專題五立體幾何第1講空間幾何體的三視圖、表面積及體積真題試做1(2020·北京高考，文7)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()A286 B306C5612 D60122(2020·安徽高考，文12)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于_3(2020·湖北高考，文15)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_4(2020·湖北高考，文19)某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1C1D1­ABCD，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD­A2B2C2D2.(1)證明：直線B1D1平面ACC2A2；(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理已知AB10，A1B120，AA230，AA113(單位：厘米)，每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少元？考向分析通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的分析可看出，空間幾何體的命題形式比較穩(wěn)定，多為選擇題或填空題，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題的某一問(wèn)中，題目常為中、低檔題考查的重點(diǎn)是直觀圖、三視圖、面積與體積等知識(shí)，此類問(wèn)題多為考查三視圖的還原問(wèn)題，且常與空間幾何體的表面積、體積等問(wèn)題交會(huì)，是每年的必考內(nèi)容預(yù)計(jì)在2020年高考中：對(duì)空間幾何體的三視圖的考查有難度加大的趨勢(shì)，通過(guò)此類題考查考生的空間想象能力；對(duì)表面積和體積的考查，常見形式為蘊(yùn)涵在兩幾何體的“切”或“接”形態(tài)中，或以三視圖為載體進(jìn)行交會(huì)考查，此塊內(nèi)容還要注意強(qiáng)化幾何體的核心截面以及補(bǔ)形、切割等數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例1】(1)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如下圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()(2)若某幾何體的三視圖如下圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()規(guī)律方法 (1)三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形，反映了一個(gè)幾何體各個(gè)側(cè)面的特點(diǎn)正(主)視圖反映物體的主要形狀特征，是三視圖中最重要的視圖；俯視圖要和正(主)視圖對(duì)正，畫在正(主)視圖的正下方；側(cè)(左)視圖要畫在正(主)視圖的正右方，高度要與正(主)視圖平齊；(2)要注意到在畫三視圖時(shí)，能看到的輪廓線畫成實(shí)線，看不到的輪廓線畫成虛線；(3)平面圖形與立體圖形的實(shí)物圖與直觀圖之間的關(guān)系如下表：圖形實(shí)物圖直觀圖平面圖形水平放置的平面圖形直觀圖(斜二測(cè)畫法，即平行于x軸的線段長(zhǎng)度不變，而平行于y軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)長(zhǎng)度的一半)設(shè)其面積S直觀圖面積為S由直觀圖求原圖形元素間的關(guān)系，利用逆向思維，尋求突破口立體圖形空間幾何體直觀圖(只比平面圖形的直觀圖多畫了一個(gè)z軸且其長(zhǎng)度不變)變式訓(xùn)練1 (1)(2020·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考，文9)已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖(俯視圖中的弧線是半圓)，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的表面積是()cm2.A42 B43 C44 D16(2)一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是()A. B1C1 D2熱點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積【例2】(2020·福建高考，文20)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線段AD上，且CEAB.(1)求證：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45°，求四棱錐P­ABCD的體積規(guī)律方法 (1)求幾何體的體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮對(duì)于規(guī)則的幾何體的體積，如求三棱錐的體積，采用等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化的原則是其高與底面積易求；對(duì)于不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)法求解，即將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，以易于求解(2)求解幾何體的表面積時(shí)要注意S表S側(cè)S底(3)對(duì)于給出幾何體的三視圖，求其體積或表面積的題目關(guān)鍵在于要還原出空間幾何體，并能根據(jù)三視圖的有關(guān)數(shù)據(jù)和形狀推斷出空間幾何體的線面關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)，至于體積或表面積的求解套用對(duì)應(yīng)公式即可變式訓(xùn)練2 已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中正(主)視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為()A24 B24C24 D24熱點(diǎn)三多面體與球【例3】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a.(1)求它的外接球的體積；(2)求它的內(nèi)切球的表面積規(guī)律方法 (1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系(2)若球面四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PAa，PBb，PCc，則4R2a2b2c2，把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接正方體(或其他圖形)，從而顯示出球的數(shù)量特征，這種方法是一種常用的好方法變式訓(xùn)練3 如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，PD底面ABCD，且PDa，PAPCa.若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑是_思想滲透立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸思想求空間幾何體的體積時(shí)，常常需要對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?gòu)造和處理，使復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化，非標(biāo)準(zhǔn)圖形標(biāo)準(zhǔn)化，此時(shí)轉(zhuǎn)化與化歸思想就起到了至關(guān)重要的作用利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求空間幾何體的體積主要包括割補(bǔ)法和等體積法，具體運(yùn)用如下：(1)補(bǔ)法是指把不規(guī)則的(不熟悉或復(fù)雜的)幾何體延伸或補(bǔ)成規(guī)則(熟悉的或簡(jiǎn)單的)的幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形；(2)割法是指把復(fù)雜的(不規(guī)則的)幾何體切割成簡(jiǎn)單的(規(guī)則的)幾何體；(3)等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件轉(zhuǎn)化為易求的面積(體積)問(wèn)題【典型例題】如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)(1)求證：DE平面ABC；(2)求三棱錐E­BCD的體積(1)證明：取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG.因?yàn)镋是B1C的中點(diǎn)，所以EGBB1，且EG=BB1.由直棱柱知，AA1BB1.而D是AA1的中點(diǎn)，所以EGAD，所以四邊形EGAD是平行四邊形，所以EDAG.又DE平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC.(2)解：因?yàn)锳DBB1，所以AD平面BCE，所以VE­BCDVD­BCEVA­BCEVE­ABC.由(1)知，DE平面ABC，所以VE­ABCVD­ABCAD·BC·AG×3×6×412.1(2020·山東濟(jì)南三月模擬，4)如圖，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，其正(主)視圖如圖所示，則此三棱柱側(cè)(左)視圖的面積為()A2 B4 C. D22(2020·安徽安慶二模，7)一空間幾何體的三視圖如圖所示(正(主)、側(cè)(左)視圖是兩全等圖形，俯視圖是圓及圓的內(nèi)接正方形)，則該幾何體的表面積是()A7 cm2 B(54) cm2C(52) cm2 D(622) cm23(2020·北京豐臺(tái)區(qū)三月月考，4)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A202 B20C40 D404(2020·湖南株洲下學(xué)期質(zhì)檢，14)一個(gè)三棱錐的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖如下，則這個(gè)三棱錐的體積為_，其外接球的表面積為_5已知正四面體的外接球半徑為1，則此正四面體的體積為_6在正六棱錐P­ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D­GAC與三棱錐P­GAC體積之比為_7如圖，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60°，E為AB的中點(diǎn)，將ADE與BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合，求形成三棱錐的外接球的體積參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：根據(jù)三棱錐的三視圖可還原此幾何體的直觀圖(如圖所示)此幾何體為一個(gè)底面為直角三角形，高為4的三棱錐，因此表面積為S×(23)×4×4×5×4×(23)×2×306.256解析：由三視圖可知，該幾何體為底面是直角梯形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，V柱×(25)×4×456.312解析：該幾何體是由3個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體，故體積V2××22×1×12×412.4(1)證明：因?yàn)樗睦庵鵄BCD­A2B2C2D2的側(cè)面是全等的矩形，所以AA2AB，AA2AD.又因?yàn)锳BADA，所以AA2平面ABCD.連接BD，因?yàn)锽D平面ABCD，所以AA2BD.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以ACBD.又已知平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D平面ABCDBD，平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1BD.于是由AA2BD，ACBD，B1D1BD，可得AA2B1D1，ACB1D1.又因?yàn)锳A2ACA，所以直線B1D1平面ACC2A2.(2)解：因?yàn)樗睦庵鵄BCD­A2B2C2D2的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，所以S1S四棱柱上底面S四棱柱側(cè)面(A2B2)24AB·AA21024×10×301 300(cm2)又因?yàn)樗睦馀_(tái)A1B1C1D1­ABCD的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形(其高為h)，所以S2S四棱臺(tái)下底面S四棱臺(tái)側(cè)面(A1B1)24×(ABA1B1)h2024××(1020)1 120(cm2)于是該實(shí)心零部件的表面積為SS1S21 3001 1202 420(cm2)，故所需加工處理費(fèi)為0.2S0.2×2 420484(元)精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】 (1)D(2)B解析：(1)被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為正方體的面對(duì)角線，它們?cè)谟覀?cè)面上的投影與右側(cè)面(正方形)的兩條邊重合，另一條為正方體的對(duì)角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合，對(duì)照各圖及對(duì)角線方向，只有選項(xiàng)D符合(2)由正視圖可排除A，C；由側(cè)視圖可判斷該幾何體的直觀圖是B.【變式訓(xùn)練1】 (1)B(2)D解析：(1)該幾何體是一個(gè)半圓柱，所以S2×2×12×2×2×243.(2)如圖，設(shè)直觀圖為OABC，建立如圖所示的坐標(biāo)系，按照斜二測(cè)畫法的規(guī)則，在原來(lái)的平面圖形中，OCOA，且OC2，BC1，OA12×1，故其面積為×(11)×22.【例2】 (1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因?yàn)锳BAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)解：由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECD·cos 45°1，CECD·sin 45°1.又因?yàn)锳BCE1，ABCE，所以四邊形ABCE為矩形所以S四邊形ABCDS矩形ABCESECDAB·AECE·DE1×2×1×1.又PA平面ABCD，PA1，所以V四棱錐P­ABCDS四邊形ABCD·PA××1.【變式訓(xùn)練2】 A解析：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4,3,2的長(zhǎng)方體，剖去一個(gè)半圓柱而得到的幾何體，其體積為2×3×4×1×3，即24.【例3】 解：如圖所示，SAC的外接圓是外接球的一個(gè)大圓，只要求出這個(gè)外接圓的半徑即可，而內(nèi)切球的球心到棱錐的各個(gè)面的距離相等，可由正四棱錐的體積求出其半徑(1)設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，則OAOCOS，O為SAC的外心，即SAC的外接圓半徑就是球的半徑ABBCa，ACa.SASCACa，SAC為正三角形由正弦定理得2Ra，因此Ra，V外接球R3a3.(2)如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，作SE底面于E，作SFBC于F，連接EF，則有SFa，SSBCBC·SFa×aa2，S棱錐全4SSBCS底(1)a2.又SEa，V棱錐S底·SEa2×aa3，ra，S內(nèi)切球4r2a2.【變式訓(xùn)練3】 (2)a解析：當(dāng)且僅當(dāng)球與四棱錐的各個(gè)面都相切時(shí)，球的半徑最大設(shè)放入的球的半徑為r，球心為O，連接OP，OA，OB，OC，OD，則把此四棱錐分割成四個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，這些小棱錐的高都是r，底面分別為原四棱錐的側(cè)面和底面，則VP­ABCDr(SPABSPBCSPCDSPADS正方形ABCD)r(2)a2.由題意知PD底面ABCD，VP­ABCDS正方形ABCD·PDa3.由體積相等，得r(2)a2a3，解得r(2)a.創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練1D2D解析：據(jù)三視圖可判斷該幾何體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)正四棱錐組合而成的，直觀圖如圖所示：易求得表面積為(622)cm2.3B解析：由三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個(gè)正四棱柱，從上表面扣除半個(gè)內(nèi)切球易求出正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，內(nèi)切球的半徑為1，故體積為2×2×520.44295.解析：首先將正四面體補(bǔ)形為一個(gè)正方體，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，則其對(duì)應(yīng)正方體的棱長(zhǎng)為a，且由球與正方體的組合關(guān)系易知32(1×2)2，解得a2，正四面體的體積為V34×××33.621解析：由正六棱錐的性質(zhì)知，點(diǎn)P在底面內(nèi)的射影是底面的中心，也是線段AD的中點(diǎn)又G為PB的中點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為O，則G點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為OB的中點(diǎn)M，且GMPO.又M為AC的中點(diǎn)，則GM平面GAC，所以點(diǎn)P到平面GAC的距離等于點(diǎn)O到平面GAC的距離又因?yàn)镺M平面GAC，DC平面GAC，且DC2OM，則2.7解：由已知條件知，平面圖形中AEEBBCCDDADEEC1，折疊后得到一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正三棱錐(如圖)方法一：作AF平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為DEC的中心，取EC中點(diǎn)G，連接DG，AG，過(guò)球心O作OH平面AEC，則垂足H為AEC的中心，外接球半徑可利用OHAAFG求得AG，AF，AH，OA，外接球體積為×OA3··.方法二：如圖，把棱長(zhǎng)為1的正三棱錐放在正方體中，顯然，棱長(zhǎng)為1的正三棱錐的外接球就是正方體的外接球正方體棱長(zhǎng)為，外接球直徑2R·，R，體積為·3.