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1、高考專題訓(xùn)練三十　不等式選講(選修4－5) 班級_______　姓名_______　時間：45分鐘　分值：100分　總得分_______ 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．(2020·合肥)設(shè)a、b為正數(shù)，且a＋b＝1，則＋的最小值是________． 解析：本題考查均值不等式求最小值，按不同的變形方式的解法也有很多．最常見的解法： ＋＝＋＝＋＋1＋ ＝＋＋≥＋2 ＝＋. 答案：＋ 2．(2020·鄭州)已知實數(shù)x、y滿足3x2＋2y2≤6，則P＝2x＋y的最大值是________． 解析：本題考查圓錐曲線的參數(shù)方程、三角函數(shù)的和差角公式等知識．所給不等式表示的區(qū)域為橢

2、圓＋＝1及其邊界部分．設(shè)橢圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ<2π)，則P＝2cosθ＋sinθ＝sin(α＋θ)．故P的最大值為. 答案： 3．函數(shù)y＝＋的最大值為________． 解析：由柯西不等式得＋ ≤＝. 答案： 4．(2020·廣東深圳第二次調(diào)研)關(guān)于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥2a在R上恒成立，則實數(shù)a的最大值是________． 解析：本小題考查了絕對值的定義，令f(x)＝|x－2|＋|x－a|，當a>2時，易知f(x)的值域為[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成立，即a≤－2(舍去)． 當a<2時，f(x)的值域為[2－a，＋∞

3、)，使f(x)≥2a恒成立，需2－a≥2a成立，即a≤. 當a＝2時，需|x－2|≥a恒成立，即a≤0(舍去)． 綜上a的最大值為. 答案： 5．(2020·東北三校)設(shè)a>b>0，x＝－，y＝－，則x、y的大小關(guān)系是x________y. 解析：由x－y＝－－(－) ＝－ ＝<0，所以x

4、則x的取值范圍是________． 解析：函數(shù)f(x)＝，可分段求函數(shù)的最小值，得f(x)min＝3. 解不等式組或或求并集得所求x的取值范圍是[0,5]． 答案：3　[0,5] 二、解答題(共65分) 8．(11分)如圖，O為數(shù)軸的原點，A，B，M為數(shù)軸上三點，C為線段OM上的動點．設(shè)x表示C與原點的距離，y表示C到A距離的4倍與C到B距離的6倍的和． (1)將y表示為x的函數(shù)； (2)要使y的值不超過70，x應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？ 解：(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30. (2)依題意，x滿足 解不等式組，其解集為[9,23]． 所以x∈[

5、9,23]． 9．(10分)(2020·遼寧)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)證明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 解：(1)證明：f(x)＝|x－2|－|x－5| ＝ 當2

6、． 10．(11分)(2020·蘇錫常鎮(zhèn)卷)已知a，b是不相等的正實數(shù)．求證：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2. 證明：因為a，b是正實數(shù)，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，當且僅當a2b＝a＝b2，即a＝b＝1時，等號成立； 同理：ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，當且僅當a＝b＝1時，等號成立． 所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2， 當且僅當a＝b＝1時，等號成立． 因為a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2. 11．(11分)(2020·南通卷)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a

7、＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍． 解：由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得≥f(x)． 又因為≥＝2，則有2≥f(x)． 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤. 12．(11分)(2020·福建)設(shè)不等式|2x－1|<1的解集為M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大小． 解：(1)由|2x－1|<1得，－1<2x－1<1， 解得00. 故ab＋1>a＋b. 13．(11分)(2020·課標)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值． 解：(1)當a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為 |x－1|≥2， 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得 |x－a|＋3x≤0. 此不等式化為不等式組 或 即或 因為a>0，所以不等式組的解集為. 由題設(shè)可得－＝－1，故a＝2.