大題專項練習(xí)(三)　統(tǒng)計與概率 1．[2020·江蘇模擬]在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另外5人接受乙種心理暗示． (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)． 2．[2020·黃岡中學(xué)模擬]隨著電商的快速發(fā)展，快遞業(yè)突飛猛進(jìn)，到目前，中國擁有世界上最大的快遞市場．某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過1 kg的包裹收費(fèi)10元；重量超過1 kg的包裹，在收費(fèi)10元的基礎(chǔ)上，每超過1 kg(不足1 kg，按1 kg計算)需再收5元． 該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下： 包裹重量(單位：kg) (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 包裹件數(shù) 43 30 15 8 4 公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表： 包裹件數(shù)范圍 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 450 天數(shù) 6 6 30 12 6 以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率． (1)計算該公司未來5天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101～300之間的概率； (2)估計該公司對每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值． 3．[2020·全國卷Ⅰ]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0. (2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． (ⅰ)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX； (ⅱ)以檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 4．[2020·安徽安慶一中模擬]為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象(能力指標(biāo)x)、推理(能力指標(biāo)y)、建模(能力指標(biāo)z)的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標(biāo)w＝x＋y＋z的值評定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若w≥7，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若5≤w≤6，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級；若3≤w≤4，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下： 學(xué)生編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 (x，y，z) (2,2,3) (3,2,2) (3,3,3) (1,2,2) (2,3,2) (2,3,3) (2,2,2) (2,3,3) (2,1,1) (2,2,2) (1)在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率； (2)從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為a，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級不是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為b，記隨機(jī)變量X＝a－b，求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望． 5．[2020·長沙市周南三模]某省級示范高中高三年級對考試的評價指標(biāo)中，有“難度系數(shù)”“區(qū)分度”和“綜合”三個指標(biāo)，其中，難度系數(shù)x＝，區(qū)分度y＝，綜合指標(biāo)p＝－x2＋x＋y.以下是高三年級6次考試的統(tǒng)計數(shù)據(jù)： i 1 2 3 4 5 6 難度系數(shù)xi 0.66 0.72 0.73 0.77 0.78 0.84 區(qū)分度yi 0.19 0.24 0.23 0.23 0.21 0.16 (1)計算相關(guān)系數(shù)r，若|r|≥0.75，則認(rèn)為y與x的相關(guān)性強(qiáng)；通過計算相關(guān)系數(shù)r，能否認(rèn)為y與x的相關(guān)性很強(qiáng)(結(jié)果保留兩位小數(shù))? (2)根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)x∈(0.7,0.8)時，區(qū)分度y與難度系數(shù)x的相關(guān)性較強(qiáng)，從以上數(shù)據(jù)中剔除(0.7,0.8)以外的x值，即x1，x6. (ⅰ)寫出剩下4組數(shù)據(jù)的線性回歸方程(，保留兩位小數(shù))； (ⅱ)假設(shè)當(dāng)x∈(0.7,0.8)時，y與x的關(guān)系依從(ⅰ)中的回歸方程，當(dāng)x為何值時，綜合指標(biāo)p的值最大？ 參考數(shù)據(jù)：iyi≈0.94, ≈0.0093， iyi≈0.68，(xi－)2＝0.0026. 參考公式： 相關(guān)系數(shù)r＝＝ 回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式為： ＝＝，＝－. 6．[2020·湖北鄂州第三次模擬]為了解某校高二學(xué)生寒假日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取500名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，由調(diào)查結(jié)果得如下頻率分布直方圖． (1)求這500名學(xué)生寒假日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間的樣本平均數(shù)x，中位數(shù)和樣本方差S2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值做代表)； (2)由直方圖認(rèn)為該校高二學(xué)生寒假日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差S2. (ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(100<x≤122.8)； (ⅱ)若隨機(jī)從該校高二學(xué)生中抽取200名學(xué)生，記ξ表示這200名學(xué)生寒假日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間應(yīng)位于(100,122.8)的人數(shù)，利用(ⅰ)的結(jié)果，求E(ξ)． 附：≈11.4，若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.