§3.1.1變化率問題 教學目標： 1．理解平均變化率的概念； 2．了解平均變化率的幾何意義； 3．會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率 教學重點：平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率； 教學難點：平均變化率的概念． 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理直接相關(guān)： 一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長度、面積、體積和重心等。 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。 導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度． 二．新課講授 （一）問題提出 問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢? n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是 n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么 分析: ， ⑴ 當V從0增加到1時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 ⑵ 當V從1增加到2時,氣球半徑增加了 h t o 氣球的平均膨脹率為 可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了． 思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水 在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)? 思考計算：和的平均速度 在這段時間里，； 在這段時間里， 探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題： ⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？ ⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？ 探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，， 所以， 雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)． （二）平均變化率概念: 1．上述問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率 2．若設(shè), (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣) 3． 則平均變化率為 思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象 平均變化率表示什么? f(x2) y=f(x) y △y =f(x2)-f(x1) f(x1) 直線AB的斜率 △x= x2-x1 x2 x1 x O 三．典例分析 例1．已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 ． 解：， ∴ 例2． 求在附近的平均變化率。 解：，所以 所以在附近的平均變化率為 四．課堂練習 1．質(zhì)點運動規(guī)律為，則在時間中相應(yīng)的平均速度為 ． 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率. 3.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當Δx=0.1時割線的斜率. 五．回顧總結(jié) 1．平均變化率的概念 2．函數(shù)在某點處附近的平均變化率 六．布置作業(yè) §3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念 教學目標： 1．了解瞬時速度、瞬時變化率的概念； 2．理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵； 3．會求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù) 教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念； 教學難點：導(dǎo)數(shù)的概念． 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 （一）平均變化率 （二）探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題： ⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？ ⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？ 探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，， h t o 所以， 雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)． 二．新課講授 1．瞬時速度 我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，時的瞬時速度是多少？考察附近的情況： 思考：當趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？ 結(jié)論：當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值． 從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在時的瞬時速度是 為了表述方便，我們用 表示“當，趨近于0時，平均速度趨近于定值” 小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。 2 導(dǎo)數(shù)的概念 從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是: 我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或，即 說明：（1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 （2），當時，，所以 三．典例分析 例1．（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù). 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2 　　再求再求 解：法一 定義法（略） 法二： （2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)． 解： 例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義， 所以 同理可得: 在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升． 注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況． 四．課堂練習 1．質(zhì)點運動規(guī)律為，求質(zhì)點在的瞬時速度為． 2．求曲線y=f(x)=x3在時的導(dǎo)數(shù)． 3．例2中，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 五．回顧總結(jié) 1．瞬時速度、瞬時變化率的概念 2．導(dǎo)數(shù)的概念 六．布置作業(yè) §3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 教學目標： 1．了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系； 2．理解曲線的切線的概念； 3．通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題； 教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 教學難點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 （一）平均變化率、割線的斜率 （二）瞬時速度、導(dǎo)數(shù) 我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？ 二．新課講授 （一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？ 圖3.1-2 我們發(fā)現(xiàn),當點沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線. 問題：⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？ ⑵切線PT的斜率為多少？ 容易知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即 說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率. 這個概念: ①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; ②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù). （2）曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個. （二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點處的切線的斜率， 即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟: ①求出P點的坐標; ②求出函數(shù)在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率； ③利用點斜式求切線方程. （二）導(dǎo)函數(shù)： 由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當時, 是一個確定的數(shù)，那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或， 即: 注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)． （三）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。 （1）函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。 (2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) (3）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 三．典例分析 例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程. （2）求函數(shù)y=3x2在點處的導(dǎo)數(shù). 解：（1）, 所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即 （2）因為 所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即 （2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)． 解： 例2．（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù) ，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、、附近的變化情況． 解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況． （1） 當時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降． （2） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減． （3） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢． 例3．（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時間（單位：）變化的圖象．根據(jù)圖像，估計時，血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確到）． 解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度在此時刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切線的斜率． 如圖3.1-4，畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值． 作處的切線，并在切線上去兩點，如，，則它的斜率為： 所以 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值： 0.2 0.4 0.6 0.8 藥物濃度瞬時變化率 0.4 0 -0.7 -1.4 四．課堂練習 1．求曲線y=f(x)=x3在點處的切線； 2．求曲線在點處的切線． 五．回顧總結(jié) 1．曲線的切線及切線的斜率； 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 六．布置作業(yè) §3.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學目標： 1．使學生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個步驟推導(dǎo)四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式； 2．掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 教學重點：四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用 教學難點： 四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數(shù)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？ 由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，所以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這一單元我們將研究比較簡捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 二．新課講授 1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因為 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù)圖像（圖3.2-1）上每一點處的切線的斜率都為0．若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態(tài)． 2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因為 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù)圖像（圖3.2-2）上每一點處的切線的斜率都為1．若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動． 3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因為 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù)圖像（圖3.2-3）上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，函數(shù)減少得越來越慢；當時，隨著的增加，函數(shù)增加得越來越快．若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為． 4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因為 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 5．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因為 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) （2）推廣：若，則 三．課堂練習 1．課本P13探究1 2．課本P13探究2 四．回顧總結(jié) 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 五．布置作業(yè) 　　 §3.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則 教學目標： 1．熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則； 3．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 教學重點：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 教學難點： 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則的應(yīng)用 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 五種常見函數(shù)、、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 二．新課講授 （一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) （二）導(dǎo)數(shù)的運算法則 導(dǎo)數(shù)運算法則 1． 2． 3． （2）推論： （常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)） 三．典例分析 例1．假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系，其中為時的物價．假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？ 解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有 所以（元/年） 因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲． 例2．根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． （1） （2）； （3）； （4）； （5）． （6）； （7） 解：（1）， 。 （2） （3） （4）， 。 （5） （6） ， 。 （7） 。 【點評】 ① 求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實行的． ② 求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)，必須細心、耐心． 例3日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為 求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1） （2） 解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． （1） 因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變化率是52.84元/噸． （2） 因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變化率是1321元/噸． 函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢．由上述計算可知，．它表示純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率的25倍．這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快． 四．課堂練習 1．課本P92練習 2．已知曲線C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程； （y ＝－12 x ＋8） 五．回顧總結(jié) （1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 （2）導(dǎo)數(shù)的運算法則 六．布置作業(yè) §3.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 教學目標 理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則． 教學重點 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)之積． 教學難點 正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，做到不漏，不重，熟練，正確． 一．創(chuàng)設(shè)情景 （一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) （二）導(dǎo)數(shù)的運算法則 導(dǎo)數(shù)運算法則 1． 2． 3． （2）推論： （常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)） 二．新課講授 復(fù)合函數(shù)的概念 一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作。 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積． 若，則 三．典例分析 例1（課本例4）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）；（2）； （3）（其中均為常數(shù)）． 解：（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 =。 （2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 =。 （3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 =。 例2求的導(dǎo)數(shù)． 解： 【點評】 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時化簡計算結(jié)果． 例3求的導(dǎo)數(shù)． 解： ， 【點評】本題練習商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡整理． 例4求y ＝sin4x ＋cos 4x的導(dǎo)數(shù)． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x ＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′ ＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x) ＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【點評】 解法一是先化簡變形，簡化求導(dǎo)數(shù)運算，要注意變形準確．解法二是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意不漏步． 例5曲線y ＝x（x ＋1）（2－x）有兩條平行于直線y ＝x的切線，求此二切線之間的距離． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1． 于是切點為P（1，2），Q（－，－）， 過點P的切線方程為，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 顯然兩切線間的距離等于點Q 到此切線的距離，故所求距離為 ＝． 四．課堂練習 1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3) 2.求的導(dǎo)數(shù) 五．回顧總結(jié) 六．布置作業(yè) §3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2課時） 教學目標： 1．了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系； 2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次； 教學重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學難點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用． 二．新課講授 1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像． 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)： （1） 運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，． （2） 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，． 2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系． 如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率． 在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增； 在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù)； （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間； （4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． 三．典例分析 例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息： 當時，； 當，或時，； 當，或時， 試畫出函數(shù)圖像的大致形狀． 解：當時，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 當，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 當，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”． 綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示． 例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示． （2）因為，所以， 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示． （3）因為，所以， 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示． （4）因為，所以 ． 當，即 時，函數(shù) ； 當，即 時，函數(shù) ； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生練 例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像． 分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況． 解： 思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些． 如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”， 在或內(nèi)的圖像“平緩”． 例4．求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 證明：因為 當即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟： （1）求導(dǎo)函數(shù)； （2）判斷在內(nèi)的符號； （3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)． 例5．已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得： 所以實數(shù)的取值范圍為． 說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解． 例6．已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解：y′=(x+)′ =1－1·x－2= 令＞0. 解得x＞1或x＜－1. ∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞). 令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(－1，0)和(0，1) 四．課堂練習 1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．課本 練習 五．回顧總結(jié) （1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 （2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間 （3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性 六．布置作業(yè) §3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（2課時） 教學目標： 1.理解極大值、極小值的概念； 2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值； 3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟； 教學重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學難點：對極大、極小值概念的理解及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 觀察圖3.3-8，我們發(fā)現(xiàn)，時，高臺跳水運動員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點附近的圖像有什么特點？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？ 放大附近函數(shù)的圖像，如圖3.3-9．可以看出；在，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，；這就說明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當在的附近從小到大經(jīng)過時，先正后負，且連續(xù)變化，于是有． 對于一般的函數(shù)，是否也有這樣的性質(zhì)呢？ 附：對極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進行說明.并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點的關(guān)鍵是這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號 二．新課講授 1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像． 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)： （3） 運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，． （4） 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，． 2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系． 如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù)； （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間； （4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． 三．典例分析 例1．（課本例4）求的極值 解： 因為，所以 。 下面分兩種情況討論： （1）當>0,即，或時； （2）當<0,即時. 當x變化時， ，的變化情況如下表： -2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此，當時，有極大值，并且極大值為； 當時，有極小值，并且極小值為。 函數(shù)的圖像如圖所示。 例2求y=(x2－1)3+1的極值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 當x變化時，y′，y的變化情況如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 － 0 － 0 + 0 + ↘ 無極值 ↘ 極小值0 ↗ 無極值 ↗ ∴當x=0時，y有極小值且y極小值=0 1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點 2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 注意以下幾點： （?。O值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個 （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而> （ⅳ）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點 而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值 5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值 如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點是否是極值點 四、鞏固練習： 1．求下列函數(shù)的極值. (1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x (1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7 令y′=0，解得x=. 當x變化時，y′，y的變化情況如下表. － 0 + ↘ 極小值 ↗ ∴當x=時，y有極小值，且y極小值=－. (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 當x變化時，y′，y的變化情況如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 極大值54 ↘ 極小值-54 ↗ ∴當x=－3時，y有極大值，且y極大值=54. 當x=3時，y有極小值，且y極小值=－54 五、教學反思 ：函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的三個步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在整個定義區(qū)間可能有多個極值，且要在這點處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點，要看這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號.函數(shù)的不可導(dǎo)點可能是極值點 六、課后作業(yè)：書本P 34 3 . 4 . 5 §3.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（2課時） 教學目標： ⒈使學生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上所有點（包括端點）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件； ⒉使學生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟 教學重點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法． 教學難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系． 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)．也就是說，如果是函數(shù)的極大（?。┲迭c，那么在點附近找不到比更大（小）的值．但是，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最?。绻呛瘮?shù)的最大（小）值，那么不?。ù螅┯诤瘮?shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值． 二．新課講授 觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是． 1．結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值． 說明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)．（可以不給學生講） ⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； ⑶在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷， ⑷函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（可以不給學生講） 2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系 ⑴最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性． ⑵從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一； ⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個 ⑷極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值． 3．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了． 一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下： ⑴求在內(nèi)的極值； ⑵將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值 三．典例分析 例1．（課本例5）求在的最大值與最小值 解： 由例4可知，在上，當時，有極小值，并且極小值為，又由于， 因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是． 上述結(jié)論可以從函數(shù)在上的圖象得到直觀驗證． 例2．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值 解：先求導(dǎo)數(shù)，得 令＝0即解得 導(dǎo)數(shù)的正負以及，如下表 X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 從上表知，當時，函數(shù)有最大值13，當時，函數(shù)有最小值4 例3．已知,∈(0,+∞).是否存在實數(shù),使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由. 解：設(shè)g(x)= ∵f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù) ∴g(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù). ∴ ∴ 解得 經(jīng)檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設(shè)的兩個條件. 四．課堂練習 1．下列說法正確的是( ) A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值 C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值 2．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3．函數(shù)y=，在［－1，1］上的最小值為( ) A.0 B.－2 C.－1 D. 4．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值． 5．課本 練習 五．回顧總結(jié) 1．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點，導(dǎo)數(shù)不存在的點，區(qū)間端點； 2．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件； 3．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值 4．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值方法． 六．布置作業(yè) §3.4生活中的優(yōu)化問題舉例（2課時） 教學目標： 1． 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用 2． 提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力 教學重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 教學難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 教學過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學習，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題． 二．新課講授 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問題； 2、與物理學有關(guān)的最值問題； 3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題； 4、效率最值問題。 解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具． 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 建立數(shù)學模型 解決數(shù)學模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學問題 優(yōu)化問題的答案 三．典例分析 例1．海報版面尺寸的設(shè)計 學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最??？ 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為 。 求導(dǎo)數(shù)，得 。 令，解得舍去）。 于是寬為。 當時，<0；當時，>0. 因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。 答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。 例2．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 （1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？ （2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？ 【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ 　　 （２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？ 解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去） 當時，；當時，． 當半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高； 當半徑時， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低． （1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值． （2）半徑為cm時，利潤最大． 換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？ 有圖像知：當時，，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值． 當時，，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最?。? 例3．磁盤的最大存儲量問題 計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。 問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域． （1） 是不是越小，磁盤的存儲量越大？ （2） 為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？ 解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以，磁盤總存儲量 × （1）它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大． （2）為求的最大值，計算． 令，解得 當時，；當時，． 因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為 例4．汽油的使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題： （1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？ （2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題． 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系． 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題． 解：因為 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進一步發(fā)現(xiàn)，當直線與曲線相切時，其斜率最?。诖饲悬c處速度約為90． 因此，當汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L． _ x _ x _ 60 _ 60 x x 例5．在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？ 解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積 ． 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000 由題意可知，當x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值 答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3 解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積 ．（后面同解法一，略） 由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處． 事實上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值 例6．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？ 解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得，則 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得，R=，從而h====2 即h=2R 因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值 答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省 變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最??？ 提示：S=2+h= V(R)=R= )=0 ． 例6．在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。 （1）、如果C(x)＝，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，產(chǎn)品的單價P＝100－0.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？ 變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？ 分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤． 解：收入， 利潤 令，即，求得唯一的極值點 答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大 例7．一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b. 解：由梯形面積公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b ∴AD=h+b, ∴S= ① ∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=×2+b ② 由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)= l′==0,∴h=, 當h<時，l′<0,h>時，l′>0. ∴h=時，l取最小值，此時b= 例8．已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y ＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長． 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為（x，y），且x ＞0，y ＞0， 則另一個在拋物線上的頂點為（－x，y）， 在x軸上的兩個頂點為（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2． 設(shè)矩形的面積為S，則S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2． 由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝，易知 x ＝是S在（0，2）上的極值點， 即是最大值點， 所以這種矩形中面積最大者的邊長為和． 【點評】 應(yīng)用題求解，要正確寫出目標函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是