階段性測試題五(平面向量)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2020·臨川模擬)已知向量a，b滿足a·b0，|a|1，|b|2，則|2ab|()A0B2C4 D8答案B解析|2ab|24a24a·bb28，|2ab|2.2(2020·蕪湖一模)已知向量a(2,2)，b(5，k)若|ab|不超過5，則k的取值范圍是()A4,6 B6,4C6,2 D2,6答案C解析|ab|(3，k2)|5，(k2)242，6k2.選C.3(2020·麗水一模)已知向量a(5,6)，b(6,5)，則a與b()A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向答案A解析已知向量a(5,6)，b(6,5)，a·b30300，則a與b垂直4(2020·威海一模)如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則等于()Aab B.abC.ab D.ab答案B解析()ab.5a，b為平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于()A. BC. D答案C解析本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，在解決問題時(shí)需要先設(shè)出向量坐標(biāo)，然后求得參數(shù)，該題較為簡單由題可知，設(shè)b(x，y)，則2ab(8x,6y)(3,18)，所以可以解得x5，y12，故b(5,12)，所以cosa，b，故選C.6(文)(2020·寶雞模擬)已知a、b均為非零向量，命題p：a·b>0，命題q：a與b的夾角為銳角，則p是q成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)a與b夾角為0°時(shí)，a·b>0；p/ q，當(dāng)a與b夾角為銳角時(shí)，a·b|a|·|b|cos>0，qp.因此p是q成立的必要不充分條件(理)(2020·寶雞模擬)已知a(1,3)，b(1,1)，cab，若a和c的夾角是銳角，則的取值范圍是()A. B.C0 D.(0，)答案D解析由條件得，c(1，3)，從而(0，)7(文)(2020·九江一模)已知向量m(1,1)，n(1，t)，若m·n3，則向量m與向量n夾角的余弦值為()A. B.C. D.答案D解析m·n3，1t3，t2，n(1,2)，|m|，|n|，cos<m，n>，故選D.(理)(2020·九江一模)已知向量a與b的夾角為，|a|，則a在b方向上的投影為()A. B.C. D.答案C解析a在b方向上的投影為|a|cos<a，b>cos.故應(yīng)選C.8設(shè)向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0<<<，若|2ab|a2b|，則等于()A. BC. D答案A解析由|2ab|a2b|知3|a|23|b|28a·b0.而|a|1，|b|1，故a·b0，即cos()0，由于0<<<，故<<0，故，選A.9(文)(2020·泉州一模)已知向量m，n滿足m(2,0)，n(，)在ABC中，2m2n，2m6n，D為BC邊的中點(diǎn)，則|等于()A2 B4C6 D8答案A解析由D為BC邊的中點(diǎn)得，|.又()(4m4n)2m2n(1，)|2，故選A.(理)(2020·泉州一模)若ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且()·0，則ABC一定是()A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形C等邊三角形 D鈍角三角形答案C解析()·0，()()0，220，即|又A，B，C成等差數(shù)列，B60°.從而CA60°.故ABC為等邊三角形10(文)(2020·遼寧理)若a，b，c均為單位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B1C. D2答案B解析本小題考查內(nèi)容為向量數(shù)量積及向量模的計(jì)算|abc|2|a|2|b|2|c|22a·b2a·c2b·c32(a·cb·c)(ac)·(bc)a·ba·cb·c|c|21(a·cb·c)0，|abc|21，|abc|max1.(理)(2020·四川文)在集合1,2,3,4,5中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量(a，b)從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個(gè)數(shù)為m，則()A. B.C. D.答案B解析向量a的坐標(biāo)有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)共6種情況，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形共有C15個(gè)以a，b為鄰邊所作平行四邊形的面積為S|a|b|sin<a，b>|a|b|a|b|.分別以a(2,1)，b(4,1)；a(2,1)，b(4,3)；a(4,5)，b(2,3)為鄰邊的平行四邊形面積為2，故m3，所以.點(diǎn)評本題綜合考查了平面向量的數(shù)量積、排列組合知識及分析問題、解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大第卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)11(2020·沈陽調(diào)研)若向量a(1,1)，b(1,2)，則a·b等于_答案1解析a(1,1)，b(1,2)，a·b1×(1)1×2121.12已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2.若a·b0，則實(shí)數(shù)k的值為_答案解析a·b(e12e2)·(ke1e2)ke(12k)e1·e22ek2(12k)cos2k.a·b0，2k0，即k.13(文)(2020·湖南文)設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_答案(4，2)解析考查向量坐標(biāo)數(shù)乘運(yùn)算等由a與b方向相反可設(shè)a(2,1)，<0，所以由|a|2|，知2，所以a(4，2)(理)(2020·湖南理)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)2，3，則·_.答案 解析本小題考查內(nèi)容為向量的加減法與向量數(shù)量積的計(jì)算如圖，令a，b，(ab)，(ba)ba，··a·ba·ba·b×.14(2020·黃山模擬)設(shè)向量 a，b的夾角為，a(2,1)，a3b(5,4)，則sin_.答案解析設(shè)b(x，y)，a(2,1)，a3b(5,4)，即b(1,1)，cos.又0，sin.15(2020·濟(jì)南調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，i，j分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，ij，2imj，則實(shí)數(shù)m_.答案0或2解析本題考查了向量的運(yùn)算由已知可得i(m1)j.當(dāng)A90°時(shí)，·(ij)·(2imj)2m0，m2.當(dāng)B90°時(shí)，·(ij)·i(m1)·j(1m1)m0，m0.當(dāng)C90°時(shí)，·(2imj)·i(m1)j2m(m1)m2m20，此時(shí)m不存在故m0或2.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16(本小題滿分12分)(2020·鄭州模擬)已知向量a(3，2)，b(2,1)，c(7，4)，是否能以a，b為平面內(nèi)所有向量的一組基底？若能，試將向量c用這一組基底表示出來；若不能，請說明理由解析a(3，2)，b(2,1)a·b3×1(2)×(2)10.a與b不共線，故一定能以a，b作為平面內(nèi)的所有向量的一組基底設(shè)caub即(7，4)(3，2)(2u，u)(32u，2u)，解得.ca2b.17(本小題滿分12分)(2020·徐州模擬)已知平面內(nèi)A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求實(shí)數(shù)m，n的值解析由于C、A、B三點(diǎn)在一條直線上，則，又(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0.整理得mnn5m90，又，2nm0.聯(lián)立方程組解得或.18(本小題滿分12分)(2020·鹽城一模)已知向量a(sin，)，b(1，cos)，(，)(1)若ab，求；(2)求|ab|的最大值解析(1)因?yàn)閍b，所以sincos0.得tan.又(，)，所以.(2)因?yàn)閨ab|2(sin1)2(cos)254sin()所以當(dāng)時(shí)，|ab|2的最大值為549.故|ab|的最大值為3.19(本小題滿分12分)(2020·洛陽模擬)已知向量a(，)，b(2，cos2x)(1)若x(0，試判斷a與b能否平行？(2)若x(0，求函數(shù)f(x)a·b的最小值解析(1)若a與b平行，則有·cos2x·2，因?yàn)閤(0，sinx0，所以得cos2x2，這與|cos2x|1相矛盾，故a與b不能平行(2)由于f(x)a·b2sinx，又因?yàn)閤(0，所以sinx(0，于是2sinx22，當(dāng)2sinx，即sinx時(shí)取等號故函數(shù)f(x)的最小值等于2.20(本小題滿分13分)已知向量，定義函數(shù)f(x)·.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并指出其最大值和最小值；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(A)1，bc8，求ABC的面積S.解析(1)f(x)·(2sinx，1)·(cosx，cos2x)sin2xcos2xsin，f(x)的最大值和最小值分別是和.(2)f(A)1，sin.2A或2A.A或A.又ABC為銳角三角形，A，bc8，ABC的面積SbcsinA×8×2.21(本小題滿分14分)(2020·西安模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量(sin，1)，(cos，0)，(sin，2)，點(diǎn)P滿足.(1)記函數(shù)f()·，(，)，討論函數(shù)f()的單調(diào)性，并求其值域；(2)若O，P，C三點(diǎn)共線，求|的值解析(1)(cossin，1)，設(shè)(x，y)，則(xcos，y)由得x2cossin，y1，故(2cossin，1)(sincos，1)，(2sin，1)f()·(sincos，1)·(2sin，1)2sin22sincos1(sin2cos2)sin(2)，又(，)，故0<2<，當(dāng)0<2，即<時(shí)，f()單調(diào)遞減；當(dāng)<2<，即<<時(shí)，f()單調(diào)遞增，故函數(shù)f()的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，因?yàn)閟in(2)(，1，故函數(shù)f()的值域?yàn)椋?)(2)(2cossin，1)，(sin，2)，由O，P，C三點(diǎn)共線可得(1)×(sin)2×(2cossin)，得tan.sin2.|.點(diǎn)評本題是三角函數(shù)與平面向量的綜合問題，這類試題的難度一般不大，但解題時(shí)要細(xì)心，要正確利用平面向量的相關(guān)知識，特別是平面向量中的共線、垂直關(guān)系高考資源網(wǎng)w w 高 考 資源 網(wǎng)