第一講 三角形考點方法破譯1了解與三角形有關的線段(邊、高、中線、角平分線)，會畫出任意三角形的高、中線、角平分線.2知道三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.3了解與三角形有關的角(內(nèi)角、外角) .4掌握三角形三內(nèi)角和等于180，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.5會用方程的思想解與三角形基本要素相關的問題.6會從復雜的圖形中找到基本圖形，從而尋求解決問題的方法.經(jīng)典考題賞析【例】若的三邊分別為4，x，9，則x的取值范圍是_，周長l的取值范圍是_；當周長為奇數(shù)時，x_.【變式題組】1若ABC的三邊分別為4，x，9，且9為最長邊，則x的取值范圍是_，周長l的取值范圍是_.2設ABC三邊為a，b，c的長度均為正整數(shù)，且abc，a+b+c13，則以a，b，c為邊的三角形，共有_個.3用9根同樣長的火柴棒在桌面上擺一個三角形（不許折斷）并全部用完，能擺出不同形狀的三角形個數(shù)是().A1B2C3D4【例】已知等腰三角形的一邊長為18cm，周長為58cm，試求三角形三邊的長.【變式題組】1已知等腰三角形兩邊長分別為6cm，12cm，則這個三角形的周長是() A24cmB30cmC24cm或30cmD18cm2已知三角形的兩邊長分別是4cm和9cm，則下列長度的四條線段中能作為第三條邊的是()A13cmB6cmC5cmD4cm3等腰三角形一腰上的中線把這個等腰三角形的周長分成12和10兩部分，則此等腰三角形的腰長為_.【例】如圖AD是ABC的中線，DE是ADC的中線，EF是DEC的中線，F(xiàn)G是EFC的中線，若SGFC1cm2，則SABC_.【變式題組】1如圖，已知點D、E、F分別是BC、AD、BE的中點，SABC4，則SEFC_.2如圖，點D是等腰ABC底邊BC上任意一點，DEAB于E，DFAC于F，若一腰上的高為4cm，則DE+DF_.3如圖，已知四邊形ABCD是矩形(ADAB) ，點E在BC上，且AEAD，DFAE于F，則DF與AB的數(shù)量關系是_.【例】已知，如圖，則A+B+C+D+E _.【變式題組】1如圖，則A+B+C+D+E _.2如圖，則A+B+C+D+E +F_.3如圖，則A+B+C+D+E +F _.【例】如圖，已知A70，BO、CO分別平分ABC、ACB則BOC _.【變式題組】1如圖，A70，B40，C20，則BOC_.3如圖，O140，P100，BP、CP分別平分ABO、ACO，則A_.【例】如圖，已知B35，C47，ADBC，AE平分BAC，則EAD_.【變式題組】1.（改）如圖，已知B39，C61，BDAC，AE平分BAC，則BFE_. 2如圖，在ABC中，ACB40，AD平分BAC，ACB的外角平分線交AD的延長線于點P，點F是BC上一動點(F、D不重合) ，過點F作EFBC交于點E，下列結(jié)論:P+DEF為定值，PDEF為定值中，有且只有一個答案正確，請你作出判斷，并說明理由.*【例】如圖，在平面內(nèi)將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至ABC，使CCAB，若BAC70，則旋轉(zhuǎn)角_.【變式題組】1.如圖，用等腰直角三角形板畫AOB45，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線后繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)22，則三角板的斜邊與射線OA的直角_.2如圖，在平面內(nèi)將AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度得到OAB，若點A在AB上時，則旋轉(zhuǎn)角_.(AOB90，B30)3如圖，ABE和ACD是ABC沿著AB邊，AC邊翻折180形成的，若BAC130，則_.演練鞏固反饋提高1如圖，圖中三角形的個數(shù)為()A5個B6個C7個D8個2如果三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不確定3有4條線段，長度分別是4cm，8cm，10cm，12cm，選其中三條組成三角形，可以組成三角形的個數(shù)是()A1個B2個C3個D4個4下列語句中，正確的是()A三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角B三角形的一個外角等于這個三角形的兩個內(nèi)角的和C三角形的外角中，至少有兩個鈍角D三角形的外角中，至少有一個鈍角5若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個三角形是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D無法確定6若一個三角形的一個外角大于與它相鄰的內(nèi)角，則這個三角形是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D無法確定7如果等腰三角形的一邊長是5cm，另一邊長是9cm，則這個三角形的周長是_.8三角形三條邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，且三角形的周長不大于18，則這個三角形的三條邊長分別是_.9如圖，在ABC中，A42，B與C的三等分線，分別交于點D、E，則BDC的度數(shù)是_.10如圖，光線l照射到平面鏡上，然后在平面鏡、之間來回反射，已知55，75，_.11如圖，點D、E、F分別是BC、AD、BE的中點，且SEFC1，則SABC_.12如圖，已知: 12，34，BAC63，則DAC_.13如圖，已知點D、E是BC上的點，且BEAB，CDCA，DAEBAC，求BAC的度數(shù)培優(yōu)升級奧賽檢測1在ABC中，2A3B，且C30A+B，則ABC是()A銳角三角形B鈍角三角形C有一個角是30的直角三角形D等腰直角三角形BC 2已知三角形的三邊a、b、c的長都是整數(shù)，且abc，如果b7，則這樣的三角形共有()A21個B28個C49個D54個3在ABC中，A50，高BE、CF交于O點，則BOC_.4在等腰ABC中，一腰上的高與另一腰的夾角為26，則底角的度數(shù)為_.5如圖，BP平分ABC交CD于點F，DP平分ADC交AB于點E，若A40，C38，則P _.6如圖，已知OABC是一個長方形，其中頂點A、B的坐標分別為(0，a)和(9，a).點E在AB上 ，且AEAB點F在OC上 ，且OFOC，點G在OA上，且使GEC的面積為16，試求的值.7如圖，已知四邊形ABCD中，A+DCB180，兩組對邊延長后分別交于P、Q兩點，P、Q的平分線交于M，求證PMQM.第二講 全等三角形的性質(zhì)與判定考點方法破譯1能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；2全等三角形性質(zhì)：全等三角形對應邊相等，對應角相等；全等三角形對應高、角平分線、中線相等；全等三角形對應周長相等，面積相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對于兩個直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法；4證明兩個三角形全等的關鍵，就是證明兩個三角形滿足判定方法中的三個條件，具體分析步驟是先找出兩個三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設法對它們進行證明；5證明兩個三角形全等，根據(jù)條件，有時能直接進行證明，有時要證的兩個三角形并不全等，這時需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長線中線、截取等等.經(jīng)典考題賞析【例】如圖，ABEFDC,ABC90,ABCD，那么圖中有全等三角形（ ）BACDEFA5對B4對C3對D2對【變式題組】1（武漢2011）下列判斷中錯誤的是（ ）A有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等B有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等D有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等AFCEDB2（黃岡）已知命題：如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，且ADBE，AFDE，則ABCDEF.判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，請?zhí)砑右粋€適當條件使它成為真命題，并加以證明.3(上海)已知線段AC與BD相交于點O, 連接AB、DC，E為OB的中點，F(xiàn)為OC的中點，連接EF（如圖所示）.添加條件AD，OEFOFE，求證：ABDC；ABCDOFE分別將“AD”記為，“OEFOFE”記為，“ABDC”記為，添加、，以為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條件、，以為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是_命題，命題2是_命題（選擇“真”或“假”填入空格）.ACEFBD【例】已知ABDC，AEDF，CFFB. 求證：AFDE.【變式題組】1如圖，AD、BE是銳角ABC的高，相交于點O，若BOAC，BC7，CD2，則AO的長為（ ）A2B3C4D5AE第1題圖ABCDEBCDO第2題圖2.如圖，在ABC中，ABAC，BAC90，AE是過A點的一條直線，AECE于E，BDAE于D，DE4cm，CE2cm，則BD_.3（孝感2013）已知：如圖，在ABC中， ACB90，CDAB于點D，點E在AC上，CEBC，過點E作AC的垂線，交CD的延長線于點F. 求證：ABFC.AFECBD【例】如圖，ABCDEF，將ABC和DEF的頂點B和頂點E重合，把DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點O.當DEF旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點B（E）、C、D在同一直線上時，AFD與DCA的數(shù)量關系是_;當DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時，中的結(jié)論成立嗎？請說明理由_.B（E）OCF圖FABCDEFAB(E)CDDA圖圖【變式題組】1（紹興2013）如圖，D、E分別為ABC的AC、BC邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處.若CDE48，則APD等于（ ）A42B48C52D582如圖，RtABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到DEF，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）AABCDEFBDEF90C ACDF DECCFEFBABPDEC第1題圖ACDG第2題圖3一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上.求證：ABED；若PBBC，找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并證明.BFACENMPDDACBFE【例】（第21屆江蘇競賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是ABC的邊A C和AB邊上的高，點P在BD的延長線，BPAC，點Q在CE上，CQAB. 求證： APAQ；APAQ21ABCPQEFD【變式題組】ABCDFE1如圖，已知ABAE，BE，BAED，點F是CD的中點，求證：AFCD.2（湖州市競賽試題）如圖，在一個房間內(nèi)有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時梯子的傾斜角為75，如果梯子底端不動，頂端靠在對面的墻上，此時梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45，這間房子的寬度是（ ）ABCbmDamAECBA75C45BNM第2題圖第3題圖D3 如圖，已知五邊形ABCDE中， ABCAED90，ABCDAEBCDE2，則五邊形ABCDE的面積為_演練鞏固反饋提高1（海南2011）已知圖中的兩個三角形全等，則度數(shù)是（ ）A72B60C58D50第3題圖第1題圖CAODBP第2題圖ACA/BB/acca50b72582如圖，ACBA/C/B/， BCB/30，則ACA/的度數(shù)是（ ）A20B30C35D403尺規(guī)作圖作AOB的平分線方法如下：以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線OP，由作法得OCPODP的根據(jù)是（ ）ASASBASACAASDSSS4（武漢2012）如圖，已知ABAD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定ABCADC的是（ ）A. CBCD B.BACDACC. BCADCA D.BD90E21NABDC第5題圖ABCDEABCD第4題圖第6題圖M5有兩塊不同大小的等腰直角三角板ABC和BDE，將它們的一個銳角頂點放在一起，將它們的一個銳角頂點放在一起，如圖，當A、B、D不在一條直線上時，下面的結(jié)論不正確的是（ ）A. ABECBD B. ABECBDC. ABCEBD45 D. ACBE6如圖，ABC和共頂點A，ABAE，12，BE. BC交AD于M，DE交AC于N，小華說：“一定有ABCAED.”小明說：“ABMAEN.”那么（ ）A. 小華、小明都對 B. 小華、小明都不對C. 小華對、小明不對 D.小華不對、小明對7如圖，已知ACEC, BCCD, ABED,如果BCA119，ACD98,那么ECA的度數(shù)是_.8如圖，ABCADE，BC延長線交DE于F，B25,ACB105，DAC10，則DFB的度數(shù)為_.9如圖，在RtABC中，C90, DEAB于D, BCBD. AC3，那么AEDE_第10題圖ABCDE第9題圖EABCDABCDEFOCAEBD第7題圖第8題圖10如圖，BAAC, CDAB. BCDE，且BCDE，若AB2, CD6，則AE_.11如圖, ABCD, ABCD. BC12cm，同時有P、Q兩只螞蟻從點C出發(fā)，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行時間t為多少時，APBQDC. DAC.QP.BDBACEF12如圖, ABC中，BCA90，ACBC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足為F，過B作BDBC交CF的延長線于D.求證：AECD；若AC12cm, 求BD的長. AEBFDC13（吉林）如圖，ABAC，ADBC于點D，AD等于AE，AB平分DAE交DE于點F, 請你寫出圖中三對全等三角形，并選取其中一對加以證明.14如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線l上，從另兩個頂點A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E.BDEClA找出圖中的全等三角形，并加以證明；若DEa，求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補形法）15如圖，ACBC, ADBD, ADBC，CEAB，DFAB，垂足分別是E、F.求證：CEDF.AEFBDC培優(yōu)升級奧賽檢測1如圖，在ABC中，ABAC，E、F分別是AB、AC上的點，且AEAF，BF、CE相交于點O，連接AO并延長交BC于點D，則圖中全等三角形有（ ）A4對B5對C6對D7對F第6題圖21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1題圖B第2題圖第3題圖2如圖，在ABC中，ABAC，OCOD，下列結(jié)論中：AB DECE，連接DE, 則OE平分AOB，正確的是（ ）ABCD3如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且ACCE , 1=2=3, 則DE的長等于（）ADC B. BC C. AB D.AEAC4下面有四個命題，其中真命題是（ ）A兩個三角形有兩邊及一角對應相等，這兩個三角形全等B兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等C. 有一角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等D. 兩邊和第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等5在ABC中，高AD和BE所在直線相交于H點,且BHAC，則ABC_.6如圖，EB交AC于點M, 交FC于點D, AB交FC于點N，EF90，BC, AEAF. 給出下列結(jié)論：12；BECF; ACNABM; CDDB，其中正確的結(jié)論有_.（填序號）7如圖，AD為在ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F,且有BFAC，F(xiàn)DCD.求證：BEAC；AEFCDB若把條件“BFAC”和結(jié)論“BEAC”互換，這個命題成立嗎？證明你的判定.8 如圖，D為在ABC的邊BC上一點，且CDAB，BDABAD，AE是ABD的中線. 求證：AC2AE. ABEDC9如圖，在凸四邊形ABCD中，E為ACD內(nèi)一點，滿足ACAD，ABAE, BAEBCE90, BACEAD.求證：CED90. AEBDCADEGCHB10如圖，ABAD，ACAE，BADCAE180. AHAH于H，HA的延長線交DE于G. 求證：GDGE. 第三講 角平分線的性質(zhì)與判定考點方法破譯1角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.2角平分線的判定定理：角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.3有角平分線時常常通過下列幾種情況構(gòu)造全等三角形. 經(jīng)典考題賞析【例】如圖，已知OD平分AOB，在OA、OB邊上截取OAOB，PMBD，PNAD.求證：PMPN【變式題組】1如圖，CP、BP分別平分ABC的外角BCM、CBN.求證：點P在BAC的平分線上.2如圖，BD平分ABC，ABBC，點P是BD延長線上的一點，PMAD，PNCD.求證：PMPN【例】（天津競賽題）如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于點E，且AE(ABAD)，如果D120，求B的度數(shù)【變式題組】1如圖，在ABC中，CD平分ACB，AC5，BC3.求 2(河北競賽)在四邊形ABCD中，已知ABa，ADb.且BCDC，對角線AC平分BAD，問a與b的大小符合什么條件時，有BD180，請畫圖并證明你的結(jié)論. 【例】如圖，在ABC中，BAC90,ABAC，BE平分ABC，CEBE.求證：CEBD【變式題組】1如圖，已知ACBD，EA、EB分別平分CAB、DBA，CD過點E，求證：ABACBD. 2如圖，在ABC中，B60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F.請你判斷FE和FD之間的數(shù)量關系，并說明理由；求證：AECDAC.演練鞏固反饋提高1如圖，在RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于D，若CDn，ABm，則ABD的面積是（ ）AmnBmnC mnD2 mn2如圖，已知ABAC，BECE，下面四個結(jié)論：BPCP；ADBC；AE平分BAC；PBCPCB.其中正確的結(jié)論個數(shù)有（ ）個A1B2C3D43如圖，在ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PRAB，PSAC，垂足分別是R、S.若AQPQ，PRPS，下列結(jié)論：ASAR；PQAR；BRPCSP.其中正確的是（ ）ABCD4如圖，ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分別是E、F，則下列四個結(jié)論中：AD上任意一點到B、C的距離相等；AD上任意一點到AB、AC的距離相等；ADBC且BDCD；BDECDF.其中正確的是（ ）ABCD5如圖，在RtABC中，ACB90，CAB30，ACB的平分線與ABC的外角平分線交于E點，則AEB的度數(shù)為（ ）A50B45C40D356如圖，P是ABC內(nèi)一點，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，給出下列結(jié)論：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；點P是ABC三條角平分線的交點.其中正確的序號是（ ）ABCD7如圖，點P是ABC兩個外角平分線的交點，則下列說法中不正確的是（ ）A點P到ABC三邊的距離相等B點P在ABC的平分線上CP與B的關系是：PB90DP與B的關系是：BP8如圖，BD平分ABC，CD平分ACE，BD與CD相交于D.給出下列結(jié)論：點D到AB、AC的距離相等；BAC2BDC；DADC；DB平分ADC.其中正確的個數(shù)是（ ）A1個B2個C3個D4個9如圖，ABC中，C90AD是ABC的角平分線，DEAB于E，下列結(jié)論中：AD平分CDE；BACBDE； DE平分ADB；ABACBE.其中正確的個數(shù)有（ ）A3個B2個C1個D4個10如圖，已知BQ是ABC的內(nèi)角平分線，CQ是ACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，則QM、QN、QK的關系是_11如圖，AD是BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC.求證：BECF12如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，DEAB于點E，DFAC于點F.求證：ADEF.培優(yōu)升級奧賽檢測1如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（ ）A一處B二處C三處D四處 2已知RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BD:CD9:7，則D到AB邊的距離為（ ）A18B16C14D12 3如圖，ABC中，C90，AD是ABC的平分線，有一個動點P從A向B運動.已知：DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP的長為x(cm)，那么x的范圍是_4如圖，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分別為E、F、G，且PFPGPE，則BPD_5如圖，已知ABCD，O為CAB、ACD的平分線的交點，OEAC，且OE2，則兩平行線AB、CD間的距離等于_6如圖，AD平分BAC，EFAD，垂足為P，EF的延長線于BC的延長線相交于點G.求證：G(ACBB)7如圖,在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分線,P為AC上任意一點.求證:ABACDBDC8如圖，在ABC中，BAC60，ACB40，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別為BAC、ABC的角平分線上.求證：BQAQABBP第四講 軸對稱及軸對稱變換考點方法破譯1軸對稱及其性質(zhì)把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，這條直線叫對稱軸.軸對稱的兩個圖形有如下性質(zhì)：關于某直線對稱的兩個圖形是全等形；對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.2線段垂直平分線線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關系：位置關系垂直；數(shù)量關系平分.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.判定定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.3當已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高（或垂線）、或求幾條折線段的最小值等情況時，通?？紤]作軸對稱變換，以“補齊”圖形，集中條件.經(jīng)典考題賞析【例】（蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個洞，則紙片展開后是（ ）【變式題組】1將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后鋪平，得到的圖形是（ ）2（荊州）如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使點A落在點G上，點D落在點H上；然后再沿虛線GH折疊，使B落在點E上，點C落在點F上，疊完后，剪一個直徑在BC上的半圓，再展開，則展開后的圖形為（ ）【例2】（襄樊）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，將ABC向右平移兩個單位長度得到ABC，則與點B關于x軸對稱的點的坐標是（ ）A（0，1） B（1，1） C（2，1） D（1，1）【變式題組】1若點P（2，3）與點Q（a，b）關于x軸對稱，則a、b的值分別是（ ）A2，3 B2，3 C2，3 D2，32在直角坐標系中，已知點P（3，2），點Q是點P關于x軸的對稱點，將點Q向右平移4個單位得到點R，則點R的坐標是_.3（荊州）已知點P（a1，2a1）關于x軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍為_.【例3】如圖，將一個直角三角形紙片ABC（ACB90），沿線段CD折疊，使點B落在B1處，若ACB170，則ACD（ ）A30 B20 C15 D10【變式題組】1（孝感）如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在點D、C的位置.若EFB65，則AED等于（ ）A70 B65 C50 D252如圖，ABC中，A30，以BE為邊，將此三角形對折，其次，又以BA為邊，再一次對折，C點落在BE上，此時CDB82，則原三角形中B_.【例4】如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長線于點F，求證：BCAF【變式題組】1如圖，點D在ABC的BC邊上，且BCBDAD，則點D在_的垂直平分線上2如圖，ABC中，ABC90，C15，DEAC于E，且AEEC，若AB3cm，則DC_cm3如圖，ABC中，BAC126，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則EAG_4.ABC中，ABAC，AB邊的垂直平分線交AC于F，若AB12cm，BCF的周長為20cm，則ABC的周長是_cm【例5】（荊州）如圖，在33的正方形格點圖中，有格點ABC和DEF，且ABC和DEF關于某直線成軸對稱，請在下面的備用圖中畫出所有這樣的DEF【變式題組】1如圖，在22的正方形格點圖中，有一個以格點為頂點的ABC，請你找出格點圖中所有與ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有_個2如圖甲，正方形被劃分成16個 全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條件：涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；涂黑部分成軸對稱圖形。如圖乙是一種涂法，請在圖13中分別設計另外三種涂法（在所設計的圖案中，若涂黑部分全等，則認為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙）【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問在何處飲水，所求路程最短？【變式題組】1（山西）設直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點M處修建一個水泵站向P、Q兩地供水現(xiàn)在如下四種鋪設管道方案，圖中的實線表示輔設的管道，則鋪設的管道最短的是（ ）2若點A、B是銳角MON內(nèi)兩點，請在OM、ON上確定點C、點D，使四邊形ABCD周長最小，寫出你作圖的主要步驟并標明你確定的點演練鞏固反饋提高1（黃岡）如圖，ABC與ABC關于直線l對稱，且A78，C48，則B的度數(shù)是（ ）A48 B54 C74 D782（泰州）如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點把平角AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（ ）A正三角形 B正方形 C正五邊形 D正六邊形3圖1是四邊形紙片ABCD，其中B120，D50，若將其右下角向內(nèi)折出PCR，恰使CPAB，RCAD，如圖2所示，則C（ ）A80 B85 C95 D1104如圖，陰影部分組成的圖案既是關于x軸成軸對稱的圖形又是關于y軸成軸對稱的圖形，若點A的坐標是（1，3），則點M和點N的坐標分別是（ ）AM（1，3），N（1，3） BM（1，3），N（1，3） CM（1，3），N（1，3） DM（1，3），N（1，3）5點P關于x軸對稱的對稱點P的坐標是（3，5），則點P關于y軸對稱的對稱點的坐標是（ ）A（3，5） B（5，3） C（3，5） D（5，3）06已知M（1a，2a2）關于y軸對稱的點在第二象限，則a的取值范圍是（ ）A1a1 B1a1 Ca1 Da17如圖，鏡子中號碼的實際號碼是_8如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，則圖中陰影部分的面積為_cm2.9已知點A（2a3b，2）和B（8，3a2b）關于x軸對稱，則ab_.10如圖，在ABC中，OE、OF分別是AB、AC中垂線，且ABO20，ABC45，求BAC和ACB的度數(shù)11如圖，C、D、E、F是一個長方形臺球桌的4個頂點，A、B是桌面上的兩個球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請畫出A球經(jīng)過的路線，并寫出作法12如圖，P為ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點，PMBC于M，PNBA的延長線于N求證：ANMC13（荊州）有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個 ，且使每個正方形圖案都是軸對稱圖形，在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖（畫出的兩個圖案不能全等）培優(yōu)升級奧賽檢測1（浙江競賽試題）如圖，直線l1與直線l2相交，60，點P在內(nèi)（不在l1l2上）小明用下面的方法作P的對稱點：先以l1為對稱軸作點P關于l1的對稱點P1,再以l2為對稱軸作P1關于l2的對稱點P2，然后再以l1為對稱軸作P2關于l1的對稱點P3，以l2為對稱軸作P3關于l2的對稱點P4，如此繼續(xù)，得到一系列P1、P2、P3Pn與P重合，則n的最小值是（ ）A5 B6 C7 D82（宜昌）已知：如圖，AF平分BAC，BCAF，垂足為E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF、AF相交于P、M求證：ABCD；若BAC2MPC，請你判斷F與MCD的數(shù)量關系，并說明理由3在ABC中，BAC90，點A關于BC邊的對稱點為A，點B關于AC邊的對稱點為B，點C關于AB邊的對稱點為C，若SABC1，求SABC4小王同學在小組數(shù)學活動中，給本小組出了這樣一道“對稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線l，在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B，使線段AB長a厘米，并關于直線l對稱，在圖中P1處有一粒跳棋子，P1距A點b厘米、與直線l的距離C厘米，按以下程序起跳：第1次，從P1點以A為對稱中心跳至P2點；第2次，從P2點以l為對稱軸跳至P3點；第3次，從P3點以B為對稱中心跳至P4點；第4次，從P4以l為對稱軸跳至P1點；畫出跳棋子這4次跳過的路徑并標注出各點字母；（畫圖工具不限）棋子按上述程序跳躍2011次后停下，假設a8，b6，c3，計算這時它與A的距離是多少？5.（孝感）如圖，已知平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為A（2，3），B（4，1）若P（p，0）是x軸上的一個動點，則當p_時，PAB的周長最短；若C（a，0），D（a3，0）是x軸上的兩個動點，則當a_時 ，四邊形ABCD的周長最短；設M、N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m_，n_（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由第五講 等腰三角形考點方法破譯1等腰三角形及其性質(zhì)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對稱圖形，因此它的性質(zhì)有：等腰三角形的兩個底角相等（即等邊對等角）；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）2等腰三角形的判定證明一個三角形是等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個三角形有兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形有兩個角相等，依據(jù)是等腰三角形判定定理；等角對等邊3構(gòu)造等腰三角形的常用方法角平分線平行線等腰三角形 角平分線垂線（或高）等腰三角形線段中垂線構(gòu)造等腰三角形 將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形經(jīng)典考題賞析【例】 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400，則這個等腰三角形的底角為_.【變式題組】1（黃岡）在等腰ABC中，ABAC，一邊上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（ ）A.7 B.11 C.7或11 D7或102.（黃岡）在ABC中，ABAC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500，則B_度3.（襄樊）在ABC中，ABAC12cm，BC6cm,D為BC的中點，動點P從B點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BAC的方向運動設運動時間為t，那么當t_秒時，過D、P兩點的直線將ABC的周長分成兩個部分，使其中一部分是另一部分的2倍【例】 如圖，在ABC中，ABAC，點D在AC上，ADBDBC，求A的度數(shù)【變式題組】1如圖，在ABC中，ABAC，BDBC,ADDEEB，求A的度數(shù)2如圖，在ABC中，ABAC，BCBD EDEA，求A的大小【例】 已知坐標原點O和點A（2，2），B是坐標軸上的一點若AOB是等腰三角形，則這樣的點B一共有（ ）個A4 B5 C6 D8【變式題組】1(海南競賽試題)在平面直角坐標系xOy內(nèi)，已知A（3，3），點P是y軸上一點，則使AOP為等腰三角形的點P共有（ ）A2個 B3個 C4個 D5個2如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(1，0),點B的坐標是（0，），點C在坐標平面內(nèi)若以A、B、C為頂點構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且底角為30度，則滿足條件的點C有_個ABCDPE第4題圖第3題圖第2題圖3.（南昌）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上一點，BEG600，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片中的點H處，連接AH，則與BEG相等的角的個數(shù)為（ ）ACBMDE(例4題圖)A4 B3 C2 D14如圖所示，矩形ABCD中，AB4，BC，點E是折線段ADC上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關于BE的對稱點在點E運動的過程中，使PCB為等腰三角形的點E的位置共有（ ）A2個 B3個 C4個 D5個【例】 兩個全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC試判斷EMC的形狀，并說明理由【變式題組】1如圖，在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC的中點,以P為直角頂點的兩邊分別與邊AB、AC交于點E、F，當EPF繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A、B重合)，PEF也始終是等腰三角形，請你說明理由2如圖，在等腰三角形ABC中，ACB900，D是BC的中點，DEAB垂足為E，過點B作BFAC交DE的延長線于點F，連接CF交AD于G求證：ADCF;連接AF，試判斷ACF的形狀，并說明理由3如圖，ABC中，ACB900，ACBC,CO為中線現(xiàn)將一直角三角板頂點放在點O上并繞點O旋轉(zhuǎn)，若三角板的兩直角邊分別交AC、CB的延長線于點G、H試寫出圖中除ACBC,OAOBOC外其他所有相等的線段；請選一組你寫出的相等線段給予證明【例】 我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；如圖，在中，點分別在上，設相交于點，若，請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論【變式題組】1如圖，在ABC中，B2C，AD為BAC的平分線求證：ACABBD.2(天津初賽試題)如圖，在四邊形ABCD中，ACBBAD1050，ABCADC450，若AB2，求CD的長3如圖，在ABC中，ABAC，D在AB上，F(xiàn)在AC延長線上，BDCF求證DEEF.【變式題組】1(重慶)已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）A200 B1200 C200或1200 D36002（云南）已知等腰三角形的兩邊分別為6和3，則此等腰三角形周長為（ ）A9 B15 C15 D12或153.（云南）如圖，等腰ABC的周長為21，底邊BC5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則BEC的周長為（ ）A13 B14 C15 D164如圖，C、E和B、D、F分別在GAH的兩邊上，且ABBCCDDEEF，若A180，則GEF的度數(shù)是（ ）A800 B900 C1000 D10805如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EFAB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）AACDB B.CHCEEF C.CHHD D.ACAF6如圖，ABC中，ABC與ACB的平分線交于點F，過點F作DEBC交AB于點D,交AC于點E,那么下列結(jié)論：BDF和CEF都是等腰三角形；DEBDCE;ADE的周長等于AB與AC的和；BFCF.其中正確的有（ ）A B C D7.（武漢）如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點，OAOBO