課時作業(yè)(七)一、選擇題1函數(shù)yx21(x0)的反函數(shù)是()Ay(x1)By(x1)Cy(x0) Dy(x0)答案B解析x0，x，且y1，f1(x)(x1)，故選B.2(08·北京卷)“函數(shù)f(x)(xR)存在反函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析存在反函數(shù)的條件是一一對應(yīng)，f(x)是R上的增函數(shù)，則必是一一對應(yīng)，而一一對應(yīng)的函數(shù)未必是增函數(shù)，如f(x).故選B.3(2020·全國卷，文)函數(shù)y1ln(x1)(x1)的反函數(shù)是()Ayex11(x0) Byex11(x0)Cyex11(xR) Dyex11(xR)答案D解析由y1ln (x1)(x1)，得ey1x1，即xey11，故所求反函數(shù)為yex11(xR)4點(p，q)在函數(shù)yf(x)的圖象上，則下列各點中必在其反函數(shù)圖象上的是()A(p，f1(p)B(f1(q)，q)C(f1(p)，p) D(q，f1(q)答案D5(09·上海春季高考)函數(shù)y1(1x0)的反函數(shù)的圖象是()答案C解析由1x0得y11,2，因此函數(shù)y1(1x0)的反函數(shù)的定義域是1,2，值域是1,0，結(jié)合所給選項可知選C.(注：也可先求出該函數(shù)的反函數(shù)，然后結(jié)合選項確定答案)6(2020·江西卷，文)若函數(shù)y的圖象關(guān)于直線yx對稱，則a為()A1 B1C±1 D任意實數(shù)答案B解析若函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱，則f(x)f1(x)，易求得f1(x)，故a1.7函數(shù)y的反函數(shù)()A是奇函數(shù)，它在(0，)上是減函數(shù)B是偶函數(shù)，它在(0，)上是減函數(shù)C是奇函數(shù)，它在(0，)上是增函數(shù)D是偶函數(shù)，它在(0，)上是增函數(shù)答案C解析函數(shù)與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性和奇偶性，因此只須考查函數(shù)y的奇偶性與單調(diào)性，易知此函數(shù)是奇函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)，應(yīng)選C.8已知方程f(x)3x僅有一解x1，方程f1(x)3x僅有一解x2，則x1x2的值為()A2 B3C4 D5答案B解析f(x)與y3x的交點為(x1,3x1)則f1(x)與y3x的交點為(3x1，x1)而由條件知f1(x)與y3x交點為(x2,3x2)，因此x23x1，故x1x23.二、填空題9(09·全國卷改編)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)12lgx(x>0)，求f(1)g(1)_.答案2解析令12lgx1，得x1，f(1)1.又g(1)12lg11，f(1)g(1)2.10設(shè)函數(shù)y4log2(x1)(x3)，則其反函數(shù)的定義域為_答案5，)解析x3，x12，log2(x1)1，y4log2(x1)5.11(08·上海)若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f1(x)x2(x>0)，則f(4)_.答案2解析設(shè)x24，由x>0得x2，由f(x)與f1(x)的關(guān)系知f(4)2.三、解答題12給定實數(shù)a0且a1，設(shè)函數(shù)y(xR且x)，求證：(1)這個函數(shù)的圖象自身關(guān)于直線yx對稱；(2)經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線都不平行于x軸思路點撥(1)只要證明函數(shù)f(x)f1(x)即可；對于(2)設(shè)x1x2，只要證明y1y2就說明經(jīng)過任意兩點的直線都不平行于x軸解析(1)由y，得(ax1)yx1，解得x，y.所以函數(shù)y(x)的反函數(shù)為y(x)故函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱(2)設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是函數(shù)圖象上任意兩個不同點，則x1x2，于是y1y2.因為x1x2，a1，(ax11)(ax21)0，所以y1y2.因此經(jīng)過圖象上任意兩點所在直線不平行于x軸13(2020·上海春季高考)已知函數(shù)f(x)loga(82x)(a>0，且a1)(1)若函數(shù)f(x)反函數(shù)是其本身，求a的值；(2)當a>1時，求函數(shù)yf(x)f(x)的最大值解析(1)函數(shù)f(x)的反函數(shù)f1(x)log2(8ax)，由題意可得loga(82x)log2(8ax)，a2.(2)由題意可知82x>0，解得x<3則yf(x)f(x)的定義域為(3,3)f(x)f(x)loga(82x)loga(82x)loga658(2x2x)2x2x2，當x0時，等號成立0<658(2x2x)49.當a>1時，函數(shù)yf(x)f(x)在x0處取得最大值loga49.