2020年高中數學 1.1.4 投影與直觀圖2教案 北師大版必修2整幅畫，基本上是從一個視點且只向一個方向看時的統一景物，才能叫做。透視畫。，現存最古的透視畫大概是龐貝的壁畫。人們還不明白當時的畫家是怎樣畫出的。與龐貝城建筑的同時，羅馬的建筑家維特魯威寫了建筑十書，其中有所謂。斯卡伊諾哥拉菲亞。，可解釋成：劇場舞臺背景透視畫與龐貝的壁畫不謀而合的說法可能是正確的。在維特魯威的書里的很多地方能看到關于光學和視覺的敘述，因此歐幾里德有同樣說法是可理解的。雖然中世紀的學者阿爾哈真和培卡姆，也有與歐幾里德相似的敘述，遺憾的是那一時期的透視圖，除了樸素透視畫以外幾乎沒有留下別的。課程學習目標課程目標目標重點：平行投影的性質和斜二測畫法。目標難點：正確地把握斜二測畫法的要點以及選擇放置直觀圖的角度。學法關鍵畫水平放置的空間圖形的直觀圖，一般采用斜二測畫法。 對于斜二測畫法，應當牢固掌握畫法的規(guī)則，再認真地畫幾個常見圖形的直觀圖，從中領會斜二測畫法的要領。 對三視圖的學習要緊密地結合實際應用。 可以到工廠去考察機器零件的實物和圖紙，要認真完成教材中的實習作業(yè)，可以利用課外活動時間探索與研究本節(jié)后面提出的問題，看一看旋轉體的三視圖中是否一定有兩個視圖相同，這兩個相同的視圖中是否都包含有這個旋轉體的軸截面。研習教材重難點研習點1. 平行投影1 點的平行投影：已知圖形F，直線l與平面相交，過F上任一點M作直線l平行于l，交平面于點M，則M叫做點M在平面內關于直線l的平行投影（或像）.2圖形的平行投影：如果圖形F上的所有點在平面內關于直線l的平行投影構成圖形F，則F叫做圖形F在內關于直線l的平行投影，平面叫做投射面，l叫做投射線。3平行投影的性質：當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影都具有以下性質：1直線或線段的平行投影仍是直線或線段；2平行直線的平行投影是平行或重合的直線；3平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；4與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；5在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影長度的比等于這兩條線段長度的比。聯想質疑：為什么平行投影的比例性質不變？事實上，如果線段AB在平面內關于直線l的平行投影是AB （如圖），點M在AB上，且AM:MB=m:n ，則點M的平行投影M在AB上，由平行線分線段成比例定理得AM:MB=m:n研習點2空間圖形的直觀圖1概念：用來表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖.2斜二測畫法：國家規(guī)定的統一的畫直觀圖的一種方法，它的規(guī)則是：（1）在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸，使xOz=90°，且yOz=90°.（2）畫直觀圖時，把Ox、Oy、Oz畫成對應的軸Ox、Oy、Oz，使xOy=45°（或135°），xOz=90°，xOy所確定的平面表示水平平面;（3）已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸或z軸的線段. 并使它們和所畫坐標軸的位置關系，與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同；（4）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來長度的一半；（5）畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖聯想質疑：如何理解斜二測畫法？1斜二測畫法是畫幾何體直觀圖的主要方法；2斜二測畫法的作圖規(guī)則可以簡要地說成：豎直或水平方向放置的線段畫出后方向、長度都不變，前后方向放置的線段畫出時方向與水平方向成45°或135°角，長度畫成原長度的一半（仍表示原長度3.正等測畫法：正等測畫法的依據仍然是平行投影的性質，不過這時的投影線和人的視線平行，并且投射線與投射影垂直；正等測畫法一般用于畫圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉體的直觀圖，它的畫法步驟同斜二測畫法.研習點3水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法與空間圖形的直觀圖的畫法類似，其具體的畫法步驟是：（1）在已知圖形中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，使OxOy；（2）畫直觀圖時，把軸Ox、Oy畫成對應的軸Ox、Oy，使xOy=45°（或135°），xOy所確定的平面表示水平平面；（3）已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸，y軸的線段，并使它們和所畫坐標軸的位置關系，與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同；（4）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來長度的一半；（5）畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了水平放置的平面圖形的直觀圖。研習點4中心投影一個點光源把一個圖形照射到一個平面上，這個圖形的影子就是它在這個平面上的中心投影。聯想質疑：平行投影與中心投影的關系是什么？1平行投影與中心投影的本質區(qū)別在于：平行投影的投射線都互相平行，中心投影的投射線是由同一點發(fā)出的；2中心投影和平行投影都是空間圖形的基本畫法，平行投影包括斜二測畫法和下一節(jié)要學習的三視圖，中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性強，看起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體；3畫實際效果圖時，一般采用中心投影法，畫立體幾何中的圖形時一般用平行投影法；探究解題新思路基礎拓展型題型1. 考查基本概念例1. 當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，關于平行投影的性質，下列說法中不正確的是（ ）（A）直線或線段的平行投影仍是直線或線段 （B）平行直線的平行投影仍是平行的直線（C）與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等 （D）在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比【探究】根據平行投影的概念和性質進行判斷?！狙形觥扛鶕叫型队暗男再|可知，平行直線的平行投影是平行或重合的直線，所以B不正確， 選B.【反思·領悟】理解并熟記平行投影的概念及其五條性質是解好此類判斷題的關鍵1有下列說法： 從投影的角度看，正等測畫法和斜二測畫法畫出的直觀圖都是平行投影下畫出來的空間圖形；平行投影的投影線互相平行，中心投影的投射線相交于一點；空間圖形經過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；空間幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現形式。其中正確的命題個數是（ B ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個小結：此類題通過選擇題或填空題的形式來考查平行投影的概念及相應性質，多為判斷題，解決此類題目的關鍵是熟練掌握平行投影的概念和性質，注意各條性質間的關系。題型2用斜二測畫法畫直觀圖1水平放置的直觀圖的畫法：例2用斜二測畫法畫出水平放置的正五邊形的直觀圖?！咎骄俊肯犬嫵稣暹呅蔚膱D形，然后按照斜二測畫法的作圖步驟進行畫圖。【研析】 （1）如圖所示，在已知五邊形ABCDE中，取中心O為原點，對稱軸FA為y軸，過點O與y軸垂直的是x軸，分別過B、E作GB/y軸，HE/y軸，與x軸分別交于點G、H, 畫對應的軸Ox、Oy，使xOy=45°,（2）如圖所示：以點O為中點，在x軸上取GH=GH，分別過G，H在x軸的上方，作GB/y軸，使GB=GB；作HE/y軸，使HE=HE；在y軸的點O上方取OA=OA，在點O下方取OF=OF，并且以點F為中點，畫CD/x軸，且使CD=CD,（3）連結AB、BC、CD、DE，EA所得正五邊形ABCDE就是正五邊形ABCDE的直觀圖，如圖所示。【反思·領悟】在直觀圖中確定坐標軸上的對應點及與坐標軸平行的線段端點的對應點都比較好辦，但是如果原圖中的點不在坐標軸上或不在與坐標軸平行的線段上，就需要我們經過這些點作坐標軸的平行線段與坐標軸相交，然后先確定這些平行線段在坐標軸上的端點的對應點，再確定這些點的對應點?！就卣?#183;變式】2. 畫出一個銳角為45°的平行四邊形的直觀圖。2空間圖形直觀圖的畫法：例3已知一個正四棱臺的上底面邊長為2cm，下底面邊長為6cm，高為4cm，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖.【探究】先畫出上、下底面正方形的直觀圖，再畫出整個正四棱臺的直觀圖.【研析】（1）畫軸. 以底面正方形ABCD的中心為坐標原點，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于O，使xOy=45°，xOz=90°.（2）畫下底面. 以O為中點，在x軸上取線段EF，使得EF=AB=6cm，在y軸上取線段GH，使得GH=AB，再過G，H分別作ABEF，CDEF，且使得CD的中點為H，AB的中點為G，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖.（3）畫上底面. 在z軸上截取線段OO1=4cm，過O1點作O1x/Ox、O1y/Oy，使xO1y=45°，建立坐標系xO1y，在xO1y中重復（2）的步驟畫出上底面的直觀圖A1B1C1D1.（4）連結B1C1，A1D1，再連結AA1、BB1，CC1，DD1，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖?！痉此?#183;領悟】用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，對于圖中與x軸、y軸、z軸都不平行的線段，可通過確定端點的辦法來解決：過與坐標軸不平行的線段的端點作坐標軸的平行線段，再借助于所作平行線段確定端點在直觀圖中的位置，有了端點在直觀圖中的位置，一切問題便可迎刃而解?！就卣?#183;變式】3畫出一個上、下底面及高分別為1cm、2cm和2cm的正三棱臺的直觀圖.教考動向·演練1. 直線的平行投影可能是（ A ） （A）點 （B）線段 （C）射線 （D）曲線2. 兩條不平行的直線，其平行投影不可能是（ D ）（A）兩條平行線. （B）一點和一條直線 （C）兩條相交直線 （D）兩個點3. 如圖為水平放置的OAB的直觀圖，由圖判斷原三角形中AB、OB、OD、BD由小到大的順序為 OD<BD<AB=OB .綜合創(chuàng)新型題型1. 創(chuàng)新應用題例4 如圖為一個平面圖形的直觀圖，請畫出它的實際形狀.【探究】先建立45°角的坐標系，再建立直角坐標系，然后還原成實際圖形.【研析】在圖中建立如圖所示的坐標系xAy，再建立一個直角坐標系，如圖所示.在x軸截取線段AB=AB，在y軸上截取線段AD，使AD=2AD.過B作BC/AD，過D作CD/AB，則四邊形ABCD 即為ABCD的實際圖形.【反思·領悟】還原圖形的過程是畫直觀圖的逆過程，它主要包括平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉淼?倍4. 下圖表示水平放置圖形的直觀圖，畫出它原來的圖形.題型2. 開放探究題例5. 一個水平放置的四邊形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底的長均為1的等腰梯形，那么原四邊形的面積是（ ） （A）2+ （B）1+ （C）(2+) （D）(1+)【探究】 此題是斜二測畫法的逆用，根據畫法原則還原求解【研析】由題意可得下底為1+，而由斜二測畫法知一腰垂直于底邊，且腰長為2，于是面積為，故選C。【反思·領悟】本例是由直觀圖求原平面圖形的面積，應根據畫法找出腰和底邊的夾角及邊長，再利用面積公式求解。 請同學們思考斜二測畫法中夾角為45°和135°時圖形的面積相同嗎？原因是什么呢？教考動向·演練4.下面圖形中采用中心投影畫法的是（ A ）5. 用斜二測畫法畫直觀圖時，三角形的直觀圖還是三角形；平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形；正方形的直觀圖還是正方形；菱形的直觀圖還是菱形，其中正確的是 。6. 一個四邊形的直觀圖是邊長為a的正方形，則原圖形的面積是 2a2 。7. 一個菱形的邊長為2cm，一個內角為60°，畫出它的直觀圖。1已知ABC的平面直觀圖ABC是邊長為a的正三角形，那么原ABC的面積為( C ) （A）a2 （B） （C） （D）