會計學1多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念71933第一頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。8.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 8.2 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)偏導數(shù)與高階偏導數(shù) 8.3 全微分及其應用全微分及其應用 8.4 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 8.5 隱函數(shù)的求導法則隱函數(shù)的求導法則 8.6 多元函數(shù)的極值及其多元函數(shù)的極值及其 應用應用 返 回CALCULUS 第八章 多元函數(shù)微分學第1頁/共45頁第二頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 返回 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概多元函數(shù)的基本概念念第八章第八章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學第2頁/共45頁第三頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 2.2.理解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域理解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域重點重點1.1.二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念2.2.二元函數(shù)的連續(xù)性的概念二元函數(shù)的連續(xù)性的概念 3. 3. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念以及了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第3頁/共45頁第四頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 在在一元函數(shù)一元函數(shù)的微積分中，所討論的對象都是一元的微積分中，所討論的對象都是一元函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)，即函數(shù)只依賴于一個自變量。，即函數(shù)只依賴于一個自變量。 在數(shù)學上，這種由多個因素才能確定的變量，就在數(shù)學上，這種由多個因素才能確定的變量，就是是多元函數(shù)多元函數(shù)。 但在很多實際問題中，往往牽涉到多方面的因素但在很多實際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學上，就是一個變量依賴于多個變量，反映到數(shù)學上，就是一個變量依賴于多個變量的情形。的情形。第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第4頁/共45頁第五頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 一元函數(shù)的定義域是在一元函數(shù)的定義域是在數(shù)軸數(shù)軸上討論，一上討論，一般是一個區(qū)間（開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉般是一個區(qū)間（開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間）。區(qū)間）。平面上進行討論，二元函數(shù)平面上進行討論，二元函數(shù)z=f (x,y)的定義域的定義域在幾何上表示一個在幾何上表示一個平面區(qū)域平面區(qū)域。量多了一個，它的定義域很自然地要擴充到量多了一個，它的定義域很自然地要擴充到但是對于二元函數(shù)而言，由于自變但是對于二元函數(shù)而言，由于自變一、平面區(qū)域一、平面區(qū)域 2.1 2.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第5頁/共45頁第六頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。( (不包含圓周不包含圓周) )，為半徑的圓的內(nèi)部為半徑的圓的內(nèi)部d d為一正數(shù)，為一正數(shù)，d d1、鄰域、鄰域（一）平面區(qū)域（一）平面區(qū)域一、平面區(qū)域一、平面區(qū)域去心去心鄰域鄰域,稱為點稱為點鄰域鄰域,(neighborhood)第6頁/共45頁第七頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。E的邊界。的邊界。2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)(boundary)第7頁/共45頁第八頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。例例: :(point of accumulation)2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)的聚點的聚點. .;的的聚聚點點也也是是Exy2 2第8頁/共45頁第九頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。例例: :中中總總有有的的去去心心鄰鄰域域，如如果果對對于于任任意意給給定定的的),(0 00 0PUP (point of accumulation)2 2、區(qū)域、區(qū)域(region):(4)聚聚點點 ，也也可可不不屬屬于于本本身身可可屬屬于于中中的的點點EEPE,EP 為為則則稱稱的聚點的聚點. . 第9頁/共45頁第十頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 如果點集如果點集E內(nèi)任意兩點都能用全屬于內(nèi)任意兩點都能用全屬于E的折線或曲線連接的折線或曲線連接起來，則稱起來，則稱E為連通的為連通的. . 連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域. .(6)連通：連通：(7)區(qū)域：區(qū)域：例如，例如，xyo例如，例如，xyo區(qū)域及其它的邊界所成的集合稱為閉區(qū)域區(qū)域及其它的邊界所成的集合稱為閉區(qū)域.2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)第10頁/共45頁第十一頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。xyO例例例例)1,1(xyO為無界開區(qū)域為無界開區(qū)域.0),( yxyxE區(qū)域區(qū)域1,10),( yxxyxE區(qū)域區(qū)域(8)有界與無界區(qū)域：有界與無界區(qū)域：否則稱否則稱E為為無界區(qū)域無界區(qū)域.為有界閉區(qū)域為有界閉區(qū)域.2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)第11頁/共45頁第十二頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。注：注：n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念內(nèi)點、邊界點、區(qū)域等概念也可定義內(nèi)點、邊界點、區(qū)域等概念也可定義鄰域：鄰域：2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)第12頁/共45頁第十三頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 導言：導言：多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學研究的對多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學研究的對象象. .同一元函數(shù)類似對于多元函數(shù)也有極同一元函數(shù)類似對于多元函數(shù)也有極限、連續(xù)等基本概念限、連續(xù)等基本概念.二、二、 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念在多元函數(shù)中的推廣，它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容在多元函數(shù)中的推廣，它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容類似類似且密切相關(guān)，在這部分內(nèi)容的學習中應注且密切相關(guān)，在這部分內(nèi)容的學習中應注意與一元函數(shù)的意與一元函數(shù)的對比對比.在研究方法上把握在研究方法上把握一般一般與與特殊特殊之間辯證關(guān)系之間辯證關(guān)系.這些內(nèi)容作為一元函數(shù)這些內(nèi)容作為一元函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第13頁/共45頁第十四頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。矩形面積矩形面積 S 與長與長 x，寬，寬 y 之間關(guān)系為之間關(guān)系為 其中長其中長 x 和寬和寬 y 是兩個獨立的變量是兩個獨立的變量, 例例2 2著名著名 的生產(chǎn)的生產(chǎn)DouglasCobb 函數(shù)為函數(shù)為 ，LcKQ 這里這里 為常數(shù)，為常數(shù)，, cS= x y (x0, y0)例例1矩形面積矩形面積 S 有惟一確定值對應有惟一確定值對應.當當x, y 的值取定后的值取定后, 內(nèi)內(nèi),在它們變化范圍在它們變化范圍Q就就 有惟一確定的值相對應有惟一確定的值相對應.值取定后值取定后, 當當K, L的的Q是一個依賴于是一個依賴于K和和L的變化而變化的量的變化而變化的量Q表示產(chǎn)量，表示產(chǎn)量，分別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量，分別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量， 在西方經(jīng)濟學中，在西方經(jīng)濟學中，二二、 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第14頁/共45頁第十五頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。其中其中 稱為稱為自變量自變量，yx,設(shè)設(shè)D為為 中的一個非空點集，中的一個非空點集，2RzDyxzf),(yx記為記為實數(shù)實數(shù)z的取值范圍稱為的取值范圍稱為值域值域，記為記為),(yx的變化范圍的變化范圍D稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域，量量，z稱為稱為因變因變又記為又記為記為記為 f ：DR ，二元函數(shù)二元函數(shù)，則稱映射則稱映射f 為定義在為定義在D上的上的一確定的實數(shù)一確定的實數(shù)z與之對應，與之對應，都有都有惟惟使得對于使得對于D中中每一個有序?qū)崝?shù)對每一個有序?qū)崝?shù)對射射f ，若有一個映若有一個映1.定義定義二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第15頁/共45頁第十六頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)定義域定義域D( f )、對應法則、對應法則f函數(shù)的表示法：函數(shù)的表示法： （1）二元顯函數(shù)）二元顯函數(shù) z=f(x,y)（2）二元隱函數(shù)）二元隱函數(shù) F(x,y,z)=0確定函數(shù)的兩要素：確定函數(shù)的兩要素：多元函數(shù)多元函數(shù)二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第16頁/共45頁第十七頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 2.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域 當用某個解析式表達二元函數(shù)時，當用某個解析式表達二元函數(shù)時，凡是使解析式凡是使解析式有意義的自變量所組成的有意義的自變量所組成的平面點集平面點集為該二元函數(shù)的為該二元函數(shù)的定義域定義域，例例1 1解解所以函數(shù)的定義域為所以函數(shù)的定義域為xy二元函數(shù)的定義域通常為二元函數(shù)的定義域通常為平面區(qū)域平面區(qū)域.要使函數(shù)有意義須滿要使函數(shù)有意義須滿足足有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念( (自然定義域自然定義域) )第17頁/共45頁第十八頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。例例2 2解解函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為xyxy 要使函數(shù)有意義須滿足要使函數(shù)有意義須滿足無界開區(qū)域無界開區(qū)域 2.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域第18頁/共45頁第十九頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。例例3解解要使函數(shù)有意義要使函數(shù)有意義,必須必須故所求定義域為故所求定義域為有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域xyO41 2.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域第19頁/共45頁第二十頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。Solution.所求定義域為所求定義域為例例4 2.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域第20頁/共45頁第二十一頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。Solution.Solution.例例5例例6換元法換元法第21頁/共45頁第二十二頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 3.3.二元函數(shù)的幾何圖形二元函數(shù)的幾何圖形 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 的定義域為的定義域為D. ),(yx),(zyxMxyz平面上的投影平面上的投影.而定義域而定義域 D 正是這曲面正是這曲面在在Oxy該幾何圖形通常是該幾何圖形通常是一張曲面一張曲面. 這個點集稱為這個點集稱為二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形.得到空間點集得到空間點集D上的一切點時上的一切點時, 當當(x, y) 取遍取遍確定空間一點確定空間一點這樣這樣, 就就對應的函數(shù)值為對應的函數(shù)值為 ,),(DyxP 點點對于任意取定的對于任意取定的D一元函數(shù)一元函數(shù) 表示表示 x y平面上的平面上的一條曲線一條曲線y = f (x)第22頁/共45頁第二十三頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。例例2 2xyz例例1 1 3.3.二元函數(shù)的幾何圖形二元函數(shù)的幾何圖形第23頁/共45頁第二十四頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。xyzo例例4圖形如右圖圖形如右圖.例例3如右圖，為如右圖，為球面球面.單值分支單值分支: 3.3.二元函數(shù)的幾何圖形二元函數(shù)的幾何圖形第24頁/共45頁第二十五頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。4. 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義一個自變量一個自變量. 兩個自變量兩個自變量. 三個自變量三個自變量. n個自變量個自變量. n元函數(shù)在幾何上表示元函數(shù)在幾何上表示n+1維空間上的一般曲面維空間上的一般曲面. 二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第25頁/共45頁第二十六頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。注意注意 (1) 多元函數(shù)也有單值函數(shù)和多值函數(shù)，如多元函數(shù)也有單值函數(shù)和多值函數(shù)，如在討論過程中通常將其拆成幾個單值函數(shù)后在討論過程中通常將其拆成幾個單值函數(shù)后再分別加以討論再分別加以討論.(2) 多元函數(shù)也有分段函數(shù)，如多元函數(shù)也有分段函數(shù)，如(3) 點函數(shù)點函數(shù)u=f(P)能表示所有的函數(shù)能表示所有的函數(shù).(4) 函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復合運算函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復合運算(略略)二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第26頁/共45頁第二十七頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 (5)一元函數(shù)的一元函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性、奇偶性奇偶性、周期性周期性等等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性有界性的定義仍然適用的定義仍然適用. .二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第27頁/共45頁第二十八頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點在點 的某一去心的某一去心),(000yxP方式方式趨于趨于定點定點 時時, ),(000yxP或或記作記作的的極限極限，則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù) z = f (x, y)常數(shù)常數(shù) A, 函數(shù)值函數(shù)值 f (x, y) 趨于一個趨于一個確定確定如果如果動點動點 P(x, y) 在該鄰域內(nèi)以在該鄰域內(nèi)以任意任意鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義, 1.定義定義（一）二元函數(shù)的極限（一）二元函數(shù)的極限( (二重極限二重極限) )第28頁/共45頁第二十九頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。指當指當P (x, y) 以以任意方式與方向任意方式與方向趨于趨于定點定點P0(x0, y0), 二元函數(shù)極限的說明二元函數(shù)極限的說明： (2)對于二元函數(shù)極限的對于二元函數(shù)極限的不存在不存在, 以不同路徑趨于點以不同路徑趨于點 時時, ),(000yxP在某一路徑上點在某一路徑上點P (x, y) 趨于點趨于點 的極限不存在的極限不存在,),(000yxP則可以斷定函數(shù)在則可以斷定函數(shù)在 點的極限不存在點的極限不存在.),(000yxP),(0 00 0yxxy特征特征.即極限趨近方式具有即極限趨近方式具有任意性任意性于于A. 函數(shù)都無限接近函數(shù)都無限接近（1）對于二元函數(shù)極限的）對于二元函數(shù)極限的存在存在是是或或函數(shù)趨于不同的值函數(shù)趨于不同的值;則有則有若當點若當點 P (x, y)（兩種路徑）（兩種路徑）三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限第29頁/共45頁第三十頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 例例1 1 考察函數(shù)考察函數(shù) 在在 處的極限是否處的極限是否存在存在. . x y -1.0-0.5-0.5-0.2-0.20 00.20.20.50.51.01.0-1.0-1.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.00-0.5-0.5-0.60-0.600.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.60-0.2-0.2-0.92-0.92 -0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72 -0.92-0.920 0-1.00-1.00 -1.00-1.00 -1.00-1.00-1.00-1.00 -1.00-1.00 -1.00-1.000.20.2-0.92-0.92 -0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72 -0.92-0.920.50.5-0.60-0.600.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.601.01.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.00做出函數(shù)在點做出函數(shù)在點 附近的函數(shù)值表，如下附近的函數(shù)值表，如下)0 , 0(函數(shù)函數(shù) 在在 處的極限不存在處的極限不存在. .),(yxf)0 , 0(三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 第30頁/共45頁第三十一頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 例例1 1 證明函數(shù)證明函數(shù) 在在 處的極限不存在處的極限不存在. .2222),(yxyxyxf )0 , 0(讓讓 沿直線沿直線 而趨于而趨于 ，),(yxkxy )0 , 0(它將隨它將隨k 的不同而具有不同的值的不同而具有不同的值. .極限極限 不存在不存在. .222200limyxyxyx 證證則有則有 因此，因此，三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限第31頁/共45頁第三十二頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。例例2 2 討論函數(shù)討論函數(shù)解解 當當P(x,y)沿沿 x 軸軸趨于趨于(0,0)時時, 當當P(x,y)沿沿 y軸趨于軸趨于(0,0)時時, 當當(x, y)(0, 0)時的極限。時的極限。),(limyxfyx0 00 0, 0 0 三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限第32頁/共45頁第三十三頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。當當P(x,y)沿沿 y=kx( ) 趨于趨于(0,0)時時,.0 k當當k取不同值時取不同值時,),(lim00yxfyx取不同值，取不同值，222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy ),(lim00yxfyx三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限第33頁/共45頁第三十四頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法： （2）找兩種不同趨近方式，找兩種不同趨近方式，此時也可斷言此時也可斷言),(yxf在點在點若極限存在若極限存在,但兩者不相等，但兩者不相等，例例3 3 證明證明 不存在不存在 處極限不存在處極限不存在),(0 00 00 0yxP第34頁/共45頁第三十五頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。例例3 3 證明證明 不存在不存在 證證取取其值隨其值隨k的不同而變化的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：第35頁/共45頁第三十六頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。不存在不存在.觀觀察察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：第36頁/共45頁第三十七頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。2. 2. 二元函數(shù)極限的計算二元函數(shù)極限的計算 對于未定型，不再有對于未定型，不再有LHospital法則，須化成確法則，須化成確定型定型. 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類似類似的性質(zhì)與運的性質(zhì)與運算法則算法則. . 計算二元函數(shù)的極限時，常把二元函數(shù)極限計算二元函數(shù)的極限時，常把二元函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限問題，再利用四則運算法則、轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限問題，再利用四則運算法則、夾逼定理、作變量代換、兩個重要極限、無窮小夾逼定理、作變量代換、兩個重要極限、無窮小替換、對函數(shù)作恒等變換約去零因子、還可利用替換、對函數(shù)作恒等變換約去零因子、還可利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性多元初等函數(shù)的連續(xù)性. 三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限第37頁/共45頁第三十八頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。解解:例例4 4 求求 2. 2. 二元函數(shù)極限的計算二元函數(shù)極限的計算 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類似類似的性質(zhì)與運算的性質(zhì)與運算法則法則. . 第38頁/共45頁第三十九頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類似類似的性質(zhì)與運算法的性質(zhì)與運算法則則. . 例例5 求極限求極限.)sin(lim200 xyyxyx解解;lim222)0,0(),(yxxyyx 例例6 求極限求極限解解由有界變量與無窮小乘積為無窮小知由有界變量與無窮小乘積為無窮小知. 0 2. 2. 二元函數(shù)極限的計算二元函數(shù)極限的計算 第39頁/共45頁第四十頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。例例6 6 求極限求極限 解解其中其中yxu2 2. 2. 二元函數(shù)極限的計算二元函數(shù)極限的計算 第40頁/共45頁第四十一頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。Solution. 由夾逼準則得，由夾逼準則得，例例7 （一）二元函數(shù)的極限（一）二元函數(shù)的極限第41頁/共45頁第四十二頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。Solution. 例例8 （一）二元函數(shù)的極限（一）二元函數(shù)的極限第42頁/共45頁第四十三頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限定義多元函數(shù)的極限定義 概念概念.并將其統(tǒng)一為并將其統(tǒng)一為點函數(shù)點函數(shù)形式形式. 同二元函數(shù)類似，可以定義多元函數(shù)的極限同二元函數(shù)類似，可以定義多元函數(shù)的極限（一）二元函數(shù)的極限（一）二元函數(shù)的極限第43頁/共45頁第四十四頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。小 結(jié)三、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的極限一、平面區(qū)域與一、平面區(qū)域與n n維空間維空間二、二元函數(shù)的定義、定義域、圖形二、二元函數(shù)的定義、定義域、圖形 作業(yè) P302 1(1)P302 1(1)，2 2（1 1）；）； 4 4（1,31,3）第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第44頁/共45頁第四十五頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。