第九章單元能力測(cè)試卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1若曲線1的一條準(zhǔn)線方程為x10，則m的值為()A8或86B6或56C5或56 D6或86答案D解析由準(zhǔn)線是x10及方程形式知曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以a2m4，b29，則c，于是10，解得m6或86.m4>9，m>5，均符合題意2已知橢圓1(a>b>0)的面積為Sab，現(xiàn)有一個(gè)橢圓，其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的差為2，則該橢圓的面積為()A15 B.C3 D.答案D解析由題意得則得到所以Sab×.3過(guò)拋物線yx2準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，若切點(diǎn)分別為M，N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)()A(0,1) B(1,0)C(0，1) D(1,0)答案A解析特殊值法，取準(zhǔn)線上一點(diǎn)(0，1)設(shè)M(x1，x12)，N(x2，x22)，則過(guò)M、N的切線方程分別為yx12x1(xx1)，yx22x2(xx2)將(0，1)代入得x12x224，MN的方程為y1，恒過(guò)(0,1)點(diǎn)4設(shè)雙曲線16x29y2144的右焦點(diǎn)為F2，M是雙曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(9,2)，則|MA|MF2|的最小值為()A9 B.C. D.答案B解析雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1，離心率為，運(yùn)用第二定義，將|MF2|轉(zhuǎn)化為M到右準(zhǔn)線的距離5拋物線yax2(a0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(0，) B(0，)C(0，) D(0，)答案C解析因?yàn)閍0，所以方程可化為x2y，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)故選C.6設(shè)F1、F2分別是雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)若點(diǎn)P在雙曲線上，且·0，則|等于()A. B2C. D2答案B解析F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，2c2，2a2.·0，|2|2|F1F2|24c240()2|2|22·40，|2.7已知橢圓1(a>b>0)與雙曲線1(m>0，n>0)有相同的焦點(diǎn)(c,0)和(c,0)若c是a與m的等比中項(xiàng)，n2是m2與c2的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率等于()A. B.C. D.答案B解析c2am,2n2c2m2，又n2c2m2，m2c2，即mc.c2ac，則e.8設(shè)雙曲線以橢圓1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為()A±2 B±C± D±答案C解析橢圓1中，a5，c4.設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)所以c5，4.所以a220，b2c2a25.所以雙曲線方程為1.所以其漸近線方程為y±x±x，所以其斜率為±.解決此題關(guān)鍵是分清橢圓與雙曲線中的a，b，c關(guān)系，這也是極易混淆之處9已知橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，M是橢圓上一點(diǎn)，且|MF1|MF2|1，則MF1F2是()A銳角三角形 B鈍角三角形C直角三角形 D等邊三角形答案C解析由1知a2，b，c1，e.則|MF1|MF2|4，又|MF1|MF2|1.|MF1|，|MF2|，又|F1F2|2.|MF1|>|F1F2|>|MF2|，cosMF2F10，MF2F190°.即MF1F2是直角三角形10已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，OAF的面積為(O為原點(diǎn))，則兩條漸近線的夾角為()A30° B45°C60° D90°答案D解析由yx和x得A(，)，S··cab，又Sa2，ab，其夾角為90°.11. 已知兩點(diǎn)M(3,0)，N(3,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且|·|·0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(3,0)的距離的最小值為()A2 B3C4 D6答案B解析因?yàn)镸(3,0)，N(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，(x3，y)由|·|·0得66(x3)0，化簡(jiǎn)整理得y212x，所以點(diǎn)A是拋物線y212x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)P到A的距離的最小值就是原點(diǎn)到A(3,0)的距離，所以d3.12如圖，過(guò)拋物線x24py(p>0)焦點(diǎn)的直線依次交拋物線與圓x2(yp)2p2于點(diǎn)A、B、C、D，則·的值是()A8p2B4p2C2p2 Dp2答案D解析|AF|pyA，|DF|pyD，|·|yAyDp2.因?yàn)?，的方向相同，所?#183;|·|yAyDp2.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為_(kāi)答案1解析令A(yù)B2，則AC2，橢圓中c1,2a22a1，可得e1.命題思路本題考查橢圓概念和基本量的關(guān)系14若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1上有一點(diǎn)，使它與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線互相垂直，則b的取值范圍是_答案b且b0解析設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)以F1F2為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，在橢圓上必存在點(diǎn)滿足它與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線互相垂直，此時(shí)條件滿足cb，從而得c2b2a2b2b2b2a2，解得b且b0.15設(shè)雙曲線x2y21的兩條漸近線與直線x圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為E，P(x，y)為該區(qū)域的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)zx2y的最小值為_(kāi)答案16以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若|k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若()，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；方程2x25x20的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線1與橢圓y21有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為_(kāi)(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))答案解析錯(cuò)誤，當(dāng)k>0且k<|AB|，表示以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支；當(dāng)k>0且k|AB|時(shí)表示一條射線；當(dāng)k>0且k>|AB|時(shí)，不表示任何圖形；當(dāng)k<0時(shí)，類(lèi)似同上錯(cuò)誤P是AB中點(diǎn)，且P到圓心與A的距離平方和為定值故P的軌跡應(yīng)為圓正確，很易驗(yàn)證多選題的特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)分散，涉及面廣，且只有每一個(gè)小題都做對(duì)時(shí)才得分故為易錯(cuò)題，要求平時(shí)掌握知識(shí)點(diǎn)一定要準(zhǔn)確，運(yùn)算要細(xì)致三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分10分)設(shè)拋物線y22px(p0)被直線y2x4截得的弦AB長(zhǎng)為3.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線AB上有一點(diǎn)Q，使得A、Q、B到拋物線的準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，求Q點(diǎn)坐標(biāo)解析(1)將y2x4代入y22px得(2x4)22px，即2x2(8p)x80.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x24.所以|AB|3.所以p2.所以拋物線的方程為y24x.(2)當(dāng)x>1時(shí)，設(shè)Q(x，y)，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x1.所以由題意得2(x1)(x11)(x21)即x，所以y2x41.即Q點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)當(dāng)x<1時(shí)，2(x1)(x11)(x22)x2，y13Q(13)綜上，Q為(，1)或(，13)18(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F1(0，)和F2(0，)為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量.求：(1)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)|的最小值解析(1)橢圓方程可寫(xiě)為1，式中a>b>0，且得a24，b21，曲線C的方程為x21(x>0，y>0)y2(0<x<1)，y.設(shè)P(x0，y0)，因P在C上，有0<x0<1，y02，y|xx0，得切線AB的方程為y(xx0)y0.設(shè)A(x,0)和B(0，y)，由切線方程得x，y.由得M的坐標(biāo)為(x，y)，由x0，y0滿足C的方程，得點(diǎn)M的軌跡方程為1(x>1，y>2)(2)|2x2y2，y24，|2x215459，且當(dāng)x21，即x>1時(shí)，上式取等號(hào)故|的最小值為3.19(本小題滿分12分)已知點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)M在直線x1上移動(dòng)，且·0，動(dòng)點(diǎn)C滿足3.(1)求C點(diǎn)的軌跡D的方程；(2)設(shè)直線l：yk(x1)與曲線D有兩個(gè)不同的交點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P(0,1)，當(dāng)EPF為銳角時(shí)，求k的取值范圍解析(1)設(shè)M(1，y0)，C(x，y)，B(b,0)3，b，0.又·0，(2，y0)，(b1，y0)，2(b1)y020.由得y2(1x)，這就是C點(diǎn)的軌跡D的方程(2)l：yk(x1)代入y2(1x)得3k2x2(16k2)x3k210，解得x11，x2，則y10，y2.設(shè)E(1,0)，則F(，)，(1，1)，(，1)當(dāng)EPF為銳角時(shí)，·(1)>0，解得k<或k>.當(dāng)時(shí)，有k1，應(yīng)舍去故k的取值范圍為(，1)(1，)(，)20(本小題滿分12分)如右圖所示，等腰三角形ABC的底邊BC的兩端點(diǎn)是橢圓E：1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)D在橢圓E上(1)若ABC60°，|AB|4，試求橢圓E的方程；(2)設(shè)橢圓離心率為e，求cosABC.解析(1)因?yàn)锳BC60°，且ABC為等腰三角形，所以ABC是正三角形又因?yàn)辄c(diǎn)B，C是橢圓的兩焦點(diǎn)，設(shè)橢圓焦距為2c，則2c|BC|AB|4，如右圖所示，連結(jié)CD，由AB中點(diǎn)D在橢圓上，得2a|BD|CD|AB|AB|22，所以a1，從而a242，b2a2c22，故所求橢圓E的方程為1.(2)設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距分別為a，b，c，且|AD|DB|m，連結(jié)CD，則|BO|OC|c，|DC|2am，在RtAOB中，cosABC.在BCD中，由余弦定理，得cosABC.由式得2m，代入式得cosABC.21(本小題滿分12分)如右圖所示，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)是雙曲線C的兩焦點(diǎn)，直線x是雙曲線C的右準(zhǔn)線，A1，A2是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于A2的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線A1P，A2P交雙曲線C的右準(zhǔn)線分別于M，N兩點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程；(2)求證：·是定值解析(1)由已知，c3，所以a2，b2c2a25.所以所求雙曲線C的方程為1.(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，M，N的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，因?yàn)锳1(2,0)，A2(2,0)，所以(x02，y0)，(x02，y0)，A1M(，y1)，(，y2)因?yàn)榕cA1M共線，所以(x02)y1y0，所以y1.同理，y2.因?yàn)?，y1)，(，y2)所以·y1y210.22(本小題滿分12分)已知橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(c,0)和F2(c,0)(c>0)，過(guò)點(diǎn)E(，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|.()求橢圓的離心率；()求直線AB的斜率；()設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線F2B上有一點(diǎn)H(m，n)(m0)在AF1C的外接圓上，求的值解析()由F1AF2B且|F1A|2|F2B|，得，從而.整理，得a23c2.故離心率e.()由()，得b2a2c22c2.所以橢圓的方程可寫(xiě)為2x23y26c2.設(shè)直線AB的方程為yk(x)，即yk(x3c)由已知設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得(23k2)x218k2cx27k2c26c20.依題意，48c2(13k2)>0，得<k<.而x1x2，x1x2.由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以x13c2x2.聯(lián)立解得x1，x2.將x1，x2代入中，解得k±.()解法一由()可知x10，x2.當(dāng)k時(shí)，得A(0，c)，由已知得C(0，c)線段AF1的垂直平分線l的方程為yc(x)，直線l與x軸的交點(diǎn)(，0)是AF1C的外接圓的圓心因此外接圓的方程為(x)2y2(c)2.直線F2B的方程為y(xc)，于是點(diǎn)H(m，n)的坐標(biāo)滿足方程組由m0，解得故.當(dāng)k時(shí)，同理可得.解法二由()可知x10，x2.當(dāng)k時(shí)，得A(0，c)，由已知得C(0，c)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知B，F(xiàn)2，C三點(diǎn)共線因?yàn)辄c(diǎn)H(m，n)在AF1C的外接圓上，且F1AF2B，所以四邊形AF1CH為等腰梯形由直線F2B的方程y(xc)，知點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，mc)因?yàn)閨AH|CF1|，所以m2(mcc)2a2，解得mc(舍)或m c則nc.所以.當(dāng)k時(shí)，同理可得.