第九單元 第五節(jié)一、選擇題1給定空間中的直線l及平面，條件“直線l與平面內兩條相交直線都垂直”是“直線l與平面垂直”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件【解析】直線l與平面內兩條相交直線都垂直，是線面垂直判定定理的條件，故為充要條件【答案】C2空間四邊形ABCD中，若ABBC，ADCD，E為對角線AC的中點，下列判斷正確的是()A面ABD面BDC B面ABC面ABDC面ABC面ADC D面ABC面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E為底邊AC的中點，則BEAC，DEAC.又BEDEE，AC面BDE，故面ABC面BDE，面ADC面BDE.【答案】D3對兩條不相交的空間直線a和b，必定存在平面，使得 ()Aa，b Ba，bCa，b Da，b【解析】當a，b異面時，A不成立；當a，b不平行時，C不成立；當a，b不垂直時，D不成立故選B.【答案】B4設直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A在平面內有且只有一條直線與直線m垂直B過直線m有且只有一個平面與平面垂直 C與直線m垂直的直線不可能與平面平行 D與直線m平行的平面不可能與平面垂直 【解析】在平面內有無數(shù)條彼此平行的直線與直線m垂直，與直線m垂直的直線可能與平面平行，與直線m平行的平面可能與平面垂直故A，C，D錯誤【答案】B5設a，b，c是空間三條直線，是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是()A當c時，若c，則B當b，且c是a在內的射影時，若bc，則abC當b時，若b，則D當b，且c時，若c，則bc【解析】，b，b不一定垂直于.故C錯誤【答案】C6命題p：若平面，平面，則必有；命題q：若平面上不共線的三點到平面的距離相等，則必有.對以上兩個命題，下列結論中正確的是()A命題“p且q”為真 B命題“p或綈q”為假 C命題“p或q”為假 D命題“綈p且綈q”為假【解析】命題p，命題q皆為假，所以命題C正確【答案】C7如圖，已知ABC為直角三角形，其中ACB90°，M為AB的中點，PM垂直于ABC所在的平面，那么()APAPB>PCBPAPB<PCCPAPBPCDPAPBPC【解析】M為AB的中點，ACB為直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.【答案】C二、填空題8m、n是不同的直線，、是不同的平面，有以下四個命題：若，則；若，m，則m；若m，m，則；若mn，n，則m.其中真命題的序號是_【解析】由平面平行的傳遞性知正確，由面面垂直的判定定理知正確【答案】9P為ABC所在平面外一點，ACa，連接PA、PB、PC，得PAB和PBC都是邊長為a的等邊三角形，則平面ABC和平面PAC的位置關系為_【解析】如圖所示，由題意知PAPBPCABBCa，取AC中點D，連接PD、BD，則PDAC，BDAC，則BDP為二面角PACB的平面角，又ACa，PDBDa，在PBD中，PB2BD2PD2，PDB90°.【答案】垂直10(精選考題·四川高考)如圖所示，二面角l的大小是60°，線段AB，Bl，AB與l所成的角為30°，則AB與平面所成的角的正弦值是_【解析】如圖，過點A作平面的垂線，垂足為C，在內過C作l的垂線，垂足為D，連接AD，由線面垂直關系可知ADl，故ADC為二面角l的平面角，ADC60°.連接CB，則ABC為AB與平面所成的角設AD2，則AC，CD1，AB4，sinABC.【答案】三、解答題11如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點求證：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【證明】(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC, ABC60°，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.12(精選考題·江蘇高考)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90°.(1)求證：PCBC；(2)求點A到平面PBC的距離【解析】(1)證明：PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC.由BCD90°，得BCDC.又PDDCD，BC平面PCD.PC平面PCD，PCBC.(2)如圖，連接AC.設點A到平面PBC的距離為h.ABDC，BCD90°，ABC90°.從而由AB2，BC1，得ABC的面積SABC1.由PD平面ABCD及PD1，得三棱錐PABC的體積VSABC·PD.PD平面ABCD，DC平面ABCD，PDDC.又PDDC1，PC.由PCBC，BC1，得PBC的面積SPBC.由V SPBCh×h，得h.因此點A到平面PBC的距離為.