§3 弧度制一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：（1）理解1弧度的角及弧度的定義；（2）掌握角度與弧度的換算公式；（3）熟練進(jìn)行角度與弧度的換算；（4）理解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（5）理解并掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式，并能靈活運(yùn)用這兩個(gè)公式解題。2、過(guò)程與方法：通過(guò)單位圓中的圓心角引入弧度的概念；比較兩種度量角的方法探究角度制與弧度制之間的互化；應(yīng)用在特殊角的角度制與弧度制的互化，幫助學(xué)生理解掌握；以針對(duì)性的例題和習(xí)題使學(xué)生掌握弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式；通過(guò)自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，樹(shù)立學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)弧度制的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制與弧度制都是度量角制度，二者雖單位不同，但卻是相互聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的；在弧度制下，角的加、減運(yùn)算可以像十進(jìn)制一樣進(jìn)行，而不需要進(jìn)行角度制與十進(jìn)制之間的互化，化簡(jiǎn)了六十進(jìn)制給角的加、減運(yùn)算帶來(lái)的諸多不便，體現(xiàn)了弧度制的簡(jiǎn)捷美；通過(guò)弧度制與角度制的比較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到引入弧度制的優(yōu)越性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。二、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 理解弧度制的意義，正確進(jìn)行弧度與角度的換算；弧長(zhǎng)和面積公式及應(yīng)用。難點(diǎn): 弧度的概念及與角度的關(guān)系；角的集合與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。三、學(xué)法與教法在初中，我們非常熟悉角度制表示角，但在進(jìn)行角的運(yùn)算時(shí)，運(yùn)用六十進(jìn)制出現(xiàn)了很不習(xí)慣的問(wèn)題，與我們常用的十進(jìn)制不一樣，正因?yàn)檫@樣，所以有必要引入弧度制；在學(xué)習(xí)中，通過(guò)自主學(xué)習(xí)的形式，讓學(xué)生感受弧度制的優(yōu)越性，在類(lèi)比中理解掌握弧度制。教法:探究討論法。四、教學(xué)過(guò)程 （一）、創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題 在初中幾何里我們學(xué)過(guò)角的度量，當(dāng)時(shí)是用度做單位來(lái)度量角的我們把周角的規(guī)定為1度的角，而把這種用度作單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制但在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中我們還經(jīng)常用到另一種度量角的單位制弧度制。下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)弧度制的有關(guān)概念(板書(shū)課題)弧度制的單位是rad，讀作弧度（二）、探究新知11弧度的角的定義(板書(shū))我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角，叫做1弧度的角(打開(kāi)課件)如圖112(見(jiàn)教材)，弧AB的長(zhǎng)等于半徑r，則弧AB所對(duì)的圓心角就是1弧度的角，弧度的單位記作rad。在圖1（課件）中，圓心角AOC所對(duì)的弧長(zhǎng)l2r，那么AOC的弧度數(shù)就是2rad；圓心角AOD所對(duì)的弧長(zhǎng)lr，那么AOC的弧度數(shù)就是rad；圓心角AOE所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，那么AOE的弧度數(shù)是多少呢？學(xué)生思考并交流，此我們可以得到弧度制的定義 2弧度制的定義： 一般地，(板書(shū))正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是o；角的弧度數(shù)的絕對(duì)值|，其中l(wèi)是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)弧的長(zhǎng)，r是圓的半徑，這種以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做弧度制 在弧度制的定義中，我們是用弧長(zhǎng)與其半徑的比值來(lái)反映弧所對(duì)的圓心角的大小的為什么可以用這個(gè)比值來(lái)度量角的大小呢?這個(gè)比值與所取的圓的半徑大小有沒(méi)有關(guān)系?請(qǐng)同學(xué)們自主學(xué)習(xí)課本P9P10，從課本中我們可以看出，這個(gè)比值與所取的半徑大小無(wú)關(guān)，只與角的大小有關(guān)。有興趣的同學(xué)們可以對(duì)它進(jìn)行理論上的證明： (論證)如圖113（見(jiàn)教材），設(shè)為n°(n°0)的角，圓弧AB和AlBl的長(zhǎng)分別為l和l1，點(diǎn)A和Al到點(diǎn)O的距離(即圓的半徑)分別為r(r0)和rl(rl0)，由初中所學(xué)的弧長(zhǎng)公式有l(wèi)r，l1r1，所以，這表明以角為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與其半徑的比值，與所取的半徑大小無(wú)關(guān)，只與角的大小有關(guān)用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，但量數(shù)相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同但它們既然是表示同一個(gè)角，那這二者之間就應(yīng)該可以進(jìn)行換算，下面我們來(lái)討論角度與弧度的換算 3角度制與弧度制的換算 現(xiàn)在我們知道：1個(gè)周角360°r，所以，(板書(shū))360°2rad，由此可以得到180°rad，1°001745rad，1rad（）°57.30°57°18。說(shuō)明：在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，關(guān)鍵要抓住180°rad這一關(guān)系式 今后我們用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫(xiě)，而只寫(xiě)這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)例如，角2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角時(shí)，“度”或“°”不能省去而且用“弧度”為單位度量角時(shí)，常把弧度數(shù)寫(xiě)成多少的形式，如無(wú)特別要求，不必把寫(xiě)成小數(shù)，如45°rad ，不必寫(xiě)成45°0785弧度前面我們介紹了角度制下的終邊相同角的表示方法，而角度制與弧度制可以相互轉(zhuǎn)化，所以與角終邊相同的角(連同角在內(nèi))，也可以用弧度制來(lái)表示但書(shū)寫(xiě)時(shí)要注意前后兩項(xiàng)所采用的單位制必須一致角的概念推廣后，無(wú)論用角度制還是用弧度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，例如這個(gè)角的弧度數(shù)或度數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角與它對(duì)應(yīng)，就是弧度數(shù)或度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角。（三）、鞏固深化，發(fā)展思維1例題講評(píng)例1把45°化成弧度。 解：45°×45radrad.例2把rad化成度。 解：rad×180°108°.例3利用弧度制證明扇形面積公式Slr，其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，r是圓的半徑。證：圓心角為1的扇形的面積為·r2，又弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角的大小為，扇形的面積S··r2lr.2學(xué)生課堂練習(xí)：（1）填表度0°45°60°180°360°弧度說(shuō)明：一些特殊角的弧度數(shù)，大家要熟記，免得每次遇到都要去進(jìn)行換算 （2）用弧度制寫(xiě)出終邊落在y軸上和x軸上的角集合。（四）、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)：（1）主要學(xué)習(xí)了弧度制的定義；角度與弧度的換算公式；特殊角的弧度數(shù)。（2）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向老師提出。（3）你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？（五）、布置作業(yè)：習(xí)題13中的1、2、6.五、課后反思：