立體幾何（文）【考綱解讀】1.掌握平面的基本性質(三個公理、三個推論)，理解確定平面的條件；會用字母、集合語言表示點、直線、平面間的關系.2.理解線線、線面平行的定義;熟練掌握線線、線面及面面平行的判定和性質;會運用線線、線面及面面平行的判定和性質進行推理和證明.3能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合)的三視圖,能識別上述三視圖所表示的立體模型,會畫它們的直觀圖.4理解空間中線線、線面垂直定義及分類；理解空間中線線、線面、面面垂直的有關定理及性質；會運用線面平行與垂直的判定與性質定理進行證明和推理.5認識柱、錐、臺、球及簡單幾何體的結構特征,并運用這些特征描述簡單物體的結構;了解柱、錐、臺、球的表面積與體積的計算公式(不要求記憶).【考點預測】1.對于空間幾何體中點、線、面的位置關系及平行與垂直的性質和判定，高考中常在選擇題中加以考查.解答題主要考查空間幾體的點、線、面的位置關系的證明及探索存在性問題，著重考查學生的空間想象能力、推理論證能力，運用圖形語言進行交流的能力及幾何直觀能力，難度中等.明年高考將仍以平行與垂直關系的證明探究為重點,注意命題題型的多樣化、新穎化，如開放性、探索存在性題型.2.三視圖與直觀圖、空間幾何體的表面積與體積，考查了學生通過直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及性質的基本能力，是每年高考必考內容，明年高考仍以三視圖，空間幾何體的表面積與體積為重點，在客觀題中加以考查，其中表面積與體積也可能在解答題題后一問中出現(xiàn)?！疽c梳理】1.三視圖：正俯視圖長對正、正側視圖高平齊、俯側視圖寬相等.2.直觀圖:已知圖形中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中保持長度不變,平行于y軸的線段平行性不變,但在直觀圖中其長度為原來的一半.3.體積與表面積公式:(1)柱體的體積公式:;錐體的體積公式: ;臺體的體積公式: ;球的體積公式: . (2)球的表面積公式: .4.有關球與正方體、長方體、圓柱、圓錐、圓臺的結合體問題，要抓住球的直徑與這些幾何體的有關元素的關系.5.平行與垂直關系的證明,熟練判定與性質定理.【考點在線】考點一 三視圖例1.（2020年高考海南卷文科第8題）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖，則相應的側視圖可以為（ ）【答案】D 【解析】由主視圖和府視圖可知，原幾何體是由后面是半個圓錐，前面是三棱錐的組合體，所以，左視圖是D.【名師點睛】本題考查三視圖的基礎知識.【備考提示】三視圖是高考的熱點之一,年年必考,所以必須熟練立體幾何中的有關定理是解答好本題的關鍵.練習1: （2020年高考江西卷文科9)將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左視圖為（ ）【答案】D 【解析】左視圖即是從正左方看，找特殊位置的可視點，連起來就可以得到答案.考點二 表面積與體積例2.(2020年高考安徽卷文科8)一個空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，兩底面積和為，四個側面的面積為，所以幾何體的表面積為.故選C.【名師點睛】本題考查三視圖的識別以及空間多面體表面積的求法.【備考提示】：表面積與體積的求解也是高考的熱點之一，年年必考，大多以三視圖為載體，在選擇與填空題中考查，難度不大，也可能在解答題的一個問號上.練習2：332正視圖側視圖俯視圖圖1（2020年高考湖南卷文科4)設圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( )A【答案】D【解析】有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構成的組合體，其體積.考點三 球的組合體例3. （2020年高考遼寧卷文科10)己知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點AB=2, 則棱錐的體積為( )(A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】取SC的中點D,則D為球心，則AD=BD=DS=2。因為ASC=BSC=45°，所以SDB=SDA=900，即ADSC,BDSC,ABD是等邊三角形，故棱錐S-ABC的體積等于棱錐S-ABD和棱錐C-ABD的體積和，即.【名師點睛】本小題考查三棱錐的外接球體積的求解,關鍵是找出球的半徑.【備考提示】：球的組合體,在高考中,經?？疾榍蚺c長方體、正方體、三棱錐、四棱錐、圓錐、圓柱等的組合，熟練這些幾何體與其外接球的半徑的關系是解決此類問題的關鍵.練習3：（2020年高考海南卷文科16)已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的,則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 .【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為,球半徑為,則,解得,所以對應球心距為,故小圓錐的高為,大圓錐的高為,所以之比為.考點四 空間中平行與垂直關系的證明集合問題大都比較抽象，解題時要盡可能借助文氏圖、數(shù)軸或直角坐標系等工具將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，然后利用數(shù)形結合的思想方法使問題靈活直觀地獲解例4. （2020年高考山東卷文科19)如圖，在四棱臺中，平面，底面是平行四邊形，60°. （）證明：；（）證明：.【解析】（）證明：因為，所以設AD=a,則AB=2a,又因為60°,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BDAD,又因為平面，所以BD,又因為, 所以平面,故.(2)連結AC,設ACBD=0, 連結,由底面是平行四邊形得:O是AC的中點,由四棱臺知:平面ABCD平面,因為這兩個平面同時都和平面相交,交線分別為AC、，故，又因為AB=2a, BC=a, ，所以可由余弦定理計算得AC=，又因為A1B1=2a, B1C1=, ，所以可由余弦定理計算得A1C1=，所以A1C1OC且A1C1=OC，故四邊形OCC1A1是平行四邊形，所以CC1A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以.【名師點睛】本題以四棱臺為載體,考查空間中平行與垂直關系的論證,考查空間想象能力、邏輯思維能力,分析問題與解決問題的能力.【備考提示】：熟練課本中有關平行與垂直的定理是解答好本類題的關鍵.練習4. (2020年高考江蘇卷16)如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點.求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.【解析】證明: （1）因為E、F分別是AP、AD的中點,所以EFPD,又因為EF平面PCD,PD平面PCD,所以直線EF平面PCD；（2）設AB=AD=,則AF=,又因為BAD=60°，所以在中,由余弦定理得：BF=，所以，所以BFAF，因為平面PAD平面ABCD，交線為AD，平面ABCD，所以BF平面PAD，因為平面BEF，所以平面BEF平面PAD.【易錯專區(qū)】問題：三視圖與表面積、體積例.（2020年高考陜西卷文科5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由三視圖可知該幾何體為立方體與圓錐，立方體棱長為2，圓錐底面半徑為1、高為2，所以體積為故選A.【名師點睛】：本小題以三視圖為載體考查空間幾何體的體積的求解【備考提示】：由三視圖準確判斷幾何體的形狀以及找出幾何體各個邊長是解答此類問題的關鍵所在.【考題回放】1.（2020年高考遼寧卷文科8)一個正三棱柱的側棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示左視圖是一個矩形則這個矩形的面積是( ) (A)4 (B) (c)2 (D) 【答案】B【解析】設正三棱柱的側棱長和底面邊長為a，則由，解得a=2，正三棱柱的左視圖與底面一邊垂直的截面大小相同，故該矩形的面積是.2. （2020年高考四川卷文科6)，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是( )（A）/ （B）,/（C）/ ，共面 （D），共點，共面【答案】B【解析】若則有三種位置關系，可能平行、相交或異面，故A不對.雖然，或共點，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正確.3（2020年高考福建卷文科3）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側面積等于 ( )A. B.2 C. D.6【答案】D【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，高為1的正三棱柱，所以底面積為，側面積為，選D.4（2020年高考山東卷文科4）在空間，下列命題正確的是( )A.平行直線的平行投影重合B.平行于同一直線的兩個平面平行C.垂直于同一平面的兩個平面平行D.垂直于同一平面的兩條直線平行【答案】D【解析】由空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質定理可以很容易得出答案。5(2020年高考北京卷文科5)一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側（左）視圖分別如右圖所示，則該集合體的俯視圖為( )6(2020年高考安徽卷文科9)一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是( )（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。.7（2020年高考遼寧卷文科11）已知是球表面上的點，則球的表面積等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：選A.由已知，球的直徑為，表面積為8. (2020年高考浙江卷文科8)若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是( )（A）cm3 （B）cm3（C）cm3 （D）cm3【答案】B【解析】本題主要考察了對三視圖所表達示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題9. (2020年高考寧夏卷文科7)設長方體的長、寬、高分別為2a、a、a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為( ) （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2【答案】B 【解析】根據(jù)題意球的半徑滿足，所以10（2020年高考湖北卷文科4）用、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：( )若，則；若，則；若，則；若，則.A. B. C. D.11（ 2020年高考全國卷文科6）直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于( )(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°【答案】C【解析】延長CA到D，使得，則為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，.12（ 2020年高考全國卷文科12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為( )(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】過CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB與P,設點P到CD的距離為,則有,當直徑通過AB與CD的中點時,故.13. （2020年高考福建卷文科15)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_.【答案】【解析】由于在正方體中,AB=2,所以AC=.又E為AD中點, EF平面AB1C，EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EFAC,所以F為DC中點,所以EF=.14（2020年高考天津卷文科12）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 .【答案】3【解析】由三視圖知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直棱柱，棱柱的高為1，梯形的上下底面邊長分別為1、2，梯形的高為2，所以這個幾何體的體積為。15（2020年高考上海卷文科6）已知四棱椎的底面是邊長為6 的正方形，側棱底面，且，則該四棱椎的體積是 。【答案】96【解析】考查棱錐體積公式16（2020年高考遼寧卷文科16）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為 .【答案】【解析】圖中四棱錐即是，所以最長的一條棱的長為17 。(2020年高考寧夏卷文科15)一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號).三棱錐 四棱錐 三棱柱 四棱柱 圓錐 圓柱【答案】18（2020年高考湖北卷文科14）圓柱形容器內盛有高度為3cm的水，若放入三個相同的珠（球的半么與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是_cm.【答案】4【解析】設球半徑為r，則由可得,解得r=4.19（2020年高考山東卷文科20）（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別為、的中點，且.（I）求證：平面平面；（II）求三棱錐與四棱錐的體積 之比.【解析】（I）證明：由已知MA 平面ABCD，PD MA， 所以 PD平面ABCD又 BC 平面ABCD，因為 四邊形ABCD為正方形，所以 PD BC 又 PDDC=D， 因此 BC平面PDC在PBC中，因為G平分為PC的中點，所以 GFBC因此 GF平面PDC又 GF 平面EFG，所以 平面EFG平面PDC.（ ）解：因為PD平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，不妨設MA=1， 則 PD=AD=2，ABCD 所以 Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD，PD=8/3 由于 DA面MAB的距離 所以 DA即為點P到平面MAB的距離，三棱錐 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以 Vp-MAB：p-ABCD=1:4。【高考沖策演練】一、選擇題：1（2020年高考廣東卷A文科第6題）給定下列四個命題： 若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； 若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行；w.w.w.c.o.m 若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直. 其中，為真命題的是 （ ）A和 B和 C和 D和 【答案】D【解析】錯, 正確, 錯, 正確.故選D2（2020年高考湖南卷文科第6題）平面六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為（ ）A3 B4 C5 D6 【答案】C【解析】如圖，用列舉法知合要求的棱為：、，故選C.3. (山東省青島市2020年3月高考第一次模擬)已知直線 、，平面、，且，則是的( ).充要條件 .充分不必要條件 .必要不充分條件 .既不充分也不必要條件【答案】B4(山東省濟寧市2020年3月高三第一次模擬)已知a、b為直線，、為平面在下列四個命題中， 若a，b，則ab ； 若 a，b ，則ab； 若a，a，則； 若b，b ，則正確命題的個數(shù)是 （ ） A 1 B 3 C 2 D 0【答案】C【解析】由“垂直于同一平面的兩直線平行”知真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知真；易知假，選C5. （山東省泰安市2020屆高三上學期期末文科）設l、m、n為不同的直線，為不同的平面，有如下四個命題：( )若若若若A.0B.1C.2D.3【答案】B6. （山東省濟南一中2020屆高三上學期期末文科）已知正三棱錐的主視圖、俯視圖如下圖所示，其中VA=4，AC=,則該三棱錐的左視圖的面積 ( )A9 B6 C D【答案】B7(山東省煙臺市2020屆高三上學期期末文科)已知空間兩條不同的直線和兩個不同的平面，則下列命題中正確的是A若 B若C若 D若【答案】D8(2020年高考廣東卷文科9)如圖1-3，某幾何體的正視圖（主視圖），側視圖（左視圖）和俯視圖分別為等邊三角形、等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為（ ）A B C D 2【答案】C【解析】由題得該幾何體是如圖所示的四棱錐P-ABCD，所以選擇C.9.（2020年高考浙江卷文科4)若直線不平行于平面，且，則（ ）(A) 內的所有直線與異面 (B) 內不存在與平行的直線(C) 內存在唯一的直線與平行 (D) 內的直線與都相交【答案】 B【解析】直線不平行于平面，所以與相交，故選B。10（2020年高考重慶卷文科10)高為的四棱錐的底面是邊長為1的正方形，點、均在半徑為1的同一球面上，則底面的中心與頂點之間的距離為（ ）A B C D【答案】A11（2020年高考湖北卷文科7)設球的體積為V1,它的內接正方體的體積為V2，下列說法中最合適的是( )A. V1比V2大約多一半B. V1比V2大約多兩倍半C. V1比V2大約多一倍D. V1比V2大約多一倍半【答案】D【解析】設球半徑為R，其內接正方體棱長為a，則，即由，比較可得應選D.12.（2020年高考山東卷文科11)下圖是長和寬分別相等的兩個矩形給定下列三個命題：存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖其中真命題的個數(shù)是( ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】對于,可以是放倒的三棱柱；容易判斷可以.二填空題：13（2020年高考江蘇卷第12題）設和為不重合的兩個平面，給出下列命題：（1）若內的兩條相交直線分別平行于內的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內的一條直線平行，則和平行；（3）設和相交于直線，若內有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）.【答案】(1)(2)14. (山東省濟南市2020年2月高三教學質量調研文科)已知右上圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為 . 【答案】815. （2020年高考福建卷文科15)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_.【答案】【解析】由于在正方體中,AB=2,所以AC=.又E為AD中點, EF平面AB1C，EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EFAC,所以F為DC中點,所以EF=.16.（2020年高考全國卷文科15)已知正方體中，E為的中點，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為 .【答案】【解析】取的中點，為所求角，設棱長為2，則，三解答題：17（2020年高考福建卷文科20)（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點E在線段AD上，且CEAB。（1） 求證：CE平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積【解析】(1)證明:因為PA平面ABCD,CE平面ABCD,所以PACE,因為ABAD,CEAB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD.(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.又因為AB=CE=1,ABCE,所以四邊形ABCE為矩形,所以=,又PA平面ABCD,PA=1,所以四棱錐P-ABCD的體積等于.18. （2020年高考山東卷文科第18題）如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分別是棱AD、AA的中點.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D ()設F是AB的中點, 證明：直線EE/平面FCC；()證明:平面平面【解析】（）（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，連結，由于,所以平面,因此平面即為平面,連結A1D，CF1，由于CDA1F1CD,所以四邊形A1F1CD為平行四邊形，因此CF1/A1D，又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因為平面FCC，平面FCC，所以直線EE/平面FCC. ()證明:連結AC,在中,FC=BC=FB,又F為AB的中點,所以AF=FC=FB,所以ACBC,又AC,且,所以AC平面,又平面,故平面平面.19(2020年高考安徽卷文科19)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90°，BF=FC,H為BC的中點，()求證：FH平面EDB;（）求證：AC平面EDB; （）求四面體BDEF的體積；【解析】（1）設底面對角線交點為G，則可以通過證明EGFH，得平面；（2）利用線線、線面的平行與垂直關系，證明FH平面ABCD，得FHBC，F(xiàn)HAC，進而得EGAC，平面；（3）證明BF平面CDEF，得BF為四面體B-DEF的高，進而求體20(山東省青島市2020年3月高考第一次模擬文科)如圖所示,正方形與梯形所在的平面互相垂直, .()求證：；()在上找一點,使得平面,請確定點的位置,并給出證明證明： ()因為正方形與梯形所在的平面互相垂直，所以平面1分因為，所以取中點，連接則由題意知：四邊形為正方形所以，則為等腰直角三角形則5分則平面EBACNDFM則7分 ()取中點，則有平面8分證明如下：連接由()知，所以 平面又因為、分別為、的中點，所以 則平面10分則平面平面，所以平面12分21. （山東省濟南一中2020屆高三上學期期末文科）如圖所示，平面平面，為正方形， ，且分別是線段的中點。（1）求證：/平面 ；（2）求三棱錐的體積。【解析】（1）證明：分別是線段PA、PD的中點，2分又ABCD為正方形，BC/AD，BC/EF。4分又平面EFG，EF平面EFG，BC/平面EFG 6分（2）平面PAD平面ABCD，CDAD，CD平面PAD，即GD平面AEF。8分又EF/AD，PAAD，EFAE。10分又 12分22（2020年高考湖南卷文科19)如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點（I）證明：（II）求直線和平面所成角的正弦值【解析】（I）因為又內的兩條相交直線，所以（II）由（I）知，又所以平面在平面中，過作則連結，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角在在