淺談函數(shù)的對(duì)稱性新化二中數(shù)學(xué)組 陳秋生函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)性質(zhì)的一條非常重要的性質(zhì)，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想有著較高的要求，也逐漸成了高考和競(jìng)賽的熱點(diǎn)，筆者在分析2020年高考試題時(shí)發(fā)現(xiàn)：全國(guó)卷（文）第4題，北京卷（文）第2題，天津卷（理）第8題，山東卷（理）第6題，湖南（文）第8題等，都是一些能直接用函數(shù)對(duì)稱性解決的問(wèn)題。但同時(shí)也使很多同學(xué)感到困惑，本文就筆者在教學(xué)中的一些心得談幾點(diǎn)淺顯的看法。一、 函數(shù)自身的對(duì)稱性結(jié)論. 若函數(shù) y = f (x)滿足f (a +x) = f (bx)那么函數(shù)本身的圖像關(guān)于直線x = 對(duì)稱，反之亦然。證明 ：已知對(duì)于任意的都有f(a+) =f(b)= 令a+=, b= 則（，），（，）是函數(shù)y=f(x)上的點(diǎn)顯然，兩點(diǎn)是關(guān)于x= 對(duì)稱的。反之，若已知函數(shù)關(guān)于直線x = 對(duì)稱，在函數(shù)y = f (x)上任取一點(diǎn)（）那么（）關(guān)于x = 對(duì)稱點(diǎn)（a+ b,）也在函數(shù)上故f()=f(a+ b)f(a+(-a)=f(b-(-a)所以有f (a +x) = f (bx)成立。推論：偶函數(shù)（f(x)=f(-x)）關(guān)于y軸對(duì)稱。結(jié)論.如果函數(shù) y = f (x)滿足f (x) + f (ax) = b，那么它的圖像關(guān)于點(diǎn)A ()對(duì)稱，反之亦然。證明：設(shè)點(diǎn)P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P()關(guān)于點(diǎn)A ()的對(duì)稱點(diǎn)P（a， b）也在y = f (x)圖像上，故b = f (a)即 + f (a)=b故f (x) + f (ax) = b反之，設(shè)點(diǎn)P()是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則0 = f () f (x) + f (ax) =bf () + f (a) =b，即b = f (a) 。 故點(diǎn)P（a， b）也在y = f (x) 圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A ()對(duì)稱，所以函數(shù)圖象是關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的。推論：奇函數(shù)（f(-x)=-f(x)）圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。結(jié)論A)若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)P (a ,c)和點(diǎn)Q (b ,c)成中心對(duì)稱 （ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個(gè)周期。 B)若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱 （ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個(gè)周期。C)若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A (a ,c) 成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱（ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| ab|是其一個(gè)周期。證明（略）例如：設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y=f(x2)與函數(shù)y=f(2x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。函數(shù)是定義在上的函數(shù)且f(x2)f(2x)由f(a-x)=f(x+b)的對(duì)稱軸是x=0函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱！細(xì)心的讀者會(huì)看出，它其實(shí)不是同一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題，而是兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱，所以上述的解法是錯(cuò)誤的。二、 不同函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題結(jié)論.若點(diǎn)p(,)關(guān)于點(diǎn)（a,b）對(duì)稱點(diǎn)為q()則2a-,=2b- 若點(diǎn)p(,)關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱點(diǎn)為q()則（證明留給讀者）結(jié)論. 函數(shù)y = f (x)與y = 2bf (2ax)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)成中心對(duì)稱。結(jié)論.函數(shù)y = f (x)與y = f (2ax)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱。函數(shù)y = f (x)與ax = f (ay)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對(duì)稱。函數(shù)y = f (x)與xa = f (y + a)的圖像關(guān)于直線xy = a成軸對(duì)稱。 設(shè)點(diǎn)P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0)。記點(diǎn)P( x ,y)關(guān)于直線xy = a的軸對(duì)稱點(diǎn)為P（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0a ，x0 = a + y1 , y0= x1a 代入y0 = f (x0)之中得x1a = f (a + y1) 點(diǎn)P（x1， y1）在函數(shù)xa = f (y + a)的圖像上。同理可證：函數(shù)xa = f (y + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線xy = a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的成立。推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱。三、 函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）（第十二屆希望杯高二 第二試題）(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10x).f (x)有兩條對(duì)稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)， x =0即y軸也是f (x)的對(duì)稱軸，因此f (x)還是一個(gè)偶函數(shù)。故選(A)例2：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x1)和g-1(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，y = g-1(x2) 反函數(shù)是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,應(yīng)選（C）例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1x),當(dāng)1x0時(shí)，f (x) = x，則f (8.6 ) = _ （第八屆希望杯高二 第一試題）解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)x = 0是y = f(x)對(duì)稱軸；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 對(duì)稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4.函數(shù) y = sin (2x + )的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是（ ）(92全國(guó)高考理) (A) x = (B) x = (C) x = (D) x =解：函數(shù) y = sin (2x + )的圖像的所有對(duì)稱軸的方程是2x + = k+x = ,顯然取k = 1時(shí)的對(duì)稱軸方程是x = 故選(A)例5. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= f(x),當(dāng)0x1時(shí)，f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直線x = 1是y = f (x) 對(duì)稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故選(B)