限時作業(yè)2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、選擇題1.全稱命題“xZ,2x+1是整數(shù)”的逆命題是( )A.若2x+1是整數(shù),則xZ B.若2x+1是奇數(shù),則xZC.若2x+1是偶數(shù),則xZ D.若2x+1能被3整除,則xZ解析:命題“xZ,2x+1是整數(shù)”的條件為xZ,結(jié)論為2x+1是整數(shù),故選A.答案:A2.(2020重慶高考,文2)設(shè)x是實數(shù),則“x0”是“|x|0”的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:由x0|x|0充分,而|x|0x0或x0,不必要,故選A.答案:A3.對任意實數(shù)a、b、c,給出下列命題:“ab”是“acbc”的充要條件;“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件;“ab”是“a2b2”的充分條件;“a5”是“a3”的必要條件.其中真命題的個數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:當(dāng)c0,a、b不為0時,acbcab,所以是假命題;當(dāng)a2,b-3時,ab推不出a2b2,所以是假命題;顯然正確.答案:B4.若f(x)是R上的減函數(shù),且f(0)3,f(3)-1.設(shè)Px|f(x+t)-1|2,Qx|f(x)-1,若“xP”是“xQ”的充分不必要條件,則實數(shù)t的取值范圍是( )A.t0 B.t0 C.t-3 D.t-3解析:由題意知Px|-1f(x+t)3x|-tx3-t,Qx|f(x)f(3)x|x3,“xP”是“xQ”的充分而不必要條件,PQ.-t3,t-3.故選C.答案:C5.設(shè)p、q是簡單命題,則“p且q為假”是“p或q為假”的( )A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.不充分且不必要條件解析:由“p且q為假”,知p、q中至少有一個為假即可;而“p或q為假”,則p、q都為假.由此可推得“p且q為假”是“p或q為假”的必要不充分條件,故選A.答案:A6.在ABC中,“A30°”是“sinA”的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析:舉反例,如A30°,設(shè)A160°,則sinAsin20°sin30°,則“A30°”不是“sinA”的充分條件;如果sinA,則A(30°,150°),即有A30°.故選B.答案：B7.下列各小題中,p是q的充要條件的是( )p:m-2或m6;q:yx2+mx+m+3有兩個不同的零點p:1;q:yf(x)是偶函數(shù)p:coscos; q:tantanp:ABA;q:BAA. B. C. D.解析:由可得f(-x)f(x),但yf(x)的定義域不一定關(guān)于原點對稱;是tantan的既不充分也不必要條件.答案:D8.(2020陜西高考,文6)“a1”是“對任意正數(shù)x,1”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:a11,顯然a2也能推出,所以“a1”是“對任意正數(shù)x,1”的充分不必要條件.答案:A二、填空題9.若集合A1,m2,B2,4,則“m2”是“AB4”的_條件.(從“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中選一個填在橫線上)解析:AB4的充分條件是m24,即m±2,“m2”是“AB4”的充分不必要條件.答案:充分不必要10.設(shè)p、q是兩個命題,p:(|x|-3)0,q:0,則p是q的_條件.解析：考查充要條件的判定及不等式解法.p:(|x|-3)00|x|-313|x|4-4x-3或3x4;q:0()()0x或x,p是q的充分而不必要條件.答案：充分而不必要11.已知p:|2,q:x2-2x+1-m20(m0),而p是q的必要不充分條件,則實數(shù)m的取值范圍為_.解析：由題意,知q是p的必要不充分條件.由p:-1x11;由q:1-mx1+m,因此所以m10.答案：m10三、解答題12.判斷命題“已知a,x為實數(shù),如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,則a1”的逆否命題的真假.解法一：直接由原命題寫出其逆否命題,然后判斷逆否命題的真假.原命題:已知a,x為實數(shù),如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,則a1.逆否命題:已知a,x為實數(shù),如果a1,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為空集.判斷如下:拋物線:yx2+(2a+1)x+a2+2開口向上.判別式(2a+1)2-4(a2+2)4a-7.a1,4a-70,即拋物線yx2+(2a+1)x+a2+2與x軸無交點,關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為空集,故逆否命題為真.解法二:根據(jù)命題之間的關(guān)系“原命題與逆否命題同真同假”,只需判斷原命題的真假即可.a,x為實數(shù),且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,(2a+1)2-4(a2+2) 0,即4a-70,解得a.a1,原命題為真.又原命題與其逆否命題同真同假,逆否命題為真.解法三:利用充要條件與集合的包含、相等關(guān)系求解.命題p:關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20有非空解集.命題q:a1.p:Aa|關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20有實數(shù)解a|(2a+1)2-4(a2+2) 0a|a.q:Ba|a1.AB,“若p則q”為真.“若p則q”的逆否命題:“若q則p”為真,即原命題的逆否命題為真.13.設(shè)數(shù)列an、bn、cn滿足:bnan-an+2,cnan+2an+1+3an+2(n1,2,3,).證明an為等差數(shù)列的充分必要條件是cn為等差數(shù)列且bnbn+1(n1,2,3,).證明：必要性:設(shè)an是公差為d1的等差數(shù)列,則bn+1-bn(a n+1-an+3)-(an-an+2)(a n+1-an)-(a n+3-a n+2)d1-d10,bnb n+1(n1,2,3,)成立.又c n+1-cn(a n+1-an)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2)d1+2d1+3d16d1(常數(shù))(n1,2,3,).數(shù)列cn為等差數(shù)列.充分性:設(shè)數(shù)列cn是公差為d2的等差數(shù)列,且bnb n+1(n1,2,3,).證法一:cnan+2a n+1+3a n+2, c n+2a n+2+2a n+3+3a n+4. -,得cn-c n+2(an-a n+2)+2(a n+1-a n+3)+3(a n+2-an+4)bn+2b n+1+3b n+2,cn-c n+2(cn-cn+1)+(c n+1-cn+2)-2d2.bn+2bn+1+3bn+2-2d2, 從而有bn+1+2bn+2+3bn+3-2d2. -,得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)0. bn+1-bn0,bn+2-bn+10,bn+3-bn+20,由得bn+1-bn0(n1,2,3,).由此不妨設(shè)bnd3(n1,2,3,),則an-a n+2d3(常數(shù)).由此cnan+2an+1+3aa+24an+2an+1-3d3,從而cn+14an+1+2an+2-3d34a n+1+2an-5d3.兩式相減,得cn+1-cn2(an+1-an)-2d3,因此an+1-an(cn+1-cn)+d3d2+d3(常數(shù))(n1,2,3),數(shù)列cn是等差數(shù)列.證法二:令A(yù)na n+1-an,由bnb n+1,知an-a n+2a n+1-a n+3,從而a n+1-ana n+3-a n+2,即AnA n+2(n1,2,3).由cnan+2a n+1+3a n+2,c n+1a n+1+2a n+2+3a n+3,得c n+1-cn(a n+1-an)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2),即An+2A n+1+3A n+2d2時 由此得A n+2+2A n+3+3An+4d2. -,得(An-A n+2)+2(A n+1-A n+3)+3(A n+2-An+4)0. An-A n+20,A n+1-A n+30,A n+2-A n+40,由,得An-A n+20(n1,2,3,).于是由,得4An+2A n+1An+2A n+1+3A n+2d2, 從而2An+4A n+14A n+1+2A n+2d2. 由和,得4An+2A n+12An+4A n+1,故A n+1An,即a n+2-a n+1a n+1-an(n1,2,3,),數(shù)列cn是等差數(shù)列.