絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 理全國卷3【命題特點】2020年新課標III高考數學試卷，試卷內容上體現(xiàn)新課程理念，貼近中學數學教學，堅持對基礎知識、基本技能以及數學思想方法的考查。在保持穩(wěn)定的基礎上，進行適度的改革和創(chuàng)新。2020年的數學試卷“以穩(wěn)為主”試卷結構平穩(wěn)，同時題目平和、無偏怪題，難度控制理想?！胺€(wěn)中求進”試卷考查的具體知識點有變化。 1、回歸教材，注重基礎 2020 年新課標III卷遵循了考查基礎知識為主體的原則，尤其是考試說明中的大部分考點，考查了復數、三角函數、折線圖、概率、解析幾何、向量、框圖、線性規(guī)劃等考點。 2、適當設置題目難度與區(qū)分度 與往年課標III卷相對比，今年的難度設置在最后21題。尤其以選擇題第 12 題和填空題第 16道，只要能認真分析，解決此問題的是不成問題。 3、布局合理，考查全面，著重數學方法和數學思想的考察 解答題部分，包括三角函數、立體幾何、概率統(tǒng)計、解析幾何、導數五大版塊和二選一問題。以知識為載體，立意于能力。 4、命題考察的沿續(xù)性 2020 年新課標III卷，在力求創(chuàng)新基礎上，也有一些不變的東西。例如 2020 年新課標 III 卷在集合、復數、算法、線性規(guī)劃的命題方式基本完全一致?！久}趨勢】1.函數知識：以導數知識為背景的函數問題；分段函數與不等式結合的題目；三角函數的性質及其討論；從重結果考查轉向重過程考查；從熟悉情景的考查轉向新穎情景的考查。 2.函數零點問題：函數零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數范圍，這也體現(xiàn)了數形結合思想的應用 3.不等式知識：突出工具性，不等式的性質與分段函數，絕對值的性質綜合起來進行考查，考查學生的等價轉化能力和分類討論能力；4.立體幾何知識：2020年已經變得簡單，2020年難度依然不大， 16題填空題將立體幾何的知識與運動問題相聯(lián)系，然后確定最值及取值范圍；第8題考查圓柱的體積問題，要求學生的空間想象能力比加強.5.解析幾何知識：解答題主要考查直線、拋物線和圓的知識，考試的難度與往年持平，選擇題5題考查共焦點問題，屬于常規(guī)題目，10題綜合了拋物線、圓和直線的問題，需要對位置關系有透徹的理解。6.導數知識：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點， 21題加強了與不等式的聯(lián)系，要求學生的對導數的深層含義能準確把握，12題涉及零點問題，由唯一性確定參數值，要應用選擇題的特點靈活處理.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合A=，B=，則AB中元素的個數為A3B2C1D0【答案】B【解析】【考點】 交集運算；集合中的表示方法?！久麕燑c睛】求集合的基本運算時，要認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件。集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性。2設復數z滿足(1+i)z=2i，則z=ABCD2【答案】C【解析】【考點】 復數的模；復數的運算法則【名師點睛】共軛與模是復數的重要性質，注意運算性質有：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 。3某城市為了解游客人數的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了下面的折線圖根據該折線圖，下列結論錯誤的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】A【解析】動性大，選項D說法正確；故選D。【考點】 折線圖【名師點睛】將頻率分布直方圖中相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為本組數據的頻率折線圖，頻率分布折線圖的的首、尾兩端取值區(qū)間兩端點須分別向外延伸半個組距，即折線圖是頻率分布直方圖的近似，他們比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律。4的展開式中33的系數為A B C40D80【答案】C【解析】試題分析：， 由 展開式的通項公式： 可得：當 時， 展開式中 的系數為 ，當 時， 展開式中 的系數為 ，則 的系數為 。故選C?！究键c】 二項式展開式的通項公式【名師點睛】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且nr，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項。(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解。5已知雙曲線C： (a0,b0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則C的方程為ABCD【答案】B【解析】故選B?！究键c】 雙曲線與橢圓共焦點問題；待定系數法求雙曲線的方程?！久麕燑c睛】求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數法。具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值。如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出的值即可。6設函數f(x)=cos(x+)，則下列結論錯誤的是Af(x)的一個周期為2By=f(x)的圖像關于直線x=對稱Cf(x+)的一個零點為x=Df(x)在(,)單調遞減【答案】D【解析】當 時， ，函數在該區(qū)間內不單調，選項D錯誤；故選D。【考點】 函數 的性質【名師點睛】(1)求最小正周期時可先把所給三角函數式化為yAsin(x)或yAcos( x)的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關鍵是解析式是否為yAsin x或yAcos xb的形式。(2)求f(x)Asin(x)(0)的對稱軸，只需令，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令xk(kZ)即可。7執(zhí)行右圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數N的最小值為A5B4C3D2【答案】D【解析】【考點】 流程圖【名師點睛】利用循環(huán)結構表示算法，一定要先確定是用當型循環(huán)結構，還是用直到型循環(huán)結構；當型循環(huán)結構的特點是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結構的特點是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷；注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不可混用；賦值語句賦值號左邊只能是變量，不能是表達式，右邊的表達式可以是一個常量、變量或含變量的運算式。8已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為ABCD【答案】B【解析】試題分析：繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式可得：圓柱的體積是，故選B?！究键c】 圓柱的體積公式【名師點睛】(1)求解以空間幾何體的體積的關鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解。9等差數列的首項為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數列，則前6項的和為A B C3D8【答案】A【解析】【考點】 等差數列求和公式；等差數列基本量的計算【名師點睛】(1)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題。(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。10已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為ABCD【答案】A【解析】【考點】 橢圓的離心率的求解；直線與圓的位置關系【名師點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式e ；只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2a2c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)。11已知函數有唯一零點，則a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數的零點滿足，設，則，當時，當時，函數 單調遞減，當時，函數 單調遞增，【考點】 函數的零點；導函數研究函數的單調性，分類討論的數學思想【名師點睛】函數零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數，利用兩個函數圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數形結合思想的應用。12在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上。若= +，則+的最大值為A3B2CD2【答案】A【解析】試題分析：如圖所示，建立平面直角坐標系設 ,根據等面積公式可得圓的半徑，即圓C的方程是 ，【考點】 平面向量的坐標運算；平面向量基本定理【名師點睛】(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算。(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若，滿足約束條件，則的最小值為_?！敬鸢浮?【解析】試題分析：繪制不等式組表示的可行域，目標函數即：，其中表示斜率為的直線系與可行域有交點時直線的截距值的 倍，截距最大的時候目標函數取得最小值，數形結合可得目標函數在點 處取得最小值?！究键c】應用線性規(guī)劃求最值【名師點睛】求線性目標函數zaxby(ab0)的最值，當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划攂0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大。14設等比數列滿足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，則a4 = _?！敬鸢浮俊窘馕觥俊究键c】 等比數列的通項公式【名師點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程。15設函數則滿足的x的取值范圍是_?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：令 ，當時，當時，當時，【考點】 分段函數；分類討論的思想【名師點睛】(1)求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應從內到外依次求值。(2)當給出函數值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍。16a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；直線AB與a所成角的最小值為45°；直線AB與a所成角的最小值為60°。其中正確的是_。（填寫所有正確結論的編號）【答案】【解析】【考點】 異面直線所成的角【名師點睛】(1)平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角。(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知 ，a=2,b=2。（1）求c；（2）設D為BC邊上一點，且ADAC,求ABD的面積。【答案】(1) ；(2) 【解析】【考點】 余弦定理解三角形；三角形的面積公式【名師點睛】在解決三角形問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來。正、余弦定理在應用時，應注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷。18（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關。如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）。當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數學期望達到最大值？【答案】(1)分布列略；(2) n=300時，Y的數學期望達到最大值，最大值為520元?！窘馕觥咳糇罡邭鉁夭坏陀?5，則 ，若最高氣溫位于區(qū)間，則;若最高氣溫低于20，則 ;因此 。當時，若最高氣溫不低于20，則 ;若最高氣溫低于20，則 ;因此 。所以n=300時，Y的數學期望達到最大值，最大值為520元?！究键c】 離散型隨機變量的分布列；數學期望；【名師點睛】離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值范圍以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布兩點分布與超幾何分布；并善于靈活運用兩性質：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗分布列的正誤。19（12分）如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值?！敬鸢浮?1)證明略；(2) 。【解析】又由于ABC是正三角形，故。所以為二面角 的平面角。在RtAOB中， 。又 ，所以 ，故 。所以平面ACD平面ABC。（2）可取 。設是平面AEC的法向量，則同理可得 。則 。所以二面角D-AE-C的余弦值為 ?！究键c】 二面角的平面角；面面角的向量求法【名師點睛】(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算。(2)設m，n分別為平面，的法向量，則二面角與<m，n>互補或相等，故有|cos |cos<m，n>|=。求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。20（12分）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓。（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程?！敬鸢浮?1)證明略；(2)直線 的方程為 ，圓 的方程為 ?；蛑本€ 的方程為 ，圓 的方程為 。【解析】故坐標原點 在圓 上。(2)由(1)可得 。故圓心 的坐標為 ，圓 的半徑 .由于圓 過點 ，因此 ，故 ，即 。由(1)可得 ?！究键c】 直線與拋物線的位置關系；圓的方程【名師點睛】直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況。中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證0或說明中點在曲線內部。21（12分）已知函數 。（1）若 ，求a的值；（2）設m為整數，且對于任意正整數n ，求m的最小值?！敬鸢浮?1) ；(2) 【解析】試題分析：(1)由原函數與導函數的關系可得x=a是在的唯一最小值點，列方程解得 ；(2)利用題意結合(1)的結論對不等式進行放縮，求得，結合可知實數 的最小值為 試題解析：解：（1）的定義域為.故 。而 ，所以 的最小值為 ?！究键c】 導數研究函數的單調性；導數研究函數的最值；利用導數證明不等式【名師點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數 (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數形結合思想的應用（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22選修44：坐標系與參數方程（10分）在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為（t為參數），直線l2的參數方程為。設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C。（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設，M為l3與C的交點，求M的極徑?！敬鸢浮?1) ；(2) 【解析】試題分析：(1)利用題意首先得到曲線 的參數方程，然后消去參數即可得到曲線 的普通方程；(2)聯(lián)立兩個極坐標方程可得，代入極坐標方程進行計算可得極徑的值為 試題解析：（1）消去參數 得 的普通方程；消去參數m得l2的普通方程【考點】 參數方程與直角坐標方程互化；極坐標中的極徑的求解【名師點睛】本題考查了極坐標方程的求法及應用。重點考查了轉化與化歸能力。遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解。要結合題目本身特點，確定選擇何種方程。23選修45：不等式選講（10分）已知函數f（x）=x+1x2。（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范圍。【答案】(1) ；(2) 【解析】試題分析：(1)將函數零點分段然后求解不等式即可；(2)利用題意結合絕對值不等式的性質有，則m的取值范圍是試題解析：（1）【考點】 絕對值不等式的解法【名師點睛】絕對值不等式的解法有三種：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現(xiàn)了函數與方程的思想。