2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)皰丁巧解牛知識·巧學(xué)一、直線與平面垂直的性質(zhì)：垂直于同一平面的兩條直線平行. 符號語言：a,b ab. 直線與平面垂直的性質(zhì)可以作為線線平行的判定定理.同時有如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線上各點到平面的距離相等.二、面面垂直的性質(zhì)：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直. 符號語言：,=l,a,ala. 只要有兩個平面垂直，那么向交線作垂線便得線面垂直，進(jìn)一步更有線與線的垂直.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)相互結(jié)合，為證明線線垂直、線面垂直提供了更多的技巧. 簡言之:面面垂直,則線面垂直.三、線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 運用兩個平面垂直的性質(zhì)定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直. 平面與平面的垂直,一般將直線與直線垂直、直線與平面垂直三者結(jié)合在一起.問題·探究問題1 在一個工件上同時鉆很多孔時，常用多頭鉆，多頭鉆桿都是互相平行的.在工作時，只要調(diào)整工件表面和一個鉆桿垂直，工件表面就和其他鉆桿都垂直，為什么？探究:根據(jù)兩平行線中有一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于此平面，可推出若干平行桿都和工件表面垂直.問題2 應(yīng)用兩平面垂直的性質(zhì)證題時，有哪些需要注意的地方？探究:需要注意的地方有三個：(1)兩個垂直的平面；(2)兩垂直平面的交線；(3)在其中一個平面內(nèi)作垂直于交線的直線.典題·熱題例1 如圖2-3-12，在ABC中，BAC=60°，線段AD平面ABC，AH平面DBC，H為垂足.圖2-3-12求證：H不可能是BCD的垂心.思路解析：證明“不可能”無法下手，從反面“可能”考慮，用反證法. 證明：假設(shè)H是BCD的垂心，則BHCD.AH平面DBC，DC平面DBC，AHDC.AHBH=H，CD平面ABH. 又AB平面ABH，ABCD.AD平面ABC，AB平面ABC，ADAB. 由于ADCD=D，AB平面ACD.AC平面ACD，ABAC. 這與已知中BAC=60°相矛盾.假設(shè)不成立.故H不可能是BCD的垂心.誤區(qū)警示 證明“不可能”“至多”“至少”“沒有”“不等”等類型的問題，直接證明不好入手，通常采用反證法.要掌握反證法證題的基本步驟.例2 如圖2-3-13，在四面體ABCD中，若ABCD，ADBC，求證:ACBD.圖2-3-13思路解析：要證線線垂直，可先證線面垂直，進(jìn)而由線面垂直的定義(或性質(zhì))得出線線垂直. 證明：過A作AO平面BCD，垂足為O， 則AOCD.ABCD，AOAB=A，CD平面ABO.BO平面ABO，CDBO. 同理,BCDO. 則O為BCD的垂心，COBD.AOBD，COAO=O，BD平面ACO. 又AC平面ACO，ACBD.深化升華 從本例可以進(jìn)一步體會線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解(證)題中的作用.例3 如圖2-3-14,空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直，PBA=45°，PBC=60°，M為AB的中點.(1)求BC與平面PAB所成的角；(2)求證：AB平面PMC.圖2-3-14思路解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計算、發(fā)現(xiàn)解題思路. 證明：PAPB，APB=90°. 在RtAPB中，ABP=45°，設(shè)PA=a， 則PB=a，AB=.PBPC，在RtPBC中，PBC=60°，PB=a,BC=2a，PC=.APPC,在RtAPC中，AC=2a.(1)PCPA，PCPB，PC平面PAB.BC在平面PAB上的射影是BP,CBP是CB與平面PAB所成的角.PBC=60°，BC與平面PBA所成的角為60°.(2)由上知，PA=PB=a，AC=BC=2a,M為AB的中點，則ABPM，ABCM.AB平面PCM.深化升華 本題關(guān)鍵要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過數(shù)據(jù)特點，發(fā)現(xiàn)解題捷徑.例4 如圖2-3-15，已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E為垂足.(1)求證：PA平面ABC；(2)當(dāng)E為PBC的垂心時，求證：ABC是直角三角形.圖2-3-15思路解析：已知條件“平面PAB平面ABC，”，使我們想到面面垂直的性質(zhì)定理，便有如下解法. 證明：(1)在平面ABC內(nèi)取一點D，作DFAC于F. 平面PAC平面ABC，且交線為AC，DF平面PAC.PA平面PAC，DFAP. 作DGAB于G.同理，可證DGAP.DG、DF都在平面ABC內(nèi)，PA平面ABC.(2)連結(jié)BE并延長交PC于H.E是PBC的垂心，PCBE. 又已知AE是平面PBC的垂線，PCAB.PC面ABE.PCAB. 又PA平面ABC，PAAB.AB平面PAC.ABAC， 即ABC是直角三角形.方法歸納 (1)已知兩個平面垂直時，通常利用面面垂直的性質(zhì)定理，過其中一個平面內(nèi)的一點作交線的垂線，則此直線垂直于另一個平面.于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.由此得到結(jié)論：兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.(2)的關(guān)鍵是要靈活利用(1)題的結(jié)論.例5 已知平面平面=直線a，、同垂直于平面，又同平行于直線b，如圖2-3-16，求證：(1)a；(2)b.思路解析：由求證想判定，欲證線面垂直可轉(zhuǎn)證線線垂直或面面垂直.由已知想性質(zhì)，面面垂直必能得到線面垂直. 證明：(1)設(shè)=AB，=AC，在內(nèi)作直線PMAB，PNAC.圖2-3-16，PM. 而a，PMa. 同理，PNa.又PM,PN,a.(2)在直線a上任取一點Q，過b與Q作一個平面交于直線a1，交于直線a2.b,ba1. 同理,ba2.又a1、a2都過點Q且平行于b,a1與a2重合.又a1,a2,a1與a2重合且是、的交線，重合于a.ba1，ba.a，b.深化升華 證明線面垂直不僅可利用線面垂直的判定定理，也可利用面面垂直的性質(zhì)定理.例6 等邊ABC的邊長為a，沿平行于BC的線段PQ折起，使平面APQ平面PBCQ，設(shè)點A到直線PQ的距離為x，AB的距離為d.(1)x為何值時，d2取得最小值?最小值是多少？(2)若BAC=，求cos的最小值.思路解析：要注意作出正確的圖形，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.解：(1)圖2-3-17(1)為折疊前的對照圖，圖2-3-17(2)為折疊后的空間圖形. (1) (2)圖2-3-17平面APQ平面PBCQ，ARPQ，AR平面PBCQ.ARRB.BR2=BD2+RD2=()2+()2,AR2=x2. 故d2=BR2+AR2=().當(dāng)x=時.d2取得最小值.(2)AB=AC=d,BC=a，在等腰ABC中，由余弦定理得cos=, 即cos=.當(dāng)d2=時，cos取得最小值.方法歸納 (1)一般地,求最值問題首先要得到目標(biāo)函數(shù)(求誰的最值，即推誰為目標(biāo)函數(shù)，如本題中的d2和cos)，然后再借助于函數(shù)求最值的方法(如配方法、平均值法、判別式法、三角法、反函數(shù)法及構(gòu)造法等).(2)求角度問題、求距離問題是立體幾何中的兩大類計算題，它從數(shù)量關(guān)系上刻畫空間圖形位置關(guān)系.立體幾何中涉及到的距離有七種：兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、平面內(nèi)兩平行線間的距離、兩條異面直線間的距離(不作研究，了解即可)、與平面平行的直線到平面的距離、兩平行平面間的距離.