diǎn) 直線與曲線的位置關(guān)系曲線作圖曲線的切線二次曲線的實(shí)際應(yīng)用 回主頁(yè) 概念的精細(xì)化 在 曲線的方程 方程的曲線 的定義中為什么要作兩條規(guī)定 我們可以從集合的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)這個(gè)問題 大家知道 一條曲線和一個(gè)方程f x y 0可以是同一個(gè)點(diǎn)集在 形 和 數(shù) 兩方面的反映 只有當(dāng)曲線所表示的點(diǎn)集C與方程f x y 0的解所表示的點(diǎn)集F是同一個(gè)點(diǎn)集 也就是C F時(shí) 曲線才叫做方程的曲線 方程叫曲線的方程 而兩個(gè)集合C F 必須從兩個(gè)方面說明 1 C中的任何一點(diǎn)屬于F 記曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)是f x y 0的解2 F中的任何一點(diǎn)也屬于C 即以f x y 0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上 說明了 曲線上的點(diǎn)與方程的解滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 求曲線方程的依據(jù) 適合方程的解一定在曲線上 不適合條件的點(diǎn)一定不在曲線上 直線視作曲線的特殊情況 曲線方程與函數(shù)的關(guān)系 曲線方程與函數(shù)的主要不同在于 1 曲線方程反映了x y的數(shù)量上的相互制約關(guān)系 無 依從 關(guān)系 取定一個(gè)x y不一定唯一確定 同樣取定一個(gè)y后x也不一定唯一確定 x與y無 自變量 應(yīng)變量 的 主從 關(guān)系 2 函數(shù)則反之 取定義域中每一個(gè)x 都有唯一的y與之對(duì)應(yīng) 就曲線而言 稱x y的取值范圍 對(duì)函數(shù)而言 分別趁x y的定義域和值域 3 函數(shù)表達(dá)式y(tǒng) f x 曲線方程表達(dá)式為f x y 0 回主頁(yè) 二次曲線題型之一 1 曲線與方程1 判斷已知點(diǎn)是否在曲線上2 已知方程可分解為f1 x y 0 f2 x y 0 fn x y 0 那么這方程的曲線由n個(gè)f1 x y 0 f2 x y 0 fn x y 0來確定 2 求兩條曲線交點(diǎn)代入或加減法消元 用 判別幾個(gè)解 3 點(diǎn) 直線 圓與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓點(diǎn)在圓上 圓外 圓內(nèi) 點(diǎn)與圓心距離和半徑比較或點(diǎn)坐標(biāo)代入方程 0 0 0直線與圓直線方程代入圓方程 判別 特別是切線 圓上點(diǎn)和圓外點(diǎn)的切線例題1從點(diǎn)P 2 3 向圓 x 1 2 y 1 2 1引切線 求切線方程 解 設(shè)切線斜率k 切線方程y kx 2k 3 0 圓方程的圓心 1 1 r 1 圓心到直線的距離等于半徑 K 3 4 切線方程3x 4y 6 0還有一條切線x 2例題2 判斷直線ax by 0與圓x2 y2 ax by 0的位置關(guān)系 解 圓x2 y2 ax by 0即 x a 2 2 y b 2 2 a2 b2 4圓心 a 2 b 2 r 圓心到直線的距離為d 直線ax by 0與圓x2 y2 ax by 0相切 前一頁(yè) 繼續(xù) 有關(guān)曲線的切線詳情 二次曲線題型之二 例題3 已知圓的方程為 x 1 2 y 2 2 13求過A 1 1 且與已知圓相切的切線方程 解 以A 1 1 代入圓方程得 1 1 2 1 2 2 13 即A 1 1 在圓上 可用切線公式 x0 a x a y0 b y b r2寫出切線方程 1 1 x 1 1 2 y 2 13即2x 3y 5 0 例題4 求圓心為 2 1 且與已知圓x2 y2 3x 0的公共弦所在的直線過點(diǎn) 5 2 的圓方程 解 設(shè)所求的圓方程為 x 2 2 y 1 2 r2即 x2 y2 4x 2y 5 r2 0 已知圓方程為 x2 y2 3x 0 由 得公共弦所在的直線方程為x 2y 5 r2 0又直線過 5 2 點(diǎn) r2 4所求的圓方程 x 2 2 y 1 2 4圓與圓的位置關(guān)系判斷方法 一般是兩圓心距離與兩圓半徑和或差作比較 略 當(dāng)兩圓方程聯(lián)立成方程組 消去x2 y2項(xiàng)得一次方程 當(dāng)兩圓相交 則表示為兩圓的公共弦所在的直線 當(dāng)兩圓外切時(shí) 則表示兩圓外公切線方程 當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí) 則表示兩圓的內(nèi)公切線方程 例題5 求以相交的兩圓x2 y2 4x y 1 0及x2 y2 2x 2y 1 0的公共弦為直徑的圓方程 解 聯(lián)立兩圓方程x2 y2 4x y 1 0 x2 y2 2x 2y 1 0 y 2x 代入 x2 2x 2 4x 2x 1 0解之 x1 1 5x2 1y1 2 5y2 2兩圓的交點(diǎn) 1 5 2 5 1 2 所求圓心是兩圓交點(diǎn)的中點(diǎn) 3 5 6 5 所求圓方程 x 3 5 2 y 6 5 2 4 5 前一頁(yè) 繼續(xù) 二次曲線題型之三 橢圓 雙曲線 拋物線的題型例題6 已知橢圓的焦距為6 長(zhǎng)軸為10 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)位置未定 所以分步討論 1 焦點(diǎn)在x軸橢圓的標(biāo)準(zhǔn)為2a 10 a 5 2c 6 c 3 b2 a2 c2 16 b 4所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 焦點(diǎn)在y軸橢圓的標(biāo)準(zhǔn)為A 5 c 3 b 4所求橢圓方程例題6 若拋物線的焦點(diǎn)為 2 2 準(zhǔn)線方程為x y 1 0 求此拋物線 解 設(shè)拋物線上任一點(diǎn)p x y 焦點(diǎn)F 2 2 由拋物線定義 PF d d為P到準(zhǔn)線的距離 整理得x2 2xy y2 6x 6y 15 0橢圓雙曲線混合題例題7 當(dāng)k在什么范圍內(nèi) 下面的方程表示的是橢圓或雙曲線 解 1 若表示橢圓9 k 0k0k0或9 k0解之4 x 9 方程表示是雙曲線 前一頁(yè) 繼續(xù) 二次曲線題型之四 作圖題1 用課本介紹的列表 描點(diǎn) 對(duì)稱的方法2 用Excel作圖法坐標(biāo)平移題例題1 平移坐標(biāo)軸 把原點(diǎn)移到o 3 4 求曲線x2 y2 6x 8y 0在新坐標(biāo)系的方程解 x x 3代入方程x2 y2 6x 8y 0得y y 4 x 3 2 y 4 2 6 x 3 8 y 4 0化簡(jiǎn)x 2 y 2 25例題2 已知雙曲線虛軸為8 頂點(diǎn)坐標(biāo) 1 2 5 2 求雙曲線的方程和漸近線方程解 頂點(diǎn) 1 2 5 2 曲線中心 2 2 焦點(diǎn)在y 2上 x x 2 y y 2 2a 6 2b 8A 3 b 4 雙曲線方程是新坐標(biāo)系中的漸近線方程 求軌跡方程1 直接法求軌跡方程例題9 動(dòng)點(diǎn)P與二定點(diǎn)F1 F2的連線互相垂直 試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解 1 建系取F1 F2所在的直線為x軸 F1 F2的中點(diǎn)為原點(diǎn) 建立直角坐標(biāo)系 F1 a 0 F2 a 0 2 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P x y 為所求軌跡上任意點(diǎn)3 kPF1 KPF2 1 4 化簡(jiǎn)整理x2 y2 a2 x a 2 間接法求軌跡方程例題10 已知圓方程x2 y2 22及點(diǎn)N 6 6 求圓上的點(diǎn)與N點(diǎn)連線中點(diǎn)的軌跡 解 設(shè)圓方程x2 y2 22上一點(diǎn)M a b 有a2 b2 22 設(shè)P x y 為軌跡上任意一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) a 2x 6 b 2y 6代入圓方程得 x2 y2 6x 6y 68 0 3 參數(shù)方程 前一頁(yè) 繼續(xù) 二次曲線題型之五 二次曲線的實(shí)際應(yīng)用問題1 選擇適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)方程和坐標(biāo)系一般曲線頂點(diǎn)在原點(diǎn) 與x y軸對(duì)稱2 輸入已知坐標(biāo)點(diǎn) 或其他條件 求出曲線方程 3 輸入要求的一點(diǎn)f x0 y0 的值 解決問題 一般應(yīng)用有 力學(xué)結(jié)構(gòu) 拱橋 散熱塔 儲(chǔ)槽容器 建筑結(jié)構(gòu)等 光學(xué)性質(zhì) 會(huì)聚和發(fā)散電磁波 衛(wèi)星天線 激光器 雷達(dá)拋物線 雙曲線 橢圓的光學(xué)性質(zhì) 學(xué)生簡(jiǎn)敘 運(yùn)動(dòng)軌跡 彈道 天體軌道 物理運(yùn)動(dòng) 測(cè)量定位 衛(wèi)星定位GPS 聲納等檢測(cè)儀器 繼續(xù) 前一頁(yè) 二次曲線的應(yīng)用 回主頁(yè) 直線與雙曲線的位置關(guān)系 我們舉例說明直線與雙曲線的位置關(guān)系 雙曲線1 當(dāng)y 3 4x時(shí) 直線與雙曲線不相交 y 3 4x代入雙曲線方程 判別式為0 2 當(dāng)y kx b時(shí) 3 43 4時(shí) y kx b代入雙曲線方程 判別式為0 直線與雙曲線的兩支曲線各有一個(gè)切點(diǎn) 判別式 0 直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn) 4 當(dāng)y kx b k 3 4時(shí) b不等于0 直線與雙曲線的一支有一個(gè)交點(diǎn) 但并不相切 直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn) 是直線與雙曲線相切的必要而非充分條件 回主頁(yè) 用Excel繪制二次曲線 用Excel繪制二次曲線圖形直觀 有益于熟悉二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 你想學(xué)學(xué)嗎 回主頁(yè) 回習(xí)題 二次曲線的切線 切點(diǎn) x0 y0 在曲線上圓 x a x0 a y b y0 b r橢圓 xx0 a2 yy0 b2 1雙曲線 xx0 a2 yy0 b2 1拋物線 yy0 p x x0 或xx0 p y y0 焦點(diǎn)在y軸的曲線的切線依此類推 過已知曲線外一點(diǎn) x0 y0 與曲線相切的切線方程設(shè)切線斜率為k 切線方程為y y0 k x x0 代入二次曲線 成為關(guān)于x的一元二次方程 令判別式 0 求得k 獲得切線方程 一般判別式 0能推得直線與曲線相切 反依然 但對(duì)雙曲線而言 這是充分而不必要條件 已知切線的斜率k 求切線方程橢圓x2 a2 y2 b2 1的切線方程 橢圓x2 b2 y2 a2 1的切線雙曲線x2 a2 y2 b2 1的切線雙曲線x2 b2 y2 a2 1的切線拋物線y2 2px的切線y kx p 2k拋物線x2 2pyd的切線y kx k2p 2一般求已知切點(diǎn)的切線方程 把原二次曲線的x2項(xiàng)用xx0代替 y2項(xiàng)用yy0代替 x項(xiàng)用1 2 x x0 y用1 2 y y0 即可 上述內(nèi)容由汪檻同學(xué)提供 回主頁(yè) 回題型一 瀏覽網(wǎng)上動(dòng)態(tài)曲線 用引導(dǎo)探索法讓學(xué)生們觀察英國(guó)UniversityofStAndrewsMT網(wǎng)站的二次曲線 改變a b值可觀看動(dòng)態(tài)的二次曲線的變化 網(wǎng)址 http 138 251 192 92 更多資源