階段性測(cè)試題二(函數(shù)與基本初等函數(shù))本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知loga2m，loga3n，則a2mn的值為()A6B18C12 D7答案C解析方法一：由對(duì)數(shù)的定義知am2，an3，a2mn(am)2·an22×312.方法二：a2mna a a12.2(2020·西安模擬)下列函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1，x2(，0)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)”的函數(shù)是()Af(x)x1Bf(x)x21Cf(x)2x Df(x)ln(x)答案C解析由函數(shù)定義可知f(x)在區(qū)間(，0)上為增函數(shù)，由各選項(xiàng)可知只有C選項(xiàng)滿足條件3(2020·洛陽調(diào)研)若函數(shù)yf(x)的定義域是0,2，則函數(shù)g(x)的定義域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)答案D解析因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?,2，所以對(duì)g(x)有，故x(0,1)4(2020·重慶文)設(shè)alog，blog，clog3，則a、b、c的大小關(guān)系是()Aa<b<c Bc<b<aCb<a<c Db<c<a答案B解析clog3log，又<<且函數(shù)f(x)logx在其定義域上為減函數(shù)，所以log>log>log，即a>b>c.點(diǎn)評(píng)本題考查了對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax(0<a<1)的單調(diào)性，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，難度中等5(2020·鞍山模擬)已知函數(shù)f(x)，則f的值是()A9 B.C9 D答案B解析fff(2)32.6(2020·沈陽一模)若函數(shù)f(x)(a22a3)x2(a3)x1的定義域和值域都為R，則a的取值范圍是()Aa1或3 Ba1Ca>3或a<1 D1<a<3答案B解析若a22a30，則f(x)為二次函數(shù)，定義域和值域都為R是不可能的若a22a30，即a1或3；當(dāng)a3時(shí)，f(x)1不合意；當(dāng)a1時(shí)，f(x)4x1符合題意7(2020·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)x2的解集為()A1,1 B2,2C2,1 D1,2答案A解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2可變?yōu)閤2x2.即，1x0.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x2可變?yōu)閤2x2，即0<x1，綜上可得不等式的解集為x|1x18函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x2)，若f(1)5，則ff(5)()A5 BC. D5答案B解析顯然由f(x2)f(x4)f(x)，說明函數(shù)的周期為4，ff(5)ff(1)f(5)f(1)f(3)f(12).9(2020·溫州調(diào)研)已知函數(shù)f1(x)ax，f2(x)xa，f3(x)logax(其中a>0，且a1)在同一坐標(biāo)系中畫出其中兩個(gè)函數(shù)在第一象限的圖像，其中正確的是()答案B解析從選項(xiàng)A可看出兩圖像應(yīng)為f1(x)ax與f2(x)xa，由f1(x)的圖像知a>1，由f2(x)圖像知a<0，A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，圖像應(yīng)為f2(x)xa與f3(x)logax，由f2(x)的圖像知a>1，由f3(x)的圖像知a>1，可能正確對(duì)于選項(xiàng)C，表示f1(x)ax與f3(x)logax的圖像，由f1(x)知a>1，由f3(x)知0<a<1，C選項(xiàng)不正確對(duì)于選項(xiàng)D，表示f2(x)xa與f1(x)ax兩函數(shù)的圖像，由f2(x)xa與f1(x)ax兩函數(shù)的圖像，由f2(x)的圖像知a>1，由f1(x)的圖像知0<a<1，D選項(xiàng)不正確10(2020·清遠(yuǎn)一模)已知函數(shù)f(x)2xlnx，若an0.1n(其中nN)，則使得|f(an)2020|取得最小值的n的值是()A100 B110C11 D10答案B解析分析|f(an)2020|的含義，估算2xlnx與2020最接近的整數(shù)注意到2101024,2112048>2020，ln11(2,3)，x11時(shí)，2xlnx與2020最接近，于是，0.1n11，n110.第卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)11(2020·鎮(zhèn)江調(diào)研)函數(shù)f(x)log2(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_答案(，)解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，令t2x1(t>0)，因?yàn)閥log2t在t(0，)上為增函數(shù)，t2x1在(，)上為增函數(shù)，所以函數(shù)ylog2(2x1)的單調(diào)增區(qū)間為(，)12(2020·合肥模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且周期為5，若f(1)<1，f(4)loga2(a>0，且a1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1,2)解析 因?yàn)閒(x)是周期為5的奇函數(shù)，所以f(4)f(4)f(1)，又因?yàn)閒(1)<1，所以f(4)f(1)>1，即loga2>1，所以1<a<2.13(2020·溫州十校模擬)函數(shù)f(x)|log3x|在區(qū)間a，b上的值域?yàn)?,1則ba的最小值為_答案解析由題可知函數(shù)f(x)|log3x|在區(qū)間a，b上的值域?yàn)?,1，當(dāng)f(x)0時(shí)x1，當(dāng)f(x)1時(shí)x3或，所以要使值域?yàn)?,1，定義域可以為，3，1,3，1，所以ba的最小值為.14(2020·江蘇)已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)，若f(1a)f(1a)，則a的值為_答案 解析首先討論1a,1a與1的關(guān)系，當(dāng)a<0時(shí)，1a>1,1a<1，所以f(1a)(1a)2a1a；f(1a)2(1a)a3a2.因?yàn)閒(1a)f(1a)，所以1a3a2，所以a.當(dāng)a>0時(shí)，1a<1,1a>1，所以f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因?yàn)閒(1a)f(1a)，所以2a3a1，所以a(舍去)綜上，滿足條件的a.點(diǎn)評(píng)本小題考查分段函數(shù)的求值、解方程等基本知識(shí)，考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用15(2020·修水一模)設(shè)a>1，若對(duì)于任意的xa,2a，都有ya，a2滿足方程logaxlogay3，這時(shí)a的取值集合為_答案a|a2解析由logaxlogay3，得loga(xy)3，即y，a>1且x>0，y在xa,2a上單調(diào)遞減ymaxf(a)a2，yminf(2a)，由題意得，得a2.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)a.(1)求證：函數(shù)yf(x)在(0，)上是增函數(shù)；(2)若f(x)<2x在(1，)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)證明：當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)a，設(shè)0<x1<x2，則x1x2>0，x1x2<0.f(x1)f(x2)(a)(a)<0.f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0，)上是增函數(shù)(2)解：由題意a<2x在(1，)上恒成立，設(shè)h(x)2x，則a<h(x)在(1，)上恒成立可證h(x)在(1，)上單調(diào)遞增故ah(1)，即a3，a的取值范圍為(，3點(diǎn)評(píng)在給定的區(qū)間上，函數(shù)解析式的絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，忽略這一點(diǎn)，思維可能受限17(本小題滿分12分)(2020·張家口模擬)二次函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)在區(qū)間1,1上，yf(x)的圖像恒在y2xm的圖像上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍解析(1)設(shè)f(x)ax2bxc，由f(0)1得c1，故f(x)ax2bx1.f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，f(x)x2x1.(2)由題意得x2x1>2xm在1,1上恒成立即x23x1m>0在1,1上恒成立設(shè)g(x)x23x1m，其圖像的對(duì)稱軸為直線x，g(x)在1,1上遞減即只需g(1)>0，即123×11m>0，解得m<1.所以m的取值范圍為m(，1)18(本小題滿分12分)(2020·南京一模)已知f(x)x2xk，且log2f(a)2，f(log2a)k(a>0，a1)(1)求a，k的值；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，f(logax)有最小值？并求出該最小值解析(1)由題得由(2)得log2a0或log2a1，解得a1(舍去)或a2，由a2得k2.(2)f(logax)f(log2x)(log2x)2log2x2，當(dāng)log2x即x時(shí)，f(logax)有最小值，最小值為.19(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)<3.分析欲證f(x)為增函數(shù)，即證x2>x1時(shí)，f(x2)>f(x1)由已知x>0時(shí)，f(x)>1，x2x1>0時(shí)，f(x2x1)>1，再結(jié)合條件f(ab)f(a)f(b)1，有f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)1>0.解析(1)證明：設(shè)x1、x2R，且x1<x2，則x2x1>0，f(x2x1)>1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)1>0，f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函數(shù)(2)解：f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(2)3.不等式即為f(3m2m2)<f(2)f(x)是增函數(shù)，于是有3m2m2<2，解得1<m<.因此不等式的解集為.20(本小題滿分13分)(2020·湖北理)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))解析(1)由題意：當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60×201200；當(dāng)20<x200時(shí)，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時(shí)，等號(hào)成立所以，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值 3333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)21(本小題滿分14分)(2020·洛陽調(diào)研)已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)且滿足f(1)0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x, 恒有f(x)x0，并且當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)2.(1)求f(1)的值；(2)證明：a>0，c>0；(3)當(dāng)x1,1時(shí)，函數(shù)g(x)f(x)mx(xR)是單調(diào)函數(shù)，求證：m0或m1.解析(1)解：對(duì)xR，f(x)x0恒成立，當(dāng)x1時(shí)，f(1)1，又1(0,2)，由已知得f(1)()21，1f(1)1.f(1)1.(2)證明：f(1)1，abc1.又abc0，b.ac.f(x)x0對(duì)xR恒成立，ax2xc0對(duì)xR恒成立c>0，故a>0，c>0.(3)證明：ac，ac，由a>0，c>0及ac2，得ac，ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，取“”f(x)x2x.g(x)f(x)mxx2(m)xx2(24m)x1g(x)在1,1上是單調(diào)函數(shù)，2m11或2m11.m0或m1.