第三十三講二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題班級_姓名_考號_日期_得分_一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi))1已知點(3，1)和(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍為()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)解析：根據(jù)題意知(92a)(1212a)<0，即(a7)(a24)<0，7<a<24.答案：B2若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是()AaB0<a1C1a D0<a1或a解析：先把前三個不等式表示的平面區(qū)域畫出來，如圖此時可行域為AOB及其內(nèi)部，交點B為，故當(dāng)xya過點B時a，所以a時可行域仍為AOB，當(dāng)xya恰為A點時，a101，故當(dāng)0<a1時可行域也為三角形故0<a1或a.答案：D3已知實數(shù)x、y滿足：則z|x2y4|的最大值()A18B19C20D21解析：z|x2y4|·，可以看做是對應(yīng)的平面區(qū)域內(nèi)的點到直線x2y40的距離的倍，結(jié)合圖形可知|x2y4|的最大值是z·21，故選D.答案：D4給出平面區(qū)域(包括邊界)如圖所示，若使目標(biāo)函數(shù)zaxy(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值為()A. B.C. 4 D.解析：由題意分析知，目標(biāo)函數(shù)zaxy(a>0)所在直線與直線AC重合時，滿足題意，則由akAC，得a.故選B.答案：B5如果實數(shù)x，y滿足目標(biāo)函數(shù)zkxy的最大值為12，最小值為3，那么實數(shù)k的值為()A2 B2C. D不存在解析：如圖為所對應(yīng)的平面區(qū)域，由直線方程聯(lián)立方程組易得點A，B(1,1)，C(5,2)，由于3x5y250在y軸上的截距為5，故目標(biāo)函數(shù)zkxy的斜率k<，即k>.將k2代入，過點B的截距z2×113.過點C的截距z2×5212.符合題意故k2.故應(yīng)選A.答案：A6在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界)，若目標(biāo)函數(shù)zxay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則的最大值是()A. B.C. D.解析：目標(biāo)函數(shù)zxay可化為yxz，由題意a<0且當(dāng)直線yxz與lAC重合時符合題意此時kAC1，a1.的幾何意義是區(qū)域內(nèi)動點與(1,0)點連線的斜率顯然最大故選B.答案：B二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上)7若x，y滿足則(x1)2(y1)2的取值范圍是_解析：可行域如圖：(x1)2(y1)2表示點(1,1)到可行域內(nèi)點的距離的平方，根據(jù)圖象可得(x1)2(y1)2的取值范圍是.答案：8設(shè)m為實數(shù)，若(x，y)|x2y225，則m的取值范圍是_解析：由題意知，可行域應(yīng)在圓內(nèi)，如圖如果m>0，則可行域取到，不能在圓內(nèi)；故m0，即m0.當(dāng)mxy0繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)時，直線過B點時為邊界位置此時m，m.0m.答案：0m9某實驗室需購某處化工原料106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價格為140元；另一種是每袋24千克，價格是120元在滿足需要的條件下，最少需花費_解析：設(shè)需要35千克的x袋，24千克的y袋，則總的花費為z元，則求z140x120y的最小值由圖解法求出zmin500，此時x1，y3.另外，本題也可以列舉出z的所有可能取值，再求其中的最小值由于x0,1,2,3,4時相應(yīng)的y值和花費如下：當(dāng)x0，y5時，z600；當(dāng)x1，y3時，z500；當(dāng)x2，y2時，z520；當(dāng)x3，y1時，z540；當(dāng)x4，y0時，z560.易見最少花費是500元答案：500元10當(dāng)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積最小時，實數(shù)k的值等于_解析：不等式組所表示的區(qū)域由三條直線圍成，其中有一條直線kxy2k0(k<0)是不確定的，但這條直線可化為y2k(x1)，所以它經(jīng)過一個定點(1,2)，因此問題轉(zhuǎn)化為求經(jīng)過定點(1,2)的直線與兩坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形的面積的最小值問題如圖所示，設(shè)圍成區(qū)域的面積為S，則S·|OA|·|OB|·|2k|·，因為k<0，所以k>0，有S(42)4，當(dāng)且僅當(dāng)k，即k2時，平面區(qū)域最小故填2.答案：2三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟)11某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計180 m2，擬分隔成兩類房間作為旅游客房大房間每間面積18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大效益？解：設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x，y滿足可行域為如圖所示的陰影(含邊界)作直線l：200x150y0，即直線l：4x3y0把直線l向右上方平移至l1的位置時，交點為B，且與原點的距離最大，此時z200x150y解方程組得到B.由于點B的坐標(biāo)不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中的x，y必須都是整數(shù)，所以，可行域內(nèi)的點B不是最優(yōu)解，通過檢驗，要求經(jīng)過可行域內(nèi)的整點，且使z200x150y取得最大值，經(jīng)過的整點是(0,12)和(3,8)此時z取最大值1800元于是，隔出小房間12間，或大房間3間，小房間8間，可以獲得最大收益評析：本題是一道用線性規(guī)劃求解的實際應(yīng)用問題，難點在于求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解這里所用到的方法即是“局部微調(diào)法”，需要先判斷出在B點取得最大值，再在B點附近區(qū)域做微調(diào)，找到滿足題意的整數(shù)解12設(shè)實數(shù)x、y滿足不等式組(1)求作點(x，y)所在的平面區(qū)域；(2)設(shè)a>1，在(1)所求的區(qū)域內(nèi)，求函數(shù)f(x，y)yax的最大值和最小值分析：先把已知不等式組轉(zhuǎn)化為等價的線性約束條件，然后作出可行域，并找出最優(yōu)解解：(1)已知的不等式組等價于或解得點(x，y)所在平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分(含邊界)其中AB：y2x5；BC：xy4；CD：y2x1；DA：xy1.(2)f(x，y)表示直線l：yaxb在y軸上的截距，且直線l與(1)中所求區(qū)域有公共點a>1，當(dāng)直線l過頂點C時，f(x，y)最大C點的坐標(biāo)為(3,7)，f(x，y)的最大值為73a.如果1<a2，那么直線l過頂點A(2，1)時，f(x，y)最小，最小值為12a.如果a>2，那么直線l過頂點B(3,1)時，f(x，y)最小，最小值為13a.評析：本題是一道綜合題，利用化歸和討論的思想將問題分解為一些簡單問題，從而使問題迎刃而解13已知x，y滿足條件：M(2,1)，P(x，y)求：(1)的取值范圍；(2)的最大值；(3)| |cosMOP的最小值解：如圖所示，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域：其中A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)(1)可以理解為區(qū)域內(nèi)的點與點D(4，7)連線的斜率由圖可知，連線與直線BD重合時，傾斜角最小且為銳角；連線與直線CD重合時，傾斜角最大且為銳角kDB，kCD9，所以的取值范圍為.(2)由于(2,1)·(x，y)2xy，令z2xy，則y2xz，z表示直線y2xz在y軸上的截距，由可行域可知，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過A點時，z取到最大值，這時z的最大值為zmax2×419.(3) cosMOP，令z2xy，則y2xz，z表示直線y2xz在y軸上的截距，由(3)可知，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過B點時，z取到最小值，這時z的最小值為zmax2×(1)68，所以cosMOP的最小值等于.評析：本題是一道求解線性約束條件下非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題的題目，這類問題有比較典型的解析幾何背景和平面向量的意義，一般地，在解答時常常借助幾何圖形的直觀性求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用