第2課時(shí)指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)1.經(jīng)歷冪指數(shù)由正整數(shù)逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)的過(guò)程,理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義.2.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化.3.掌握冪的運(yùn)算性質(zhì).我們知道考古學(xué)家是通過(guò)對(duì)生物化石的研究判斷生物的發(fā)展和進(jìn)化的,那么他們又怎樣判斷它們所處的年代呢?當(dāng)生物死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律,考古學(xué)家獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系P=(,這樣就能推斷它們所處的年代.在科學(xué)領(lǐng)域中,常常需要研究這一類問(wèn)題.問(wèn)題1:情景中不一定為整數(shù),不為整數(shù)它還有意義嗎?下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義:給定正實(shí)數(shù)a,對(duì)于任意給定的整數(shù)m、n(m、n互素),存在唯一的正實(shí)數(shù)b,使得bn=am,b叫作a的次冪,記作,它就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪. 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪. 問(wèn)題2:n次方根的概念:如果xn=a,那么x叫作a的,其中n>1,且nN+. (1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè),因此a的n次方根用符號(hào)表示. (2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有兩個(gè),它們,可用符號(hào)表示.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根. (3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)=,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)=. 問(wèn)題3:(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:=(a>0,m,nN+,n>1). (2)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿,我們規(guī)定:=(a>0,m,nN+,n>1). 問(wèn)題4:在初中,我們學(xué)過(guò)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),當(dāng)指數(shù)為任意實(shí)數(shù)時(shí),這些運(yùn)算性質(zhì)還適用.實(shí)際上,當(dāng)a>0,b>0時(shí),對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n,我們可以將指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)歸結(jié)為三條:(1)am·an=; (2)(am)n=; (3)(ab)n=. 1.下列運(yùn)算中,正確的是().A.=a-bB.=a2+b2C.-=a-bD.=a+b2.下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化,正確的是().A.-=(-xB.=-C.(=(x,y0)D.=(x<0)3.已知y=(3x-2+(2-3x+,則實(shí)數(shù)x,y依次為. 4.化簡(jiǎn)(··÷.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式:(1)a2·(2)a3·.用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)下面各式:(1);(2)÷(1-2)·(3);(4)+.用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求值已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示根式(a>0,b>0)的結(jié)果是. 已知a<b<0,n>1,nN+,化簡(jiǎn)+.若已知x3+x-3=2,你能求出x+x-1的值嗎?1.若+(a-4)0有意義,則a的取值范圍是().A.a2B.a2且a4C.a2D.a42.下列各式中成立的一項(xiàng)是().A.()7=n7B.=C.=(x+yD.=3.若5=,5=,則52a-b=. 4.化簡(jiǎn):(1)()(-3)÷().(2)(a>0).(2020年·陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(f(-4)=. 考題變式(我來(lái)改編):    答案第2課時(shí)指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)知識(shí)體系梳理問(wèn)題1:b=0沒(méi)有意義問(wèn)題2:n次方根(1)正數(shù)負(fù)數(shù)(2)互為相反數(shù)±(3)a|a|=問(wèn)題3:(1)(2)問(wèn)題4:(1)am+n(2)amn(3)anbn基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.B在根式運(yùn)算中,要看清是偶次方根還是奇次方根的運(yùn)算,它們的運(yùn)算性質(zhì)是不一樣的.這四個(gè)都是偶次方根的運(yùn)算,當(dāng)a0時(shí),=a,a2+b20,所以只有B項(xiàng)是正確的,其余都不對(duì).2.C對(duì)A,-=-,故A錯(cuò);對(duì)B,=,故B錯(cuò);C是正確的;對(duì)D,=(-x(x<0),故D是錯(cuò)的.3.,根據(jù)根式的性質(zhì)知,要使(3x-2有意義,則3x-20,要使(2-3x有意義,則2-3x0,故2-3x=0,此時(shí)x=,y=.4.解:原式=··÷=·=a0·b0=1.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)a2·=a2·=.(2)a3·=a3·=.【小結(jié)】牢記分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義和有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.探究二:【解析】(1)原式=·(=.(2)原式=÷(1-)·=··=··=a.(3)原式=3+.(4)原式=+=+=+=1.【小結(jié)】(1)在冪的運(yùn)算過(guò)程中,要注意乘法公式的運(yùn)用,常用的乘法公式有完全平方、平方差、立方和與立方差公式.(2)考查根式的運(yùn)算能力.復(fù)合根式要化簡(jiǎn),必須將被開方數(shù)配成完全平方式,從內(nèi)層逐步“去掉”根式,如本探究(3),同時(shí)還要注意=|a|,如果分母中含有根號(hào)應(yīng)化簡(jiǎn)后再有理化.(3)注意靈活應(yīng)用分式化簡(jiǎn)的方法和技巧,例如:把分子、分母分解因式,可約分的先約分;利用分式的基本性質(zhì)化繁分式為簡(jiǎn)分式,化異分母為同分母;把適當(dāng)?shù)膸讉€(gè)分式先化簡(jiǎn),各個(gè)擊破;用換元法使分式簡(jiǎn)化.探究三:【解析】由x+x-1=3,兩邊平方得:(x+x-1)2=32,x2+2+x-2=9,x2+x-2=7.【小結(jié)】在指數(shù)冪的求值運(yùn)算中,要運(yùn)用整體的思想去分析,把已知和未知聯(lián)系起來(lái),進(jìn)而求得未知.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:=(a-1=.應(yīng)用二:當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),原式=(a-b)+(a+b)=2a;當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.應(yīng)用三:x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=(x+x-1)(x+x-1)2-2-1=(x+x-1)(x+x-1)2-3=2,令x+x-1=m,則方程變形為m(m2-3)=2,則有m3-3m-2=m3+1-3(m+1)=(m+1)(m2-m+1)-3(m+1)=(m+1)(m2-m-2)=(m+1)2(m-2),則方程變形為(m+1)2(m-2)=0.即得m=-1或m=2.若m=-1,則x+x-1=-1,此時(shí)方程無(wú)解,舍去,若m=2,則x+x-1=2,解得x=1,故x+x-1=2.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.Ba-20,a-40,a2且a4,故選B.2.D()7=n7m-7,(-3)4=34,x3+y3(x+y)3.3.由5=,5=,得5a=2,5b=3.52a-b=.4.解:(1)原式=-9=-9ab0=-9a.(2)原式=.全新視角拓展4f(-4)=()-4=16,f(f(-4)=f(16)=4.