第八章單元能力測試卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1設直線axbyc0的傾斜角為，且sincos0，則a，b滿足()Aab1Bab1Cab0 Dab0答案D2若直線2xyc0按向量a(1，1)平移后與圓x2y25相切，則c的值為()A8或2 B6或4C4或6 D2或8答案A解析直線2xyc0按a(1，1)平移后得到2xyc30，此直線與圓x2y25相切，r，|c3|5，c3±5c8或c2.3點P(2，1)為圓(x1)2y225內(nèi)弦AB的中點，則直線AB的方程是()Axy30 B2xy30Cxy10 D2xy50答案A解析圓心C(1,0)，則直線AB是過P且與CP垂直的直線，因此直線AB的方程為xy30.4設直線l：2xy10，將l繞其上一點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)得一新直線l，如圖，則直線l的傾斜角為()Aarctan3Barctan3CarctanDarctan答案A解析設l的傾斜角為，則tan2，tan()3.直線l的傾斜角為arctan3.5經(jīng)過A(2，1)和直線xy1相切，且圓心在直線y2x上的圓的方程是()A(x1)2(y2)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y2)2D(x1)2(y2)24答案A解析注意到A點在直線xy1上，從而圓心是直線y2x與直線xy1在A處的垂線y1x2的交點，解得圓心為(1，2)再求得半徑為，故選A.6若P(2，1)為圓(02)的某弦的中點，則該弦所在直線的方程是()Axy30 Bx2y0Cxy10 D2xy50答案A解析圓的圓心坐標為(1,0)，于是弦所在直線的斜率為1.7已知點B(，0)，點O為坐標原點且點A在圓(x)2(y)21上，則與的夾角的最大值與最小值分別是()A.，0 B.，C.， D.，答案C解析如右圖所示，過原點O作圓C的兩條切線OA1、OA2，由OC22CA1且CA1OA1，得A1OCA2OC30°.又BOC45°，A1OB45°30°15°，A2OB45°30°75°.故向量與的夾角的最大值為，最小值為.8設數(shù)列an是首項為m，公比為q(q1)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項的和，對任意的nN*，點()A在直線mxqyq0上B在直線qxmym0上C在直線qxmyq0上D不一定在一條直線上答案B解析1qn1，即q·anm·m0，點在直線qxmym0上9已知點M(a，b)在由不等式組確定的平面區(qū)域內(nèi)，則點N(ab，ab)到坐標原點的最大距離為()A2 B2C4 D8答案B解析的最大值為2，|ON|的最大值為2，選B.10函數(shù)yf(x)的圖象是圓心在原點的單位圓在、象限內(nèi)的兩段圓弧，如圖，則不等式f(x)<f(x)2x的解集為()A(1，)(0，)B(1，)(，1)C(，0)(0，)D(，0)(，1)答案D11已知直線xya與圓x2y24交于A、B兩點，且|，其中O為原點，則實數(shù)a的值為()A2 B2C2或2 D.或答案C解析結(jié)合圖形，設C為AB中點，則|2|，|，即2|，當直線xya過(2,0)，(0,2)時或過(0，2)，(2,0)時恰好有2|成立，即|成立此時，實數(shù)a2或a2.12若圓(x3)2(y5)2r2上有且僅有兩個點到直線4x3y20的距離為1，則半徑r的取值范圍是()A(4,6) B4,6)C(4,6 D4,6答案A解析圓心到直線的距離為5，只有4<r<6時，圓上才有兩點到直線的距離為1.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13過點P(1,2)且在坐標軸上截距相等的直線方程為_答案xy30或2xy0解析由題意可知直線的斜率必存在，當直線在坐標軸上的截距都為0時，可得該直線2xy0；當直線在坐標軸上的截距相等且都為a(a0)時，令1.該直線過點P(1,2)，1，故a3.該直線方程為xy30.14已知a(6,2)，b(4，)，直線l過點A(3，1)，且與向量a2b垂直，則直線l的一般方程是_答案2x3y90解析由已知可得a2b(2,3)，則直線l的斜率為，則直線l的方程為2x3y90.15在坐標平面內(nèi)，與點A(1,3)的距離為，且與點B(3,1)的距離為3的直線共有_條答案116已知直線xsinycos10(R)，給出以下四個命題：直線的傾斜角為；不論為何值，直線不過原點；不論如何變化，直線總和定圓相切；當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形面積小于1.其中正確命題的序號是_答案解析R，直線的傾斜角范圍為0，)，錯；O(0,0)不適合xsinycos10，對；O(0,0)到直線xsinycos10的距離d1，該直線和單位圓x2y21相切，對；直線xsinycos10和坐標軸圍成的三角形的面積S·|·|1，錯三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)已知點P(2，1)，求：(1)過P點與原點距離為2的直線方程；(2)過P點與原點距離最大的直線方程，最大距離是多少？(3)是否存在過P點與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，說明理由思路點撥充分運用點到直線的距離公式解析過P點斜率為k的直線方程可設為y1k(x2)即kxy2k10(1)原點到直線的距離為2，故2，解之得k.直線方程為3x4y100.又直線x2距離原點也為2，且過點(2，1)，所以直線方程為3x4y100或x2.(2)原點到直線的距離d，整理得(d24)k24kd210.若d240，則k；若d240，由164(d24)(d21)0，得0d，所以d的最大值為，此時k2，直線方程為2xy50.(3)因為原點到直線x2的距離為2，又由(2)知0d，故過點P且與原點距離為6的直線不存在18(本小題滿分12分)已知直線l：(2m1)x(m1)y7m4，圓C：(x1)2(y2)225.(1)求證：直線l與圓C總相交；(2)求出相交的弦長的最小值及相應的m值分析(1)證直線與圓相交有三法：一、圓心到直線的距離小于圓半徑；二、直線與圓的方程組有兩解；三、直線總過圓內(nèi)的點比較三法，選擇計算量小的(2)圓是確定的，弦長最小，則弦心距最大，可計算，可借已知幾何知識解析(1)將l的方程變形為(2xy7)m(xy4)0，解方程組得即直線l過定點(3,1)(31)2(12)2<25，點(3,1)在圓C內(nèi)，于是直線l與圓C總相交(2)當圓心(1,2)和定點(3,1)的連線l1與l垂直時，弦長最短kl1，kl，2m.此時最短的弦長為24.19(本小題滿分12分)在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線xy4相切(1)求圓O的方程；(2)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內(nèi)的動點P滿足PA，PO，PB成等比數(shù)列，求·的取值范圍解析(1)依題設，圓O的半徑r等于原點O到直線xy4的距離，即r2.得圓O的方程為x2y24.(2)不妨設A(x1,0)，B(x2,0)，x1<x2.由x24即得A(2,0)，B(2,0)設P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，得·x2y2，即x2y22.·(2x，y)·(2x，y)x24y22(y21)由于點P在圓O內(nèi)，故由此得y2<1.所以·的取值范圍為2,0)20(本小題滿分12分)電視臺為某個廣告公司特約播放兩套片集其中片集甲每集播映時間為20 min，插播廣告時間為1 min，電視觀眾為60萬，片集乙每集播映時間為10 min，插播廣告時間為1 min，收視觀眾為20萬廣告公司規(guī)定每周至少有6 min廣告，而電視臺每周只能為該公司提供不多于86 min的節(jié)目時間電視臺每周應播映兩套片集各多少，才能獲得最高的收視率？解析設片集甲播映x集，片集乙播映y集，于是就可將問題中的文字語言轉(zhuǎn)換為下列不等式組其中x0，y0，xN，yN.要使收視率最高，則只要z60x20y最大即可接下來，將上面的不等式組轉(zhuǎn)化為圖形，由圖可知，當x2，y4時，z60x20y取得最大值200萬故電視臺每周片集甲和片集乙分別播映2集和4集，其收視率最高21(本小題滿分12分)已知P是直線3x4y80上的動點，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值？解析解法一如圖，點P在直線3x4y80上，可設P(x，2x)，C點坐標(1,1)，S四邊形PACB2SPAC2××|AP|×|AC|AP|×|AC|AP|.|AP|2|PC|2|AC|2|PC|21.當|PC|最小時，|AP|最小，四邊形PACB的面積最小|PC|2(1x)2(12x)2x2x10(x1)29，|PC|min3，四邊形PACB面積的最小值為2.解法二由解法一可知，需求|PC|的最小值，即求C到直線3x4y80的距離C(1,1)，|PC|3，S四邊形PACB2.22(本小題滿分12分)已知定點A(0,1)、B(0，1)、C(1,0)，動點P滿足·k|2.(1)求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；(2)當k2時，求|2|的最大值和最小值解析(1)設動點的坐標為P(x，y)，則(x，y1)，(x，y1)，(x1，y)·k|2，x2y21k(x1)2y2，(1k)x2(1k)y22kxk10.若k1，則方程為x1，表示過點(1,0)平行于y軸的直線若k1，則方程化為(x)2y2()2，表示以(，0)為圓心，以為半徑的圓(2)當k2時，方程化為(x2)2y21.22(x，y1)(x，y1)(3x,3y1)，|2|.又x2y24x3，|2|.(x2)2y21，令x2cos，ysin.36x6y2636cos6sin466cos()466cos()46466，466，|2|的最大值為3，最小值為3.