《2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷3含解析）(1)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷3含解析）(1)（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷3） 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意先解出集合A,進(jìn)而

2、得到結(jié)果。 詳解：由集合A得, 所以 故答案選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。 2. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算展開(kāi)即可。 詳解： 故選D. 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。 3. 中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【解析】分析：

3、觀察圖形可得。 詳解：觀擦圖形圖可知，俯視圖為 故答案為A. 點(diǎn)睛：本題主要考擦空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。 4. 若，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由公式可得。 詳解： 故答案為B. 點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題。 5. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：寫(xiě)出，然后可得結(jié)果 詳解：由題可得 令,則 所以 故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題。 6. 直線分別與軸，軸交于，兩

4、點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可 詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn) ,則 點(diǎn)P在圓上 圓心為（2，0），則圓心到直線距離 故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為 則 故答案選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題。 7. 函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】分析：由特殊值排除即可 詳解：當(dāng)時(shí)，，排除

5、A,B. ,當(dāng)時(shí)，,排除C 故正確答案選D. 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖像，考查了特殊值排除法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系，屬于中檔題。 8. 某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則 A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3 【答案】B 【解析】分析：判斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可。 或 ， ,可知 故答案選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題。 9. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則 A. B. C. D.

6、 【答案】C 【解析】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得。 詳解：由題可知 所以 由余弦定理 所以 故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。 10. 設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：作圖，D為MO 與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得。 詳解：如圖所示， 點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)， 當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大 此時(shí)，

7、, 點(diǎn)M為三角形ABC的重心 中，有 故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型。 11. 設(shè)是雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得。 詳解：由題可知 在中， 在中, 故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲

8、線的相關(guān)知識(shí)，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題。 12. 設(shè)，，則 A. B. C. D. 【答案】B 詳解：. ,即 又 即 故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和不等式，屬于中檔題。 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13. 已知向量，，．若，則________． 【答案】 【解析】分析：由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可。 詳解：由題可得 ,即 故答案為 點(diǎn)睛：本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。 14. 曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________．

9、 【答案】 【解析】分析：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可。 詳解： 則 所以 故答案為-3. 點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。 15. 函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】分析：求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)。 詳解： 由題可知，或 解得,或 故有3個(gè)零點(diǎn)。 點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題。 16. 已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若 ，則________． 【答案】2 【解析】分析：利用點(diǎn)差法進(jìn)行計(jì)算即可。 詳解：設(shè) 則 所以 所以

10、 取AB中點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為 因?yàn)? 因?yàn)镸’為AB中點(diǎn)， 所以MM’平行于x軸 因?yàn)镸(-1,1) 所以，則即 故答案為2. 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，設(shè)，利用點(diǎn)差法得到，取AB中點(diǎn), 分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到斜率。 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分． 17. 等比數(shù)列中，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）記為的前項(xiàng)和

11、．若，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項(xiàng)和，解方程可得m。 詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，則．由得，此方程沒(méi)有正整數(shù)解． 若，則．由得，解得． 綜上，． 點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。 18. 某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作

12、時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖： （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由； （2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過(guò) 不超過(guò) 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 （3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：， 【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由見(jiàn)解析 （2）80 （3）能 【解析】分析：（1）計(jì)算兩種生產(chǎn)方式的平均時(shí)間即可。 （2）計(jì)算出中位數(shù)，再由莖葉圖數(shù)

13、據(jù)完成列聯(lián)表。 （3）由公式計(jì)算出，再與6.635比較可得結(jié)果。 詳解：（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由如下： （i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. （ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. （iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；

14、用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. （iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱(chēng)分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱(chēng)分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. （2）由莖葉圖知. 列聯(lián)表如下： 超過(guò) 不超過(guò)

15、 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 （3）由于，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異. 點(diǎn)睛：本題主要考查了莖葉圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)，考察學(xué)生的計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力，貼近生活。 19. 如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)． （1）證明：平面平面； （2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析 （2） 【解析】分析：（1）先證平面CMD,得,再證，進(jìn)而完成證明。 （2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值。

16、 詳解：（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. 因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以 DM⊥CM. 又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. （2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz. 當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn). 由題設(shè)得， 設(shè)是平面MAB的法向量,則 即 可取. 是平面MCD的法向量,因此 ， ， 所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是. 點(diǎn)睛：本題主要考查

17、面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問(wèn)主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題。 20. 已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為． （1）證明：； （2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． 【答案】（1） （2）或 【解析】分析：（1）設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明。 （2）解出m,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到,再由兩點(diǎn)間距離公式表示出，得到直的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解。 詳解：（1）設(shè)，

18、則. 兩式相減，并由得 . 由題設(shè)知，于是 .① 由題設(shè)得，故. （2）由題意得，設(shè)，則 . 由（1）及題設(shè)得. 又點(diǎn)P在C上，所以，從而，. 于是 . 同理. 所以. 故，即成等差數(shù)列. 設(shè)該數(shù)列的公差為d，則 .② 將代入①得. 所以l的方程為，代入C的方程，并整理得. 故，代入②解得. 所以該數(shù)列的公差為或. 21. 已知函數(shù)． （1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； （2）若是的極大值點(diǎn)，求． 【答案】（1）見(jiàn)解析 （2） 【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可。 （2）分類(lèi)討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍。

19、詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，. 設(shè)函數(shù)，則. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)，，從而，且僅當(dāng)時(shí)，. 所以在單調(diào)遞增. 又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. （2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，這與是的極大值點(diǎn)矛盾. （ii）若，設(shè)函數(shù). 由于當(dāng)時(shí)，，故與符號(hào)相同. 又，故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn). . 如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn). 如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大值點(diǎn). 如果，則.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn) 綜上，. 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問(wèn)分類(lèi)討論和,當(dāng)時(shí)構(gòu)造函數(shù)時(shí)關(guān)鍵，討

20、論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大。 （二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22. [選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)． （1）求的取值范圍； （2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程． 【答案】（1） （2） 為參數(shù)， 【解析】分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離可得。 （2）聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解 詳解：（1）的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時(shí)，與交于兩點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，記，則的方程為．與交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或． 綜上，的取值范圍是． （2）的

21、參數(shù)方程為為參數(shù)， ． 設(shè)，，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，且，滿足． 于是，．又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是 為參數(shù)， ． 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的參數(shù)方程，考查求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題。 23. [選修4—5：不等式選講] 設(shè)函數(shù)． （1）畫(huà)出的圖像； （2）當(dāng)，，求的最小值． 【答案】（1）見(jiàn)解析 （2） 【解析】分析：（1）將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再畫(huà)出在各自定義域的圖像即可。 （2）結(jié)合（1）問(wèn)可得a，b范圍，進(jìn)而得到a+b的最小值 詳解：（1） 的圖像如圖所示． （2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為． 點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖像的畫(huà)法，考查由不等式求參數(shù)的范圍，屬于中檔題。