《高等數(shù)學：第七章 重積分1-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學：第七章 重積分1-2（135頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1. 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)2. 二重積分的計算二重積分的計算3. 三重積分的概念與計算三重積分的概念與計算4. 重積分的應(yīng)用舉例重積分的應(yīng)用舉例1.二重積分的概念 DDdxdyyxfdyxf),(),(二重積分的概念二重積分的概念 在一元函數(shù)積分學中，我們已經(jīng)知道，定積在一元函數(shù)積分學中，我們已經(jīng)知道，定積分是定義在某一區(qū)間上的一元函數(shù)的某種特定形分是定義在某一區(qū)間上的一元函數(shù)的某種特定形式的和式的極限，由于科學技術(shù)和生產(chǎn)實踐的發(fā)式的和式的極限，由于科學技術(shù)和生產(chǎn)實踐的發(fā)展，需要計算空間形體的體積、曲面的面積、空展，需要計算空間形體的體積、曲面的面積、空間物體的質(zhì)量、重心、

2、轉(zhuǎn)動慣量等，定積分已經(jīng)間物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量等，定積分已經(jīng)不能解決這類問題，另一方面，從數(shù)學邏輯思維不能解決這類問題，另一方面，從數(shù)學邏輯思維的規(guī)律出發(fā)，必然會考慮定積分概念的推廣，從的規(guī)律出發(fā)，必然會考慮定積分概念的推廣，從而提出了多元函數(shù)的積分學問題。而提出了多元函數(shù)的積分學問題。面積 )(limd)(10)(niiiTxfxxfab 當人們把定積分解決問題的基本思想當人們把定積分解決問題的基本思想“分分割、近似代替、求和、取極限割、近似代替、求和、取極限”用于解決這類問用于解決這類問題時發(fā)現(xiàn)是完全可行的。把解決的基本方法抽象題時發(fā)現(xiàn)是完全可行的。把解決的基本方法抽象概括出來，就得到

3、多元函數(shù)積分學。概括出來，就得到多元函數(shù)積分學。 具體地說就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元具體地說就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)、定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù)、定義在一段函數(shù)、定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù)、定義在一段平面曲線弧上的二元函數(shù)、定義在空間一段曲線弧平面曲線弧上的二元函數(shù)、定義在空間一段曲線弧上的三元函數(shù)、定義在空間曲面上的三元函數(shù)，從上的三元函數(shù)、定義在空間曲面上的三元函數(shù)，從而得到二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。而得到二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。這就是多元函數(shù)積分學的內(nèi)容。這就是多元函數(shù)積分學的內(nèi)容。問題的提出問題的提出曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積平頂柱

4、體體積平頂柱體體積= =底面積底面積 高高特點：平頂特點：平頂. .),(yxfz D曲頂柱體體積曲頂柱體體積= =？特點：曲頂特點：曲頂. . 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、求和、取極限分割、近似、求和、取極限”的方法，的方法，如下動畫演示如下動畫演示步驟如下：步驟如下：用若干個小平頂柱體用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲體積之和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的

5、質(zhì)量 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量xyo),(iii.),(lim10iiniiM 的一種分割。稱作子區(qū)域分成有限閉子區(qū)域兩組彼此橫截曲線將DDDjinjiDDDDDDDDDnjinn,.,.,.,2 , 1,.,.,1211(1)區(qū)域

6、區(qū)域D的分割的分割.max,| ),(max,:12121的直徑的直徑的面積iniiiiDiDDppppdDSDi上的二重積分，記作在為總有極限，則稱該極限時，和數(shù)當及任意選擇的的任意分割若對上的函數(shù)。是定義在有界閉區(qū)域設(shè)DyxfyxfniDyxDDDDyxfziniiiiiin),(),(0),.,2 , 1(),(,.,),(11(2)二重積分的定義二重積分的定義DDdxdyyxfdyxf.),(),(或如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域

7、D D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .niiiiDyxfdyxf10),(lim),(xozy),(yxfz D二重積分定義：二重積分定義：D),(iiyxfiDdyxfyxf表示曲頂柱體體積時，),(0),(負值表示曲頂柱體體積時，Ddyxfyxf),(0),(Ddyxfyxf和表示曲頂柱體體積代數(shù)符號不定時，),(),(3)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義的面積。表示平面區(qū)域時，DdyxfD1),(二元函數(shù)是可積的。在有界閉區(qū)域上連續(xù)的寬至分片有界連續(xù)。有界閉區(qū)域的條件可放(4)可積二元函數(shù)可積二元函

8、數(shù)。在每個小區(qū)域有界連續(xù)函數(shù)域，義域劃分成有限個小區(qū)分片有界連續(xù)：將原定),(yxfz 在直角坐標系下，用平行于坐標軸的直線族把在直角坐標系下，用平行于坐標軸的直線族把D分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠D的邊界的邊界的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，緊靠緊靠D的邊界的小區(qū)域的面積的邊界的小區(qū)域的面積 iit其中其中L為為D的圍長的圍長Ljj )0( , 0),( MLMfjjjjjj則面積元素為則面積元素為dxdyd xyo DDdxdyyxfdyxf),(),(故二重積分可寫為故二重積分可寫為 DDdxdy

9、yxfdyxf),(),(在直角坐標系下面積元素為在直角坐標系下面積元素為dxdyd 2.二重積分的性質(zhì)之外：常數(shù)因子可提到積分號) 1 (. )( ,),(),(DDkdyxfkdyxkf為常數(shù)和：于各函數(shù)的積分的代數(shù)函數(shù)的代數(shù)和的積分等)2(DDDdyxgdyxfdyxgyxf.),(),(),(),(上均可積，則與在且與的區(qū)域可分解為兩個互不重疊若區(qū)域積分對區(qū)域的可加性：2121,)3(DDfDDD12.),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf,),(),(),()4(DyxyxgyxfDgf上滿足不等式在及若函數(shù)：積分保持不等號的性質(zhì).),(),(DDdyxgdyxf則DDdy

10、xfdyxf.| ),(|),(|特別地積分中值定理)5(.),(),(00SyxfdyxfDDDDDDdyxfSyxfyxDMdyxfSmMSMddyxfmdmSmMDyxfyxf.),(1),( ),(.),(1 ,),( ),(),(0000使得內(nèi)至少存在一點理有，在再由二元函數(shù)的介值定即。從而有和最小值上存在最大值在所以在有界閉區(qū)域上連續(xù)，證明：因為函數(shù)，使得至少存在一點上上連續(xù)，則在在有界閉區(qū)域若函數(shù)),(),(00yxDDyxf例例 1 1 不作計算，估計不作計算，估計 deIDyx )(22的值，的值， 其中其中D是橢圓閉區(qū)域：是橢圓閉區(qū)域： 12222 byax )0(ab .

11、解解區(qū)區(qū)域域 D的的面面積積 , ab在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee ,222)(aDyxede deDyx)(22 ab.2aeab 例例 2 2 估計估計 DxyyxdI16222 的值，的值，其中其中 D： 20, 10 yx.解解,16)(1),(2 yxyxf區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I例例 判斷判斷 122)ln(yxrdxdyyx的符號的符號. 解解, 1)(0222 yxyx, 0)ln(22 yx

12、在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,oxy121D于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.例例 比較積分比較積分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln( 的大小的大小, 其中其中 D 是三角形閉區(qū)域是三角形閉區(qū)域, 三頂點各為三頂點各為(1,0), (1,1), (2,0). 解解2xy. 10; 21yx時。當證明：上連續(xù)、非負，且在有界閉區(qū)域設(shè)函數(shù)DyxyxfdxdyyxfDyxfD),(, 0),(. 0),(),(有性質(zhì)再由極限保持不等式的上連續(xù)，有在由則使得假設(shè)存在,.0),(21),(),(lim ),(.0),(,0),(,

13、),(0000),(),(00000000yxfyxfyxfDyxfyxfyxfDyxyxyx.0),( 0),( .0),(21 ),(21),(),( ),(21),(,)()(),(,0200),(00),(002020000000yxfdyxfyxfdyxfdyxfdyxfyxfyxfyyxxyxUDyxUyxUD所以，得矛盾。而已知從而時當存在1.1.直角坐標系下的計算公式直角坐標系下的計算公式 DDdxdyyxfdyxf),(),(1). x型區(qū)域型區(qū)域 與與 y 型區(qū)域型區(qū)域x型區(qū)域：穿過型區(qū)域：穿過D內(nèi)部且垂直于內(nèi)部且垂直于x軸的直線軸的直線與與D的邊界的交點不多于兩個。的邊界

14、的交點不多于兩個。D表示為：axb1(x)y2(x)xoyDy=2(x)y=1(x)axb1.直角坐標系下的計算公式直角坐標系下的計算公式D：c y d 1(y) x 2(y)y型區(qū)域型區(qū)域xoycdDx=2(y)x=1(y)yyxzo(2). 計算公式的推導(dǎo)計算公式的推導(dǎo)(1) 設(shè)f (x, y)0, D為x型區(qū)域從幾何意義考慮，求曲頂柱體體積用平面x = x0截曲頂柱體，得一截面x0ab),(yxfz y=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0),(0yxfz A(x0)yxzox0ab),(yxfz y=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0),(0yxfz A(x0)此截面面積為A(x

15、o)，則將之投影到Oyz平面上，曲邊梯形由y = 1 (xo), y=2(xo), z = 0, z = f (xo, y)圍成，故yyxfxxxAd),()()()(001020yxzox0ab),(yxfz y=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0),(0yxfz A(x0)(,xAbxa得出平行截面面積時當yyxfxxxAd),()()()(12yxzox0ab),(yxfz y=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0),(0yxfz A(x0)故體積為 babadxdyyxfxxdxxA),()()()(12記為bayyxfxxxd),()()(d12yxzox0ab),(yxfz

16、y=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0),(0yxfz A(x0)二重積分化為累次積分的幾何解釋二重積分化為累次積分的幾何解釋。為底的曲面柱體的體積以為頂以表示由二重積分的定義知DyxfzdxdyyxfaD,),(),(.yxzox0ab),(yxfz y=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0),(0yxfz A(x0)二重積分化為累次積分的幾何解釋二重積分化為累次積分的幾何解釋的面積。在曲邊梯形表示而固定)(),(),(),()(,.02010)()(0000201xxyyxfzdyyxfxAxxbxxyxzox0ab),(yxfz y=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0),(0y

17、xfz A(x0)二重積分化為累次積分的幾何解釋二重積分化為累次積分的幾何解釋的面積。，曲邊梯形處表示推廣至)(),(),(,d),()()()(.2112xxyyxfzbaxyyxfxxxAcyxzox0ab),(yxfz y=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0),(0yxfz A(x0)二重積分化為累次積分的幾何解釋二重積分化為累次積分的幾何解釋.d),()()()(.12yyxfxxdxdxxAdbaba厚度截面積而曲頂柱體的體積所以，二重積分的計算公式為(f (x, y) 任意符號)Dbayyxfxxxdyxfd),()()(d),(12(1)(2) 同理，對y型區(qū)域D：c y d

18、, 1(y) x 2(y)Ddcxyxfyyyyxfd),()()(dd),(12(2)(3) 當D既是x型區(qū)域：axb, 1(x) y 2(x)dcbaxyxfyydyyyxfxxdxd),()()(d),()()(1212(3)又是 y型區(qū)域：cyd, 1(y) x 2(y)有xoyy=2(x)y=1(x)axbydcx= 2(y)x= 1(y)(4) 當D是任意區(qū)域時，用直線將D先分割為x型區(qū)域和y型區(qū)域，D1, D2, Dn，再利用積分在區(qū)域上的可加性niDDidyxfdyxf1),(),(xoyD1D2D3xoyD1D2D3D4關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域D D)(),(,)(),(,2

19、121yxyxxdcyxxybax或大于或等于下限。分上下限，且上限總是，再確定內(nèi)層積先確定外層積分上下限.d),()()(d),()()( ),(1212xyxfyxyxdyyyxfxxdxdxdyyxfdcbaD定理1：設(shè)函數(shù)f (x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，D是由兩直線x=a,x=b(ab)及兩連續(xù)曲線.d),()()(d),(12Dbayyxfxxxdxdyyxf圍成，則有公式 Dbaxyyxfxxxdyyxf,dd),()()(d),(12),()(),(),(2121bxaxxxyxy 計算Dxydxdy，其中D是由直線y=1, x=2及 y = x 所圍成的區(qū)域.由圖,D可表示為

20、x型區(qū)域：于是得x0y1D21y=xDxxydydxxydxdy211dxxyx21212dxxx21322x0y1D21y=x.89由圖，區(qū)域D可表示為y型區(qū)域：于是得Dyxxyyyxxy212dddddyyxy21222dyyy21322.89x0y1D21y=x則Dbadcdyyfdxxfdxdyyfxf)()()()(2121)()(),(,21yfxfyxfdycbxa且若 計算DyxdycbxayxDdxdye,| ),(,其中Dbadcyxyxyexeyxedddd)(cdabeeee例例2 計算計算 Ddxdyxy2D2,xyxy 102xxyx解一解一D：X型型 106310

21、22401)(312dxxxxdyydxdxdyxyDxxD11解二解二D 10yyxyY型型 1022102401)(21dyyyydxxydyIyy Ddxdyxy2D2,xyxy 例例2 計算計算D11例例 7 7 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由拋物線是由拋物線2xy 和和2yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域. 解解兩兩 曲曲 線線 的的 交交 點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2xy 2yx Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 求DdxdyyxI224D由y=0, x=1, y=x 圍成.

22、dxyxdydyyxdxIyx101221002244dxyxyxyxyxy02arcsin24210222)323(31)323(210dxx思考：前一個不定積分如何求出來的？思考：前一個不定積分如何求出來的？xoy1y=x 計算DxydxdyI, 其中D是由拋物線y2=x與直線y = x 2所圍成的區(qū)域。聯(lián)立方程組. 2,2xyxy解此方程組得D的兩條邊界線的交點為A(1, 1), B(4, 2). 0 xyA(1, 1)B(4, 2)y2 = xy=x2由圖56可知，應(yīng)將D視為y型區(qū)域，選擇先對x 后對y的積分順序.2, 21| ),(2yxyyyxD得DxydxdyI214221)2(

23、21dyyyy126123441216234yyyy.8552122yyxydxdy0 xyA(1, 1)B(4, 2)y2 = xy=x2此題若選擇先對y后對x的積分順序，則必須對D進行劃分. , 10| ),(1xyxxyxD,2, 41 | ),(2xyxxyxD則DxydxdyI21DDxydxdyxydxdy855用x=1將D分成兩個區(qū)域D1和D2：0 xyA(1, 1)B(4, 2)y2 = xy=x210412xxxxxydydxxydydx解解D 211yyxyY型型I = 21122yydxxydy 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下邊界曲線在的下邊界曲線在 x 的不同范

24、圍的不同范圍內(nèi)有不同的表達式，內(nèi)有不同的表達式， 須分片積分，計算較麻煩。須分片積分，計算較麻煩。 213249)(dyyyy例例6 計算計算 DxyyxyDdxdyxy1, 2,:,22212121例例7 計算計算 DxyxyyxxDdxdyye1, 2, 2, 1:,解解D是是X型區(qū)域型區(qū)域 2121xxydyyedxI要分部積分，不易計算要分部積分，不易計算若先若先 x 后后 y 則須分片則須分片易見盡管須分片積分易見盡管須分片積分, ,但但由于被積函數(shù)的特點由于被積函數(shù)的特點, ,積積分相對而言也較方便。分相對而言也較方便。dxyedydxyedyIxyyxy212112121 D21

25、02121例例8 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為頂點的三角形為頂點的三角形. 解解 dyey2無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 1 1 改變積分改變積分 xdyyxfdx1010),(的次序的次序.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(. 例例 2 2 改變積分改變積分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),()

26、,(2的次序的次序.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.求由曲線xyxyyx282, 12及直線所圍成的平面圖形的面積A. 由2 12xyx可知故所求面積為圖中的陰影部分D.x0y2xy28y=2x12yx345,21DDD,228 , 32| ),(1xyxxyxD.21)2( , 53| ),(22xyxxyxD聯(lián)立方程組，求交點： ;28,2xyxy ; 12,28 yxxyx0y2xy28y=2x12yx交點為交點為(2, 4), (3, 2), (5, 10). 122y-xxy345故所求面積DdxdyA.311112DD

27、dxdydxdyx0y2xy28y=2x12yx322285321)2(2xxxxdydxdydx345例例 9 9 計算積分計算積分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 原式原式= ayaaaydxyxfdy02222),( aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdya2aa2a例例 6 6 改變積分改變積分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax

28、 的次序的次序. 解解axy2 22xaxy 22yaax ayx22解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖.所圍立體在所圍立體在xoy面上的投影是面上的投影是, 10 yx,xyyx 所求體積所求體積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 例例 1010 求由下列曲面所圍成的立體體積，求由下列曲面所圍成的立體體積，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y. 交換下列積分的積分順序：108222.),(yydxyxfdyI 由積分可知，積分區(qū)域D為.82, 10| ),(22yxyyyxD它是由直線 y = 0, y = 1及曲線

29、.82所圍成yxx0yy = 122yx 28yx21781,22yx D2D3D1 , 0,22yyx解方程組得交點：聯(lián)立方程組 ; 1 ,22yyx; 1,8 2yyx. 0,8 2yyxx0yy = 122yx 28yx21781D2D3D1108222.),(yydxyxfdyI,20 ,210| ),(1xyxyxD,10 ,721| ),(2yxyxD.80,87| ),(23xyxyxD利用直線7,21xx將區(qū)域D分成D1，D2和D3三個部分：x0yy = 122yx 28yx21781D2D3D1于是108222,),(),(yyDdxdyyxfdxyxfdy321),( ),

30、(),(DDDdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf21020),(xdyyxfdxx0yy = 122yx 28yx21781D2D3D187802),(xdyyxfdx72110),(dyyxfdx(5)(5)對稱區(qū)域的二重積分對稱區(qū)域的二重積分平面對稱。的圖形關(guān)于在其定義域內(nèi)有是偶函數(shù)：若關(guān)于Ozxyxfzyxfyxfyxfyyxfi),(),(),(),(),()(平面對稱。的圖形關(guān)于在其定義域內(nèi)有是偶函數(shù)：若關(guān)于Oyzyxfzyxfyxfyxfxyxfii),(),(),(),(),()(。在其定義域內(nèi)有是奇函數(shù)：若關(guān)于),(),(),(),()(yxfyxfyxfyyxfiii

31、。在其定義域內(nèi)有是奇函數(shù)：若關(guān)于),(),(),(),()(yxfyxfyxfxyxfiv(5)(5)對稱區(qū)域的二重積分對稱區(qū)域的二重積分軸對稱關(guān)于若積分區(qū)域xDv)(DDDdyxfyyxfyDyxyxDdyxfdyxfyyxf0.),(),(;0,),( | ),(,),(2),(),(11是奇函數(shù)，則關(guān)于若其中是偶函數(shù)，則關(guān)于若(5)(5)對稱區(qū)域的二重積分對稱區(qū)域的二重積分軸對稱關(guān)于若積分區(qū)域yDvi)(DDDdyxfxyxfxDyxyxDdxdyyxfdxdyyxfxyxf0.),(),(;0,),( | ),(,),(2),(),(22是奇函數(shù)，則關(guān)于若其中是偶函數(shù)，則關(guān)于若例例12

32、 計算計算 DxyxyDdxdyxxy2,:,1) 1sin(2解解根據(jù)積分區(qū)域的特點根據(jù)積分區(qū)域的特點14-12應(yīng)先對應(yīng)先對 x 后對后對 y 積分積分dxxxydyIyy 21221) 1sin(但由于但由于 1) 1sin( xx對對 x 的積分求不出，無法計算，須改變積分次序。的積分求不出，無法計算，須改變積分次序。先先 x后后y有有dyxxydxxx 4121) 1sin(dxxxxx1)1sin()2(210241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxIxx 101) 1sin(關(guān)于關(guān)于y是奇函數(shù)，積分

33、區(qū)域關(guān)于是奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱軸對稱14-12 DxyxyDdxdyxxy2,:,1)1sin(2兩個直交圓柱體所圍立體兩個直交圓柱體所圍立體計算圓柱面計算圓柱面 222azx 被圓柱面被圓柱面222ayx 解解由對稱性可知由對稱性可知V=8V1 曲面曲面A1 的方程的方程22xaz 例例5所截的部分的體積。所截的部分的體積。. 0, 0,:22211yxayxDOxyA平面的投影為在曲面.316328)(88833022022022221aadxxadyxadxdxdyxaVaxaaD22xaz xy0222ayx三個直交圓柱體所圍立體三個直交圓柱體所圍立體解解P48所圍立體的體積。

34、求由三個柱面222222222,. 4RxzRzyRyx222Rzy222Ryx222Rxzxy0222Ryx)22,22(RR1D解解P48所圍立體的體積。求由三個柱面222222222,. 4RxzRzyRyx.)221 (16)31()(3116)(161616163223202223222222220220222202222022221RxxRxRdxxRdxxRxdyxRdxdyxRdxdxdyxRVVRRRRRRxRRRxRDxy0222Ryx)22,22(RR1D設(shè)設(shè)D為有界閉區(qū)域，為有界閉區(qū)域，z=f(x,y)在在D連續(xù)。連續(xù)。2.極坐標下的計算公式極坐標下的計算公式sinco

35、sryrx(1)極坐標下分割區(qū)域極坐標下分割區(qū)域D,| ),(BrArSD;.,.1010mmBrrrA做分割：。的直徑最大者jiDrrrrDijiijjij,| ),(11Ar Br jr1jr1iiij(2) D的面積的面積, ,11jjjiiirrr令ijijjjijijjijrrrrrrr2212211)( 2121 的扇形面積半徑為的扇形面積半徑為的面積.),()(0221ijjijijijrrror故時，當Ar Br jr1jr1iiij(3)極坐標下的二重積分所對應(yīng)的區(qū)域。為縱軸時，為橫軸是以其中DrDDrrrDrrrrDrdrrrfdrdrdrrfrrrrfpfdyxfrrDj

36、iijjijijjiijijD,)sin,cos( | ),(),()(,| ),()sin,cos()sin,cos()sin,cos(lim)(lim),(21)()(,0,021設(shè)直角坐標系下二重積分Ddxdyyxf),(的積分區(qū)域 Dxy 經(jīng)變換sin,cos:ryrxT變成極坐標系下的區(qū)域rD.cossinsincos),(),(rrrrDyxD 3.利用極坐標計算二重積分利用極坐標計算二重積分因為故得利用極坐標計算二重積分的公式rdrdrrfdxdyyxfxyrDD)sin,cos(),(其中r, 的累次積分上下限的確定不外乎下列諸情形之一.)(20 ,0或r(4)積分區(qū)域的幾種特

37、殊情況.)sin,cos(),(21RRDrdrrrfddyxf21RrR(i)D為環(huán)形域為環(huán)形域R1R2r)(2r)(1roA.)sin,cos(),()(020rDrdrrrfddyxf.20)(）（的邊界曲線方程為 rrD(ii)D為關(guān)于極點的星形域為關(guān)于極點的星形域Orr=r()or)(r.)sin,cos(),()(0rDrdrrrfddyxf(iii)極點在極點在D的邊界曲線的邊界曲線r=r()上上r=r()oA)(r 計算DbyxayxDdxdyyxI| ),(,)(222222. 0 ab其中令:,sin,cos:DDryrxT變成為則DdxdyyxI)(22203badrrd

38、).(244ab Drdrdr2例例 2 2 計算二重積分計算二重積分 Ddxdyyxyx2222)sin(, 其中積分區(qū)域為其中積分區(qū)域為41| ),(22 yxyxD. 解解由對稱性，可只考慮第一象限部分由對稱性，可只考慮第一象限部分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對稱性被積函數(shù)也要有對稱性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D 計算DxDdxdyyxaI為曲線其中2222,.2所圍成的區(qū)域ayy 該曲線即,4)2(222aayx.2 ),2, 0(的圓半徑為aa令:,sin,cos:DDryrx

39、T變成為則是圓心為xy02a由對稱性，有20sin0222ardrradIdara0sin)(312232220da2033)cos1 (32).34(33aDdxdyyxaI222求xy02a 求位于圓r=a以外及圓r = 2acos以內(nèi)的平面部分的面積 A. 聯(lián)立方程組,cos2,arar得兩圓的交點)3,(),3,(aNaM,21cos.3xoMDN設(shè)所求平面部分為D：故所求面積DrdrdA33) 12cos2(22da3232a33cos2aardrdxoMDN計算 :,sin,cos:DDryrxT變成則,0 ,20| ),(RrrD令RrDyxrdreddxdye020)(222)

40、1 (2Re.202dxex. | ),(,222)(22DyxRyxyxDdxdye先計算故DRyxedxdye)1 (222)(.221022dxedxexx)1 (limlim)()(222222222222222),(RRRyxyxRRyxyxyxyxxxedxdyedxdyedyedxdyedxedxedxe 證明.202dxex令,0 ,0| ),(ayaxyxQ則化重積分為累次積分得Qaayxyxdyedxedxdye00)(2222.202axdxe注意到Qeyx, 0)(22夾在以原點為中心, 半徑分別為a 和a2的兩個圓域之間，xy0a2122)(Dyxdxdye其中0,

41、0,| ),(2221yxayxyxD.0, 0,2| ),(2222yxayxyxD故xy0a2222,)(DyxdxdyeQyxdxdye)(221DQ2D運用極坐標計算上述不等式左、右兩端的二重積分：arDyxrdreddxdye020)(2122arDyxrdreddxdye2020)(2222),1 (42ae),1 (422ae122)(Dyxdxdye222)(DyxdxdyeQyxdxdye)(22202axdxe從而有20)()1 (422axadxee，得含a.202dxex,4202dxex即).1 (422ae122)(Dyxdxdye222)(DyxdxdyeQyxd

42、xdye)(22202axdxe例例 4 4 計算計算dxdyyxD)(22 ，其，其 D為由圓為由圓yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ，03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy例例7 計算計算RxyxDdyxRD 22222:, 解解rdrrRdIR 22cos022 2223220cos)(31 dRrR 22232223)cos(31 dRRR dRsin1 32233 2033)sin1(32 d

43、R)34(33 R|)sin|)(sin(3232 注意注意求雙紐線.22cos2222外的面積的一圈在圓arar,2cos222aa,212cos,6oTA60602222cosdada602222sin a3382a|2|1DD 6060210cos02121221aaDrdrdrdrddxdyoTA.22cos2222外的面積的一圈在圓arar例例1 1 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標標二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.解解在極坐標系下在極坐標系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直

44、線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd1 yx122 yx例例 2 2 計算計算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點，半徑為原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解解在極坐標系下在極坐標系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae oxy cosar aDararccos ararccos 思考題思考題 交交換換積積分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa,cos022: arD.),(arccosarcco

45、s0 araradrfdrI 小結(jié)小結(jié)二重積分在極坐標下的計算公式二重積分在極坐標下的計算公式 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd （在積分中注意使用（在積分中注意使用對稱性對稱性）1. 曲線之間的變換與區(qū)域之間的變換曲線之間的變換與區(qū)域之間的變換3.二重積分的一般變量替換公式二重積分的一般變量替換公式將xy面上的區(qū)域變換成uv面上的區(qū)域.將xy面上線變換成uv面上的線xoyuovMDxyMDuv在一定條件下通過變換),(),(yxvvyxuu將xy面上點變

46、換成uv面上的點 例如，u=xy,v =y / x點(1, 1)(1, 1)4 , 2()22 ,21(xoy)2 ,21()22 ,21(1, 1)xy=1xy=2D(1/2, 2)(1, 4) 1 , 2()2,2()2,2(線xy = 1 u = 1區(qū)域 D D uov(1, 1)(2, 1)(2, 4)(1, 4)D xy = 2 u = 2y = x v = 1y = 4x v = 4做變換做變換：u=xy, v =y / x2. 定理定理2(換元法換元法)。是變換的雅可比行列式其中內(nèi)連續(xù)，則在又設(shè)。雅可比行列式處處不為連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且變換的內(nèi)有在與其中有一個一一對應(yīng)：到都是有界閉區(qū)域

47、，且設(shè)),(),(,|),(),(),(),(0),(),(),( ),(,DyxDJddJyxfdxdyyxfDyxfzDyyxxyxDDDDDD.cossinsincos),(),(:sincosrrrrDyxDryrx例如).,(),(),(),(),(),(),(yxfyxfyyxxyx則的逆變換為設(shè)3P1P),(),(),(),(333222111000yxPyxPyxPyxP2P),(),(),(),(003002001000dPddPdPP0P3P1P2P0P00DDd0d00),(yxdyx0),(dyx0),(0),(yx).,(),(),(),(),(),(),(yxfyx

48、fyyxxyx則的逆變換為設(shè)3P1P2P0P3P1P2P0P00DDd0d00),(yxdyx0),(dyx0),(0),(yx),(0),(00303301011yyxxyyxxPPPP),(),(),(),(002003001000ddxxdxxdxxxx),(),(),(),(002003001000ddyydyydyyyy3P1P2P0P3P1P2P0P00DDd0d00),(yxdyx0),(dyx0),(0),(yx. | )()( |00|0103030103030101313210yyxxyyxxyyxxyyxxSPPPPPPPP)()(),(),(),()(),(),(),(

49、)(),(),(),()(),(),(),(2200000003000000010000000300000001ddodyydyyyodyydyyyodxxdxxxodxxdxxx),(),(),(),(002003001000ddxxdxxdxxxx),(),(),(),(002003001000ddyydyydyyyy.),(),(),(),(),(),(),(0000000000DyxDddyyxxdydxdydx.),(),(),(),(ddDyxDdxdydDyxDd即)(),(),(),()(),(),(),()(),(),(),()(),(),(),(00000003000000

50、010000000300000001odyydyyyodyydyyyodxxdxxxodxxdxxx03030101yyxxyyxxddDyxDyxfdxdyyxfDDxy),(),(),(),(),( 注注1：),(),(1),(),(DyxDyxDD注注2：一定要將有界區(qū)域變?yōu)橛薪鐓^(qū)域.如將但將22222,yxyvyxxu112222vuyx112222vuyx 計算DxyxyxyDxydxdy, 2, 1,為由曲線其中所圍成的區(qū)域)0, 0(4yxxy作變換, 41 , 21,:vuxyvxyuT則,41 , 21 | ),(vuvuD1),(),(),(),(yxvuvuyx.212v

51、yx1yvxvyuxu121xxyxy即,故dudvvuxydxdyDD*21dvvudu214121dvvudu214121. 2ln23。41 , 21 ,vuxyvxyuvvuyx21),(),(計算1|3.)(yxdxdyyx積分區(qū)域D如圖所示. yxvyxu,則).(21 ),(21uvyvux.11, 11| ),(vuvuD作變換Tx+y=1 x+y = 1x+y = 1x y = 1xy0而vyuyvxuxvuyx),(),(故dudvvdxdyyxyxD1|3321)(113dvv 21212121 .21dvvdu3111121= 0yxvyxu,).(21 ),(21uv

52、yvux.11, 11| ),(vuvuD求由曲線) 0, 0(2,2,22yxxyxyaxyaxy及所圍成的平面圖形D的面積A.令則,:xyvxyuT1),(),(),(),(yxvuvuyx121xxyxyyx2.21v在變換T下, 由曲線所圍成的平面區(qū)域D變成區(qū)域D：得所求面積DdxdyAdvvduaa2222121dudvvuyxD),(),(. 2ln22a.,xyvxyuvvuyx21),(),( 求橢圓12222byax所圍成的區(qū)域的面積.bvyaux,bavuyx00),(),(所求面積xyuvDDabdudvdxdy將題中橢園變?yōu)閡v面上圓: u2 + v2 =1= ab.ab,sincosbryarx.cossinsincos),(),(abrbrbararDyxDJ 4.廣義極坐標變換廣義極坐標變換