函數(shù)一、高考預(yù)測本部分內(nèi)容的主要考點是：函數(shù)的表示方法、分段函數(shù)、函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、本部分在高考試卷中一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，考查的重點是函數(shù)的性質(zhì)和圖象的應(yīng)用，重在檢測考生對該部分的基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握程度.復(fù)習(xí)該部分以基礎(chǔ)知識為主，注意培養(yǎng)用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖象分析問題和解決問題的能力.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要函數(shù)模型，也是函數(shù)內(nèi)容的主體部分，因此是高考重點考查的對象，在每年的高考試題中都會涉及到對這幾種函數(shù)模型的考查，既有可能在選擇題、填空題中出現(xiàn)，也有可能在解答題中出現(xiàn)，從難度上看，容易題、中檔題、難題均有可能出現(xiàn)，以考查這些函數(shù)的圖象與性質(zhì)為主，同時還經(jīng)常將對這些內(nèi)容的考查與其他知識融合在一起，體現(xiàn)知識點的交匯.二、知識導(dǎo)學(xué)要點1：函數(shù)三要素定義域的求法：當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，求函數(shù)的定義域，就是由函數(shù)的解析式中所有式子都有意義的自變量x組成的不等式(組)的解集；當(dāng)函數(shù)是由具體問題給出時，則不僅要考慮使解析式有意義，還應(yīng)考慮它的實際意義求函數(shù)值域的常用方法 ：觀察法、不等式法、圖象法、換元法、單調(diào)性法等函數(shù)的表示法：函數(shù)的表示法：解析法、圖象法和列表法當(dāng)一個函數(shù)在定義域的不同區(qū)間上具有不同的對應(yīng)關(guān)系時，在不同的定義域區(qū)間上的函數(shù)解析式也不同，就要用分段函數(shù)來表示分段函數(shù)是一個函數(shù)要點2函數(shù)的圖象1.解決該類問題要熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，善于利用函數(shù)的性質(zhì)來作圖，要合理利用圖象的三種變換2.在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關(guān)系、結(jié)合圖象研究要點3函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)的奇偶性：緊扣函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)的定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點對稱、函數(shù)圖象的對稱性等對問題進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，特別注意“奇函數(shù)若在x0處有定義，則一定有f(0)0，偶函數(shù)一定有f(|x|)f(x)”在解題中的應(yīng)用(2)函數(shù)的單調(diào)性：一是緊扣定義；二是充分利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性和函數(shù)圖象的直觀性進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化函數(shù)的單調(diào)性往往與不等式的解、方程的解等問題交匯，要注意這些知識的綜合運用要點4二次函數(shù)1.求二次函數(shù)在某段區(qū)間上的最值時，要利用好數(shù)形結(jié)合， 特別是含參數(shù)的兩種類型：“定軸動區(qū)間，定區(qū)間動軸”的問題，抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指的是對稱軸2注意三個“二次”的相互轉(zhuǎn)化解題3二次方程實根分布問題，抓住四點：“開口方向、判別式、對稱軸位置、區(qū)間端點函數(shù)值正負(fù)”要點5指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較； 底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較(2)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù)，可以引入中間量或結(jié)合圖象進(jìn)行比較2對于含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)問題，在應(yīng)用單調(diào)性時，要注意對底數(shù)進(jìn)行討論，解決對數(shù)問題時，首先要考慮定義域，其次再利用性質(zhì)求解要點6函數(shù)模型的實際應(yīng)用解決函數(shù)模型的實際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，并要注意定義域，然后結(jié)合所給模型，列出函數(shù)關(guān)系式，最后結(jié)合其實際意義作出解答明確下面的基本解題步驟是解題的必要基礎(chǔ)：要點7函數(shù)零點1.函數(shù)零點（方程的根）的確定問題，常見的類型有（1）零點或零點存在區(qū)間的確定；（2）零點個數(shù)的確定；（3）兩函數(shù)圖象交戰(zhàn)的橫坐標(biāo)或有幾個交點的確定；解決這類問題的常用方法有：解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是那些方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解。2函數(shù)零點（方程的根）的應(yīng)用問題，即已知函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，解決該類問題關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解。3.用二分法求函數(shù)零點近似值，用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間a,b，驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度；（2）求區(qū)間(a,b)的中點；（3）計算f();當(dāng)f()=0,則就是函數(shù)的零點；若f(a)·f()<0,則令b=(此時零點)，若f()·f(b)<0,則令a=(此時零點)。(4)判斷是否達(dá)到其精確度，則得零點近似值，否則重復(fù)以上步驟。三、易錯點點睛命題角度1 函數(shù)的定義域和值域 1對定義域Df、Dg的函數(shù)y=f(x)，y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)h(x)= (1)若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2，寫出函數(shù)h(x)的解析式; (2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域考場錯解 (1)f(x)的定義域Df為(-，1)(1，+)，g(x)的定義域Dg為R.h(x)=(2)當(dāng)x1時，h(x)=x-1+24或h(x)= (-，0)(0，+) h(x)的值域為(4，+)，當(dāng)x=1時，h(x)=1綜合，得h(x)的值域為14，+ 專家把脈 以上解答有兩處錯誤：一是當(dāng)xDf但xDg時，應(yīng)是空集而不是x1二是求h(x)的值域時，由x1求h(x)=x-1+2的值域應(yīng)分x>1和x<1兩種情況的討論 對癥下藥 (1)f(x)的定義域Df=(-，1)(1，+)·g(x)的定義域是Dg=(-，+)所以，h(x)=(2)當(dāng)x1時，h(x)= =x-1+2 若x>1，則x-1>0，h(x)2+2=4 當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立 若x1，則x-1<0h(x)=-(x-1)- +2-2+2=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立當(dāng)x=1時，h(x)=1綜上得h(x)的值域為(-，0)1 對癥下藥 (1)由2-0，得0，x<-1或x1即A=(-，-1)1，+(2)由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)<0，當(dāng)a=1時，B= Ø，定義域為非空集合，a1當(dāng) a<1時，a+1>2a，B=(2a，a+1)，BA，2a1或a+1-1，即a或a-2而a<1，a1或a-2，故當(dāng)BA時，實數(shù)a的取值范圍是(-，-2)，1 3記函數(shù)f(x)=lg(2x-3)的定義域為集合M，函數(shù)g(x)=的定義域為集合N求集合M，N； 集合MNMN. 考場錯解 (1)由2x-30解得xM=x|x由1-0 得x-1x-3-1-3N= Ø (2)MN=ØMN=x|x> 專家把脈 求集合N時解不等式1-0兩邊同乘以(x-1)不等號不改變方向，不符合不等式性質(zhì)，應(yīng)先移項化為0的形式再轉(zhuǎn)化為有理不等式，求解，另外定義域不可能為非空集合N=Ø顯然是錯誤的對癥下藥 (1)由2x-30，得xM=x|x由1-0得 x3或x<1N=x|x3或x<1(2)MN=x|x>x|x3或x>1=x|x3MN=x|x>x|x3或x>1=x|x>或x<1 4若集合M=y|y=2-x，P=y|y=，則MP等于 ( ) Ay|y1 By|y1 C.y|y>0 Dy|y0 考場錯解 選A或B 專家把脈錯誤地認(rèn)為是求函數(shù)y=2-x和y=的定義域的交集實際上是求兩函數(shù)的值域的交集對癥下藥 集合中的代表元素為y，兩集合表示兩函數(shù)的值域，又M=y|y=2-x=y|y>0，P=y|y=y|y0MP=y|y0，故選C專家會診1。對于含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍，必須對字母酌取值情況進(jìn)行討論，特別注意定義域不能為空集。2求函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用命題角度2 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1已知a0，且函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex在-1，1上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍考場錯解 f(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=exx2+2(1-a)x-2a 又f(x)在-1，1上是單調(diào)函數(shù)，f(x)0在-1，1上恒成立.即 exx2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立 ex>0，g(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立即或=4(1-a)2+8a0或 解得：aØ故f(x)在-1，1上不可能為單調(diào)函數(shù) 專家把脈 上面解答認(rèn)為f(x)為單調(diào)函數(shù),f(x)就只能為單調(diào)增函數(shù)，其實f(x)還有可能為單調(diào)減函數(shù)，因此應(yīng)令f(x)0或f(x)0在-1，1上恒成立對癥下藥 f(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=exx2+2(1-a)x-2a f(x)在-1，1上是單調(diào)函數(shù)(1)若f(x)在-1，1上是單調(diào)遞增函數(shù)則f(x)0在-1，1上恒成立，即exx2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立ex>0g(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立，則有或=4(1-a)2+8a0或 解得，aØ問的條件當(dāng)成第(2)問的條件，因而除了上述證明外，還需證明x0<-1時，方程也沒有負(fù)根對癥下藥 （1）設(shè)-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=ax2+=ax2-ax1+=ax1(ax2-x1-1)+=ax1(ax2-x1)+.x2-x1>0，又a>1，ax2-x1>1而-1<x1<x2.x1+1>0，x2+1>0 f(x2)-f(x1)0f(x)在(-1，+)上為增函數(shù) (2)設(shè)x0為方程f(x)=0的負(fù)數(shù)根，則有ax0+=0即ax0=-1+顯然x0-1， 當(dāng)0x0-1時，1x0+10，3，-1+>2而<axO<1這是不可能的，即不存在0x0>-1的解當(dāng)x0<-1時x0+10<0，-1+-1，而ax0>0矛盾即不存在x0<-1的解3若函數(shù)f(x)=l0ga(x3-ax)(a0且a1)在區(qū)間(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 ( ) A.，1 B.，1 C.，+ D.(1，-) 考場錯解 A當(dāng)a(0，1)時，要使f(x)=loga(x3-ax)在區(qū)間(-，0)上單調(diào)遞增x3-ax0在(-，0)上恒成立，(-)3+a0 a.綜合得a，1.當(dāng)a>1時，x3-ax>0在(-,0)上不可能成立 專家把脈 上面解答根本沒有按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行判斷，而只是考慮函數(shù)的定義域，這樣的答案肯定是錯誤的 對癥下藥 設(shè)(x)=x3-ax 當(dāng)0a1時，依題意,(x)在(-，0)上單調(diào)遞減且(x)在(-，0)上大于0 (x)=3x2-a.即(x)0在(-，0)上恒成立a3x2在(-，0)上恒成立 x(-，0)3x2(0，). a此時(x)>0a<1 當(dāng)a>1時，(x)在(-，0)上單調(diào)遞增， (x)=3x2-a0在(-，0)上恒成立 a3x2在(-，0)上恒成立 又3x2(0，)·a0與a1矛盾 a的取值范圍是，1.故選B. 專家會診 1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此討論函數(shù)的單調(diào)性必須求函數(shù)定義域 2函數(shù)的單調(diào)性是對區(qū)間而言的，如果f(x)在區(qū)間(a，b)與(c，d)上都是增(減)函數(shù)，不能說 f(x)在(a，b)(c，d)上一定是增(減)函數(shù) 3設(shè)函數(shù)y=f(u)，u=g(x)都是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在其定義域上也是單調(diào)函數(shù)若y=f(u)與u=g(x)的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是增函數(shù)；若y=f(u)，u=g(x)的單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是減函數(shù)列出下表以助記憶y=f(u)u=g(x)y=fg(x)上述規(guī)律可概括為“同性則增，異性則減”命題角度3 函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用1定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當(dāng)x3，4時,f(x)=x-2則 ( ) Af(sin)f(cos) Bf(sin)f(cos) Cf(sin1)f(cos1) D.f(sin)f(cos) 考場錯解 A 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個周期設(shè)x-1，0知x+43，4 f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2f(x)在-1，0上是增函數(shù) 又f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(-x) x0，1時,f(x)=x+2，即f(x)在0，1上也是增函數(shù)又sincos f(sin)f(cos) 專家把脈 上面解答錯在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2這一步上，導(dǎo)致錯誤的原因主要是對偶函數(shù)圖像不熟悉 對癥下藥 C 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個周期，設(shè)x-1，0，知x+43，4 f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2 f(x)在-1，0上是增函數(shù) 又f(x)為偶函數(shù)，f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱 f(x)在0，1上是減函數(shù) A：sin<cosf(sin)>f(cos) B：sincosf(sin)f(cos) C：sin1>cos1f(sin1)<f(cos1)故正確答案C 2(典型例題)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-，0)上是減函數(shù)，且f(2)=0，則使得f(x)0的x的取值范圍是 ( ) A(-，2) B(2，+) C(-，-2)(2，+) D(-2，2) 考場錯解 C f(-x)=f(x)0=f(2)x2或x<-2 專家把脈 以上解答沒有注意到偶函數(shù)在對稱區(qū)間的單調(diào)性相反錯誤地認(rèn)為f(x)在0，+上仍是減函數(shù)，導(dǎo)致答案選錯對癥下藥 D f(x)是偶函數(shù)，f(-x)=f(x)=f(|x|)f(x)<0f(|x|)f(2)又f(x)在(-，0)上是減函數(shù)，f(x)在0，+上是增函數(shù)，|x|2-2<x<2選D 3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱，則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_考場錯解 填-f(0)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)又f(x)的圖像關(guān)于x=對稱f(x)=f(1-x) f(-x)+f(-x+1)=0 f(x)+f(x-1)=0 f(5)+f(4)=0f(3)+f(2)=0f(1)+f(0)=0f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0) 專家把脈 上面解答忽視了奇函數(shù)性質(zhì)的運用即f(x)在x=0處有定義f(0)=0對癥下藥 填0 依題意f(-x)=-f(x)f(x)=f(1-x)f(-x)=-f(1-x) 即f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 f(5)+f(4)=0，f(3)+f(2)=0f(1)+f(0)=0又f(x)在x=0處有定義，f(0)=0f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O. 4設(shè)函數(shù)f(x)在(-，+)上滿足f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f(3)=0(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性； (2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2020，2020上根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論 考場錯解 依題意f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)f(4-x)=f(14-x)，f(x)=f(x+10)f(x)是以 10為周期的函數(shù),f(3)=0f(-3)=f(7)=0f(3)=f(-3)=-f(3)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (2)由(1)知f(x)是周期為10的周期函數(shù)，又f(3)=f(1)=0，f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0 故f(x)在0，10上有兩個解，從而可知函數(shù)y=f(x)在0，2020上有401個解-2020，0上有401個解，所以函數(shù)丁y=f(x)在-2020，2020上有802個解 專家把脈 (1)對題意理解錯誤，題設(shè)中“在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f(3)=0”說明除了f(1)、f(3)等于 0外再不可能有f(7)=0(2)因f(x)在R上既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)不能認(rèn)為x0，10，-10，0上各有兩個解，則認(rèn)為在0，2020與在-2020，0上解的個數(shù)相同是錯誤的，并且f(x)=0在0，2020上解的個數(shù)不是401個，而是402個 Aa(-，1) Ba2，+ Ca1，2 Da(-，1)2，+ 考場錯解 選A或B a(-，1f(x)在區(qū)間1，2上是增函數(shù)f(x)存在反函數(shù)當(dāng)a2，+)對稱軸x=a在區(qū)間1，2的右側(cè)，f(x)在 1，2上是減函數(shù)f(x)存在反函數(shù) 專家把脈 上面解答只能說明A或B是f(x)存在反函數(shù)的充分條件，并不是充要條件 對癥下藥 一個函數(shù)在某區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是此函數(shù)在這個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)對稱軸x=a不應(yīng)在(1，2)內(nèi)，a1或a2故選C. 2 y=(1x2)的反函數(shù)是 ( ) A.y=1+(-1x1) B.y=1+ (0x1) C.y=1- (-1x1) D.y=1- (0x1) 考場錯解 C y2=2x-x2(x-1)2=1-y2x-1=-，x=1-x、y對換得y=1- 又1-x20-1x1因而f(x)的反函數(shù)為y=1-(-1x1) 專家把脈 上面解答有兩處錯誤(一)1x2,x-10由(x-1)2=1-y2開方取“正號”而不是取“負(fù)號”；(二)反函數(shù)的定義域應(yīng)通過求原函數(shù)的值域而得到，而不是由反函數(shù)解析式確定對癥下藥 B 由y=(x-1)2=1-y2x1，2x-10，+x-1=1+x、y對換得y=1+ 又y=(1x2)0y1即原函數(shù)值域為0，1所以反函數(shù)為y=1- (0x1).選B. 3 設(shè)f-1(x)是函數(shù)f(x)=(ax-a-x)(a1)的反函數(shù)，則使f-1(x)1成立的x的取值范圍為 ( ) A(，+) B(-，) C(,a) D(a，+) 考場錯解 C y= (ax-a-x)，a2x-2y·ax-1=0ax=y+x=loga(y+)，x、y對換f-1(x)=loga(x+)(xR)又f-1(x)1，loga(x+)1x +a. a-x<x<a選C. 專家把脈 上面解答錯在最后解不等式a-x，這一步，因為x+a-x應(yīng)等價于或ax.錯解中只有前面?zhèn)€不等式組答案顯然錯了.對癥下藥 A 解法1 y=(ax-a-x)a2x-2y·ax-1=0，ax=y+x=loga(y+)f-1(x)=loga(x+)(xR)f-1(x)>1 loga(x+)>1x+>aa-xx+. 解法2：利用原函數(shù)與反函數(shù)的定丈域、值域的關(guān)系原題等價于x>1時，f(x)=(ax-a-x)的值域，f(x)=(ax-a-x)在R上單調(diào)遞增f(x)(a-)=選A. 4. 設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(1，2)對稱，且存在反函數(shù)f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=_ 考場錯解 填0 y=f(x)的圖像關(guān)于點(1，2)對稱，又f(4)=0，f(0)=4，f-1(4)=0 專家把脈 上面解答錯在由圖像過點(4，0)得到圖像過點(4，0)上，因為f(x)圖像關(guān)于點(1，2)對稱不是關(guān)于y=x對稱，因此應(yīng)找出圖像過點(-2，4)是關(guān)鍵 對癥下藥 填-2 解法1 f(4)=0，f(x)的圖像過點(4，0)又f(x)的圖像關(guān)于點(1，2)對稱，f(x)的圖像過點 (2-4，4-0)即(-2，4)f(-2)=4f-1(4)=-2解法2 設(shè)y=f(x)上任一點P(x、y)關(guān)于點(1，2)對稱的點為P(2-x，4-y)依題意4-y=f(2-x)，4-f(x)=f(2-x) f(x)+f(2-x)=4令x=4f(4) +f(-2)=4.又f(4)=0，f(-2)=4f-1(4)=-2專家會診 1.求反函數(shù)時必須注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y)，如求出的x不唯一，要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍，只能取一個；(2)要求反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域 2分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合成 3若點(a，b)在原函數(shù)y=f(x)的圖像上，則(b，a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖像上 解法2：依定義f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,f(x)=-3x2+2x+t，若f(x)在(-1，1)上是增函數(shù)，則在(-1，1)上恒有 f(x)0，f(x)的圖像是開口向下的拋物線 當(dāng)且僅當(dāng)t5時，f(x)在(-1，1)上滿足f(x)>0即f(x)在(-1，1)上是增函數(shù)故t的取值范圍是5，+ 2已知函數(shù)f(x)=ax-x2的最大值不大于，又當(dāng)x時，f(x). (1)求a的值; (2)設(shè)0<a1，an+1=f(an)，n N*，證明：an. 考場錯解 第(1)問，f(x)=ax-x2=-(x-a)2+ ，即a21-1a1 又當(dāng)x時,f(x)，即f(x) 在上恒成立f(x)在上的最小值為f() f()即. 綜合，知a1 專家把脈 上面解答錯在f(x)在的最小值的計算上，由得-1a1(-,)，對稱軸x=離端點較遠(yuǎn)，因此,f(x)的最小值應(yīng)是f().而不是f(). 對癥下藥 (1)由于f(x)=ax-x2=-(x-)2+f(x)的最大值為.,即a21-1a1又x時，f(x)，即f(x)在上恒成立f(x)min.由得-1a1-a.f(x)在上的最小值為f()=-.-解得a1 由,得a=1.(2)(i)當(dāng)n=1時,0a1<，不等式0<an<成立.因f(x)>0，x(0，)，所以0<a2=f(a1).故n=2時，不等式也成立.()假設(shè)n=k(k2)時，不等式0ak成立，因為f(x)=x-x2的對稱軸x=知f(x)在0，上為增函數(shù)，所以0<ak<得0<f(ak)<f()于是有0<ak+1<-·.所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立. 根據(jù)()()可知，對任何nN*，不等式an成立. 3已知函數(shù)f(x)的二項式系數(shù)為a，且不等式f(x)>-2x的解集為(1，3) (1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍 考場錯解 (1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)+2x=ax2+(b+2)x+c>0的解集為(1，3)，1、3是方程ax2+(b+2)x+c=0的兩根，f(x)=ax2-(2+4a)x+3a 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 方程有兩個相等的根，=-(2+4a)2-4a·9a=0即 5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-.f(x)的解析式為f(x)=x2-6x+9或f(x)=- x2-x-.(2)由f(x)=ax2-(2+4a)x+3a=a(x-)2-可得f(x)的最大值為- 令->0a(a+2+)(a+2-)<0解得0<-2-或-2+<a<0 故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是(-，-2-)(-2+，0) 專家把脈 上面解答由f(x)+2x0的解集為(1，3)忽視了隱含條件a0所以(1)應(yīng)舍去a=1另外第(2)問若沒有a0這個條件，也不能說f(x)的最大值是-，從而很不容易求得a的范圍對癥下藥 (1)f(x)+2x0的解集為(1，3),f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 因為方程有兩個相等的根，=-(2+4a)2-4a·9a=0即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-. 由于a0，舍去a=1將a=-代入得f(x)的解析式為f(x)=- x2-x-. (2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a0，可得f(x)的最大值為-.由， 解得a-2-或-2+a<0 專家會診利用二次函數(shù)圖像可以求解一元二次不等式和討論一元二次方程的實根分布情況，還可以討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值對于根的分布問題，一般需從三個方面考慮：判別式；區(qū)間端點函數(shù)值的正負(fù)；對稱軸x=-與區(qū)間端點的關(guān)系另外，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要抓住頂點的橫坐標(biāo)與閉區(qū)間的相對位置確定二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.命題角度6 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 1函數(shù)y=elnx-|x-1|的圖像大致是 ( ) 考場錯解 選A或B或C 專家把脈 選A，主要是化簡函數(shù)y=elnx-|x-1|不注意分x1和x<1兩種情況討論，選B，主要是化簡時錯誤地認(rèn)為當(dāng)，x<1時，elnx-|x-1|=-.選C，主要時當(dāng)x1時化簡錯誤對癥下藥 D f(x)=elnx-|x-1|=作出其圖像即可 2(典型例題)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數(shù)中，當(dāng)0<x1<x2<1，使f>恒成立的函數(shù)的個數(shù)是 ( ) A.0 B1 C2 D3 考場錯解 C 專家把脈 對四個函數(shù)圖像不熟悉導(dǎo)致錯誤由題設(shè)條件知F(x)在(0，1)上是凸函數(shù)，認(rèn)為y=log2x和y=cos2x在(0，1)上是凸函數(shù)其實y=cos2x在(0，)是凸函數(shù)，在(，1)是凹函數(shù).對癥下藥 B 根據(jù)條件，當(dāng)0<x1<x2<1，使f>恒成立知f(x)在(0，1)上是凸函數(shù)，因此只有y=log2x適合y=2x和y=x2在(0，1)上是函數(shù)y=cos2x在(0，)是凸函數(shù)，但在(，1)是凹函數(shù)，故選B 3若函數(shù)f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a1)在區(qū)間(0, )內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 A.(-，-) B(-，+) C(0，+) D(-，-) 考場錯解 選A或C 專家把脈 選A，求f(x)的單調(diào)區(qū)間時沒有考慮函數(shù)定義域?qū)е洛e誤；選C，求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時沒有注意內(nèi)、外層函數(shù)均遞減時，原函數(shù)才是增函數(shù)事實上 (0，+)是f(x)的遞減區(qū)間對癥下藥 D f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a1)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒有f(x)>0，若a>1，則由f(x)>0 x>或x<-1與題設(shè)矛盾.0<a<1設(shè)(x)= 2x2+x=2(x+)2-.(x)>0x>0或x<- .f(x)在(-，-)內(nèi)是增函數(shù) 4已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a>0) (1)求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)及f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x) (2)假設(shè)對任意xln(3a)，ln(4a)不等式m-f-1(x)lnf(x)<0成立求實數(shù)m的取值范圍 考場錯解 (1)由y=f(x)=ln(ex+a)得x=ln(ey-a)f-1(x)=ln(ex-a)(x>lna)，f(x)=ln(ex+a)= (2)由m-f-1(x)+lnf(x)<0得-ln+ln(ex-a)<m<ln(ex-a)+ln在(ln(3a)，ln(4a)上恒成立設(shè)h(x)=ln(ex-a)+ln. S(x)=-ln+ln（ex-a)即mh(x)mni.且mS(x)max S(x)，h(x)=ln(ex-a)+ln(1+)在ln(3a)，ln(4a)上是增函數(shù)h(x)min=ln(2a)+ln=ln(a) S(x)max=ln(3a)-ln=ln(a) ln(a)<m<ln(a) 專家把脈 錯在第(2)問h(x),S(x)在(ln(3a)，ln(4a)上是增函數(shù)沒有根據(jù)應(yīng)用定義法或?qū)?shù)法判定后才能用這一結(jié)論 對癥下藥 (1)由y=f(x)=ln(ex+a)得x=ln(ey-a)y=f-1(x)=ln(ex-a)(x>lna)，f(x)= . 由(x)=+1,-1注意到0<ex-a<ex<ex+a，故有(x)>0，r(x)>0，從而可知 (x)與r(x)均在ln(3a)，h(4a)上單調(diào)遞增，因此不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)(ln(4a)<m<r(ln(3a)，即ln(a)m<ln(a)專家會診論由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，首先要弄清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，然后轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性加以解決，注意不可忽視定義域，忽視指數(shù)和對數(shù)的底數(shù)對它們的圖像和性質(zhì)起的作用.命題角度 7 函數(shù)的應(yīng)用 1某公司在甲，乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1=506x-015x2，和L2=2x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為 ( ) A45606 B456 C468 D46806考場錯解 D 設(shè)甲地銷售x軸，則乙地銷售15-x輛總利潤L=L1+L2=5.06x-015x2+2(15-x)=-015x2+306x+30=-O15(x-)2+46.806 當(dāng)x=時，獲得最大利潤46806萬元故選D. 專家把脈 上面解答中x=不為整數(shù)，在實際問題中是不可能的，因此x應(yīng)根據(jù)拋物線取與x=接近的整數(shù)才符合題意 對癥下藥 B 設(shè)甲地銷售x輛則乙地銷售(15-x)輛，則總利潤L=L1+L2=506x-015x2+2(15-x)=-015x2+306x+30=-015(x-102)2+46806 根據(jù)二次函數(shù)圖像和xN*，當(dāng)x=10時，獲得最大利潤L=-015×102+306×10+30=456萬元選B 2甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x=2000，若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格) 對癥下藥 (1)解法1 因為賠付價格為S元噸，所以乙方的實際年利潤為：W=2000-St W=2000-St=S(-)S=()2當(dāng)且僅當(dāng)=-即t=()2時，W取得最大值 乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t=()2噸 解法2 因為賠付價格為S元噸，所以乙方的實際年利潤為W=2000-St W=2000-St=-S(-)2+ 當(dāng)t=()2時，w取得最大值 乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t=()2 (噸)解法3 因為賠付價格為S元噸，所以乙方的實際年利潤為：w=2000-St由w=-S=,令w=0得t=t0=()2當(dāng)t<t0時，w>0；當(dāng)t>t0時，w<0所以t=t0時w取得最大值因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t0=()2噸設(shè)甲方凈收入為v元，則v=St-0002t2 將t=()2代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格S之間的函數(shù)關(guān)系式v=-.又v=-令v=0得S=20，當(dāng)S<20時，v>0；當(dāng)S>20時，v<0，S=20時，v取得最大值因此甲方向乙方要求賠付價格S=20(元噸)時，獲得最大凈收入 3某段城鐵線路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km在列車運行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達(dá)B站并停車1分鐘，8時12分到達(dá)C站，在實際運行時，假設(shè)列車從A站正點發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度vkmh，勻速行駛，列車從A站到達(dá)某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差 (1)分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差； (2)若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求v的取值范圍 考場錯解 (1)列車在B、C兩站的運行誤差(單位：分鐘)分別是|-7|和|-11|(2)由于列車在B、C兩站的誤差之和不超過2分鐘，所以|-7|+|-11|2(*)當(dāng)0<v時，(*)式變形為-y+-112 解得v當(dāng)<v時，(*)式變形為7-+-112，解得<v.當(dāng)v時，(*)式變形為7-+11-2 解得v綜上所述，v的取值范圍,專家把脈 上述解答錯在單位不統(tǒng)一，應(yīng)將速度v(kmh)化為v(60km分)由于一開始出現(xiàn)錯誤，導(dǎo)致后面結(jié)果全是錯誤的 對癥下藥 (1)列車在B、C兩站的運行誤差(單位：分鐘)分別是-7和-11(2)由于列車在B、C兩站的誤差之和不超過2分鐘，|-7|+|-11|2(*)當(dāng)0<v時，(*)式變形為-7+-112，解得39v.當(dāng)v，(*)式變形為7-+-112，解得<v當(dāng)v>時，(*)式變形為7-+11-2，解得<v，綜上所述，v的取值范圍是39, 4某人在一山坡P處觀看對面山崖頂上的一座鐵塔如圖所示，塔及所在的山崖可視為圖中的豎直線OC，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為，tan=試問，此人距山崖的水平距離多遠(yuǎn)時，觀看塔的視角BPC最大(不計此人的身高)?考場錯解 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(200，0)，B(0，220)，C(0，300)直線l的方程為y=(x-200)tan，即y=設(shè)此人距山崖的水平距離為x，則P(x，)(x200)，由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式kPC=kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得：tan BPC=設(shè)u=ux2-(288u-64)x+160×640u=0 u0xR.=(288u-64)2-4×160×640u20. 解得 u2 當(dāng)u=2時，x=320即此人距山崖320米時，觀看鐵塔的視角BPC最大 專家把脈 上述解答過程中利用xR由判別式法求u的最大值是錯誤的，因為x200，即由判別式求得u的最大值，還必須檢驗方程的根在(200，+)內(nèi)對癥下藥 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(200，0)，B(0，220)，C(0，300)直線l的方程為y=(x-200)tan，即y=.設(shè)此人距山崖的水平距離為x，則P(x，)(x200)由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式 kPC=,kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得 tanBPC=要使tanBPC達(dá)到最大，只須x+達(dá)到最小由均值不等式x+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時上式取得等號故當(dāng)x=320時tanBPC最大由此實際問題知，0<BPC<，所以tanBPC最大時，BPC最大，故當(dāng)此人距山崖水平距離為320米時，觀看鐵塔的視角BPC最大 5某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為05萬元，但每生產(chǎn)100件需要增加投入025萬元，市場對此產(chǎn)品的需要量為500件，銷售收入為函數(shù)為R(x)=5x-(0x5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百件) (1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x)(2)年產(chǎn)量是多少時，當(dāng)年公司所得利潤最大? (3)年產(chǎn)量是多少時，當(dāng)年公司不虧本?(取=465) 考場錯解 (1)設(shè)年產(chǎn)量為x(百件)，所以f(x)=5x- (05+025x)(2)f(x)=- (x-475)2+ 當(dāng)x=475(百件)時f(x)max=×215625=1078125(萬元) (3)f(x)0， (x-475)2+0，解得01x94 年產(chǎn)量10件到940件之間不虧本專家把脈 上述解答忽視了“市場對產(chǎn)品的需要量為500件”條件，事實上，當(dāng)產(chǎn)品生產(chǎn)量超過500件時，市場銷售最多只能是500件，事實上，因此，這時不能用 R(x)=5x-表示收入，而是R(5) 對癥下藥 (1)設(shè)年產(chǎn)量x(百件)，所以f(x)= (2)當(dāng)0x5時,f(x)=-5x-(05+025x)=-(x-475)2+當(dāng)x=4.75(百件)時，f(x)max=×215625(萬元)當(dāng)x>5時，f(x)=12-025x<12-125<×215625x=475時，f(x)max=×215625 即年產(chǎn)量是475件時，當(dāng)年公司所得利潤最大(3)當(dāng)0x5時，由f(x)0，-(x-4.75)2+001x5()當(dāng)x>5時，12-025x05<x<48 綜合得01x48即生產(chǎn)量在10件到4800件不虧本專家會診與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保、稅收、市場信息等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題，解答這類問題的關(guān)鍵是建立相關(guān)函數(shù)的解析式，然后應(yīng)用函數(shù)知識加以解決.在求得數(shù)學(xué)模型的解后應(yīng)回到實際問題中去，看是否符合實際問題.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1、則的值為 .2、已知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 3、定義函數(shù)，若存在常數(shù)C，對任意的，存在唯一的，使得，則稱函數(shù)在D上的均值為C已知，則函數(shù)上的均值為（ ）ABC D104、若關(guān)于的不等式的解集為非空集，則實數(shù)的取值范圍是_5、已知，規(guī)定：當(dāng)時, ；當(dāng)時, ，則A. 有最小值,最大值1 B. 有最大值1,無最小值C. 有最小值,無最大值 D. 有最大值,無最小值6、下列函數(shù)中，滿足“對任意的，當(dāng)時，總有”的是（ ） A B C D7、已知的展開式中的常數(shù)項為，是以為周期的 偶函數(shù)，且當(dāng)時，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是 8、已知函數(shù)，則的圖象只能是（ ） A. B. C. D. 9、已知函數(shù)是(，)上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當(dāng)x0,2)時，log2(x1)，則的值為（ ）A2 B1 C2 D110、如果直線和函數(shù)的圖像恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是_.11、設(shè)集合函數(shù) 且， 則的取值范圍是 . 12、已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且只有一個實根，則實數(shù)的范圍是（ ）A. B. C. D. 13、若函數(shù)，則函數(shù)在，上的不同零點個數(shù)為A2 B3 C4 D514、定義在（1，1）上的函數(shù)f(x)滿足：；當(dāng)時，有；若，Rf(0)則P，Q ，R的大小關(guān)系為AB C D不能確定15、設(shè)，若，滿足，則的取值范圍是 .16、已知函數(shù)，則當(dāng)時，下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.17、直線與曲線有四個交點，則的取值范圍是 A . B. C. D. 18、若對于定義在上的函數(shù)，其函數(shù)圖象是連續(xù)的，且存在常數(shù)（），使得對任意的實數(shù)x成立，則稱是“同伴函數(shù)”下列關(guān)于“同伴函數(shù)”的敘述中正確的是A“同伴函數(shù)”至少有一個零點 B. 是一個“同伴函數(shù)”C. 是一個“同伴函數(shù)” D. 是唯一一個常值“同伴函數(shù)”