階段性測(cè)試題六(數(shù)列)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2020·洛陽一模)在等比數(shù)列an中，a20208a2020，則公比q的值為()A2B3C4 D8答案A解析a20208a2020，q38，q2.2(2020·濰坊3月聯(lián)考)等差數(shù)列an中，Sn是an的前n項(xiàng)和，已知S62，S95，則S15等于()A15 B30C45 D60答案A解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，則，解得，所以S1515×()×15.3(2020·淮南模擬)等比數(shù)列an中，a5a115，a4a26，且a1>0，則a3等于()A3 B.C4 D.答案C解析設(shè)公比為q，則a5a1a1(q41)15. a4a2a1(q3q)6. 兩式相除得，解得q2或.a4a2>0，q2代入式得a11.a34.4(2020·信陽一模)已知an是等差數(shù)列，a415，S555，則過點(diǎn)P(3，a3)，Q(4，a4)的直線斜率為()A4 B.C4 D答案A解析an為等差數(shù)列，S55a355，a311，kPQa4a315114.5(2020·天津理)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為()A110 B90C90 D110答案D解析本題主要考查等比中項(xiàng)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和由條件：aa3·a9即(a16d)2(a12d)·(a18d)a120，S1010×20×(2)110.故選D.6(2020·原創(chuàng)題)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Snanm(a0且a1)，那么使“數(shù)列an是等比數(shù)列”成立的條件是()Am1 Bm1Cm1 Dm為任意實(shí)數(shù)答案A解析anSnSn1(anm)(an1m)an1(a1)(n2)數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件是anan1(a1)滿足a1，即a1a1S1am，即m1.7(2020·合肥一模)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，若a11，則S4()A7 B8C15 D16答案C解析不妨設(shè)數(shù)列an的公比為q，則4a1,2a2，a3成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為2(2q)4q2，得q2.S415.8(文)(2020·鄭州一模)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an12n，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前11項(xiàng)和為()A45 B50C55 D66答案D解析由等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式得a11，所以其前n項(xiàng)和Snn2.則n.所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以其前11項(xiàng)的和為11×(1)×(1)66.(理)(2020·鄭州一模)已知數(shù)列an中，a32，a71，若為等差數(shù)列，則a11()A0 B.C. D2答案B解析由已知可得，是等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第7項(xiàng)，其公差d，由此可得(117)d4×.解之得a11.9(文)(2020·四川文)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6()A3×44 B3×441C45 D451答案A解析該題考查已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an1的關(guān)系，求通項(xiàng)公式an.注意的問題是用anSnSn1時(shí)(n2)的條件an13Sn an3Sn1 得an1an3Sn3Sn13an，即an14an，4(n2)當(dāng)n2時(shí)，a23a13，34(n2)，an為從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，且公比q4，a6a2·q43·44.(理)(2020·四川理)數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8()A0 B3C8 D11 答案B解析本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及累加法求通項(xiàng)，由b32，b1012，d2，bn62(n1)2n8.由關(guān)系式：b7a8a7，各式相加：b1b2b7a8a1a83b6a7a6，b1a2a1，a83，a83，故選B.10若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an5()2n24()n1(nN)，an的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則xy等于()A3 B4C5 D6答案A解析an5·()n124·()n15()n12，當(dāng)()n1，即n2時(shí)，an最小，當(dāng)()n11時(shí)，即n1時(shí)，an最大x1，y2，xy3.第卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)11(2020·許昌月考)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足1，則數(shù)列an的公差是_答案2解析Sn，由1得1，a3a22，數(shù)列an的公差為2.12(2020·九江調(diào)研)數(shù)列an滿足a11，an12an1，若數(shù)列anc恰為等比數(shù)列，則c的值為_答案1解析an12an1，an112(an1)，數(shù)列an1是以首項(xiàng)a112，公比為2的等比數(shù)列，c1.13(2020·湖北理)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_升答案解析本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算設(shè)此等差數(shù)列為an，公差為d，則解得a5a14d4×.14(2020·延安模擬)等比數(shù)列an中，a1a310，a4a6，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_答案an24n解析由a4a1·q3，a6a3q3得q3×.q，又a1(1q2)10，a18.ana1·qn18×()n124n.15(文)(2020·蕪湖一模)已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_答案解析anan12(n1)a2a12，相加得ana1242(n1)212(n1)2·n(n1)，ann2n33，n1，n6時(shí)，61為最小(理)(2020·溫州一模)若數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，且n23n(nN)，則_.答案2n26n解析令n1得4，即a116，當(dāng)n2時(shí)，(n23n)(n1)23(n1)2n2，所以an4(n1)2，當(dāng)n1時(shí)，也適合，所以an4(n1)2(nN)于是4(n1)，故2n26n.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16(本小題滿分12分)(2020·商丘模擬)已知等差數(shù)列an中，a3a716，a4a60，求an的前n項(xiàng)和Sn.分析本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式解析設(shè)an的公差為d，則，即，解得或.因此Sn8nn(n1)n(n9)，或Sn8nn(n1)n(n9)17(本小題滿分12分)(文)(2020·重慶文)設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a12，a3a24.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a12，a3a24得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍)，q2，ana1·qn12·2n12n.(2)數(shù)列bn12(n1)2n1，Snn×1×22n12n2nn2n1n22.(理)(2020·浙江文)已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1為a(aR)，且，成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)nN*，試比較與的大小解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意可知()2·，即(a1d)2a1(a13d)，從而a1dd2，因?yàn)閐0，所以da1a，故通項(xiàng)公式anna.(2)記Tn，因?yàn)閍2n2n·a，所以Tn()·1()n從而，當(dāng)a>0時(shí)，Tn<當(dāng)a<0時(shí)，Tn>.18(本小題滿分12分)(2020·青島質(zhì)檢)數(shù)列an中，a12，an1ancn(c是常數(shù)，n1,2,3，)，且a1、a2、a3成公比不為1的等比數(shù)列(1)求c的值；(2)求an的通項(xiàng)公式解析(1)a12，a22c，a323c，因?yàn)閍1、a2、a3成等比數(shù)列，所以(2c)22(23c)，解得c0或c2.當(dāng)c0時(shí)，a1a2a3，不符合題意，故c2.(2)當(dāng)n1時(shí)，由于a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，所以ana112(n1)cc.又a12，c2，故an2n(n1)n2n2(n2,3，)當(dāng)n1時(shí)，上式也成立，所以ann2n2.19(本小題滿分12分)(2020·安陽一模)已知數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，且n，an，Sn成等差數(shù)列(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn>57時(shí)n的取值范圍解析(1)n，an，Sn成等差數(shù)列，Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2)，anSnSn12an2an11(n2)，an2an11(n2)，兩邊加1得an12(an11)(n2)，2(n2)又由Sn2ann得a11.數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，an12·2n1，即數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)知，Sn2ann2n12n，Sn1Sn2n22(n1)(2n12n)2n11>0，Sn1>Sn，Sn為遞增數(shù)列由題設(shè)，Sn>57，即2n1n>59.又當(dāng)n5時(shí)，26559，n>5.當(dāng)Sn>57時(shí)，n的取值范圍為n6(nN)20(本小題滿分13分)(2020·濰坊調(diào)研)設(shè)數(shù)列an是公差大于0的等差數(shù)列，a3，a5分別是方程x214x450的兩個(gè)實(shí)根(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)因?yàn)榉匠蘹214x450的兩個(gè)根分別為5、9，所以由題意可知a35，a59，所以d2，所以ana3(n3)d2n1.(2)由(1)可知，bnn·，Tn1×2×3×(n1)×n·， Tn1×2×(n1)×n· 得，Tnn·1，所以Tn2.21(本小題滿分14分)(2020·蘇州一模)已知數(shù)列an滿足：a11，a2a(a>0)數(shù)列bn滿足bnanan1(nN*)(1)若an是等差數(shù)列，且b312，求a的值及an的通項(xiàng)公式；(2)若an是等比數(shù)列，求bn的前n項(xiàng)和Sn；(3)當(dāng)bn是公比為a1的等比數(shù)列時(shí)，an能否為等比數(shù)列？若能，求出a的值；若不能，請(qǐng)說明理由解析(1)an是等差數(shù)列，a11，a2a，an1(n1)(a1)又b312，a3a412，即(2a1)(3a2)12，解得a2或a.a>0，a2.ann.(2)數(shù)列an是等比數(shù)列，a11，a2a(a>0)，anan1，bnanan1a2n1.a2，數(shù)列bn是首項(xiàng)為a，公比為a2的等比數(shù)列當(dāng)a1時(shí)，Snn；當(dāng)a1時(shí)，Sn.(3)數(shù)列an不能為等比數(shù)列bnanan1，則a1.a3a1.假設(shè)數(shù)列an能為等比數(shù)列由a11，a2a，得a3a2.a2a1，此方程無解，數(shù)列an一定不能為等比數(shù)列