第三十四講基本不等式及其應(yīng)用班級(jí)_姓名_考號(hào)_日期_得分_一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi))1“a>0且b>0”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案：A2設(shè)a、bR，且ab4，則有()A.B.1C.2 D.解析：由a，bR*，且ab4得242，又由，即.由此可知，A，C，D都不正確，則只有B正確，故選B.答案：B3設(shè)0<x<1，a，b都為大于零的常數(shù)，則的最小值為()A(ab)2 B(ab)2Ca2b2 Da2解析：(1xx)()a2b2a2b22ab(ab)2.選B.答案：B4已知x2y2a，m2n2b，且ab，則mxny的最大值是()A. B.C. D.分析：由條件x2y2a，m2n2b易聯(lián)想到三角換元解析：令xcos，ysin，0,2)，mcos，nsin，0,2)，則mxnycoscossinsin(coscossinsin)cos()cos()1，mxny的最大值為.答案：A評(píng)析：此題若使用均值不等式，即mxny，會(huì)錯(cuò)選B，因?yàn)樯鲜霾坏仁健啊辈荒苋〉?設(shè)a>b>c>0，則2a210ac25c2的最小值是()A2 B4C2 D5解析：原式a2a210ac25c2a2(a5c)2a204，當(dāng)且僅當(dāng)bab、a5c且a2，即a2b5c時(shí)“”都成立，故原式的最小值為4，選B.答案：B6已知x>0，y>0，x2y2xy8，則x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析：依題意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x2y4，當(dāng)且僅當(dāng)x12y1，即x2，y1時(shí)取等號(hào)，故x2y的最小值是4，選B.答案：B二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上)7在“1”中的“_”處分別填上一個(gè)自然數(shù)，使它們的和最小，并求出其和的最小值_分析：.本題條件、結(jié)論皆開(kāi)放，可設(shè)所要填寫的兩數(shù)分別為x，y，再利用均值定理去探索解析：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)分別為x，y，則有xy(xy)1313225，當(dāng)且僅當(dāng)，且1，即x10，y15時(shí)等號(hào)成立，故分別填10和15，其和的最小值為25.答案：101525評(píng)析：本題解答的關(guān)鍵是將已知中的“1”代換應(yīng)用均值定理求函數(shù)的最值時(shí)，必須注意“一正二定三相等”8若a，b是正常數(shù)，ab，x，y(0，)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)(x)的最小值為_(kāi)，取最小值時(shí)x的值為_(kāi)解析：f(x)25.當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)上式取最小值，即f(x)min25.答案：259(精選考題·重慶)已知t>0，則函數(shù)y的最小值為_(kāi)解析：依題意得yt4242，此時(shí)t1，即函數(shù)y(t>0)的最小值是2.答案：210(精選考題·浙江)若正實(shí)數(shù)x，y滿足2xy6xy，則xy的最小值是_解析：由基本不等式得xy26，令t得不等式t22t60，解得t(舍去)或者t3，故xy的最小值為18.答案：18三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過(guò)程或推演步驟)11設(shè)a、b、c為正數(shù)，求證abc分析：通過(guò)觀察可得：·c2，·b2，·a2從而利用基本不等式即可證明：a、b、c均是正數(shù)，均是正數(shù)2c，2a，2b三式相加得：22(abc)abc評(píng)析：先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)，(注意限制條件)通過(guò)相加(乘)合成為待證的不等式，既是運(yùn)用基本不等式時(shí)的一種重要技能，也是證明不等式時(shí)的一種常用方法12設(shè)函數(shù)f(x)x，x0，)(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值解：(1)把a(bǔ)2代入f(x)x中，得f(x)xx11.由于x0，)，所以x1>0，>0.所以f(x)21.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為21.(2)因?yàn)閒(x)xx11，(此時(shí)再利用(1)的方法，等號(hào)取不到)設(shè)x1>x20，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)·.由于x1>x20，所以x1x2>0，x11>1，x211.所以(x11)(x21)>1.而0<a<1，所以<1.所以f(x1)f(x2)>0.即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在0，)上單調(diào)遞增所以f(x)minf(0)a.評(píng)析：(2)問(wèn)中因等號(hào)不能取到，所以考慮使用函數(shù)單調(diào)性，由此提醒我們時(shí)刻注意三個(gè)條件，在變形時(shí)拆分項(xiàng)及配湊因式是常用的方法13某廠為適應(yīng)市場(chǎng)需求，投入98萬(wàn)元引進(jìn)世界先進(jìn)設(shè)備，并馬上投入生產(chǎn)，第一年需各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬(wàn)元而每年因引入該設(shè)備可獲得年利潤(rùn)為50萬(wàn)元請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決以下問(wèn)題：(1)引進(jìn)該設(shè)備多少年后，開(kāi)始盈利？(2)引進(jìn)該設(shè)備若干年后，有兩種處理方案：第一種：年平均利潤(rùn)達(dá)到最大值時(shí)，以26萬(wàn)元的價(jià)格賣出第二種：盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣出問(wèn)哪種方案較為合算？解：開(kāi)始盈利就是指所獲利潤(rùn)大于投資總數(shù)，據(jù)此建立不等式求解；所謂方案最合理，就是指賣出設(shè)備時(shí)的年平均利潤(rùn)較大，因此只需將兩種方案的年平均利潤(rùn)分別求出，進(jìn)行比較即可(1)設(shè)引進(jìn)該設(shè)備x年后開(kāi)始盈利盈利額為y萬(wàn)元?jiǎng)ty50x982x240x98，令y>0，得10<x<10，xN*，3x17.即引進(jìn)該設(shè)備三年后開(kāi)始盈利；(2)第一種：年平均盈利為，2x4024012，當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x7時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，共盈利12×726110萬(wàn)元第二種：盈利總額y2(x10)2102，當(dāng)x10時(shí)，取得最大值102，即經(jīng)過(guò)10年盈利總額最大，共計(jì)盈利1028110萬(wàn)元兩種方案獲利相等，但由于方案二時(shí)間長(zhǎng)，所以采用方案一合算評(píng)析：用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般都是求某個(gè)量的最值，這時(shí)，先把要求最值的量表示為某個(gè)變量的函數(shù)，再利用基本不等式求該函數(shù)的最值，求最值時(shí)，仍要滿足前面所說(shuō)的三個(gè)求最值的要求有些實(shí)際問(wèn)題中，要求最值的量需要用幾個(gè)變量表示，同時(shí)，這幾個(gè)變量滿足某個(gè)關(guān)系式，這時(shí)，問(wèn)題變成了一個(gè)條件最值，可用前面的求條件最值的方法求最值