第六、七模塊數(shù)列不等式推理與證明一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1在等比數(shù)列an中，若a3a5a7a9a11243，則的值為()A9B1C2 D3解析：a3a5a7a9a11aq30243，所以a1q63.故選D.答案：D2在等比數(shù)列an中，an>an1，且a7·a116，a4a145，則等于()A. B.C D解析：即a4，a14可視為方程x25x60的兩根，又an>an1，故a43，a142，從而.故選B.答案：B3在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，an，則通項(xiàng)公式為an()A. BnC. Dn2解析：當(dāng)n2時(shí)，an，取倒數(shù)得1，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，則n，an，且a11也適合an.故選C.答案：C4已知0<a<b<c<1，且a、b、c成等比數(shù)列，n為大于1的整數(shù)，則logan，logbn，logcn()A成等差數(shù)列B成等比數(shù)列C各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列D各項(xiàng)倒數(shù)成等比數(shù)列解析：b2ac，lognalognclogn(ac)lognb22lognb.故選C.答案：C5已知a11，ann(an1an)(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是()Aan2n1 BCann2 Dann解析：ann(an1an)，an××××××a1××××××1n.故選D.答案：D6已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積等于Tn (nN*)，bnlog2an，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn中的最大值是()AS6 BS5CS4 DS3解析：Snb1b2bnlog2(a1a2an)log2Tn12n2n22(n3)218，n3時(shí)，Sn的值最大故選D.答案：D7已知a，bR，且a>b，則下列不等式中恒成立的是()Aa2>b2B.Clg(ab)>0 D.>1解析：對(duì)于A、D，當(dāng)a0，b1時(shí)不成立；對(duì)于C，當(dāng)a2，b時(shí)不成立，故應(yīng)選B.答案：B8設(shè)a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()A(ab)4 Ba3b32ab2Ca2b222a2b D.解析：對(duì)于B，當(dāng)a0，b1時(shí)不成立，故應(yīng)選B.答案：B9當(dāng)點(diǎn)M(x，y)在如圖所示的三角形ABC內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)zkxy取得最大值的一個(gè)最優(yōu)解為(1,2)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(，11，)B1,1C(，1)(1，)D(1,1)解析：當(dāng)k>0時(shí)，要使函數(shù)在C點(diǎn)取得最大值只需kBCk01k<00<k1，當(dāng)k<0時(shí)同理可得：0<kkAC0<k11k<0，易知當(dāng)k0時(shí)也適合，故1k1.故選B.答案：B10設(shè)函數(shù)f(x)，若f(x0)>0，則x0的取值范圍是()A(，1)(1，)B(，1)(0，)C(1,0)(0,1)D(1,0)(0，)解析：當(dāng)x0<0時(shí)，則lg|x0|>0，|x0|>1，x0<1，當(dāng)x00時(shí)，則2x01>0，2x0>1，x0>0.綜上知，x0的范圍是(，1)(0，)答案：B11已知a>b>0，ab1，則的最小值是()A2 B.C2 D1解析：記abt，則t>0，t2(當(dāng)且僅當(dāng)t，即a，b時(shí)取等號(hào))故選A.答案：A12下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是()A式子1kk2kn(n1,2，)當(dāng)n1時(shí)，恒為1B式子1kk2kn1(n1,2)當(dāng)n1時(shí)，恒為1kC式子(n1,2，)當(dāng)n1時(shí)，恒為D設(shè)f(n)(nN*)，則f(k1)f(k)答案：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上13已知Sn是等差數(shù)列an(nN*)的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有下列四個(gè)命題：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)數(shù)列Sn中的最大項(xiàng)為S11，其中正確命題的序號(hào)是_解析：由S6>S7>S5，得a7S7S6<0，a6a7S7S5>0，所以a6>0，a7<0，所以d<0，所以(1)正確；又S1111a6>0，所以(2)也正確；而S126(a1a12)6(a6a7)>0，所以(3)不正確；由上知，數(shù)列Sn中的最大項(xiàng)應(yīng)為S6，所以(4)也不正確，所以正確命題的序號(hào)是(1)(2)答案：(1)(2)14在數(shù)列an中，如果對(duì)任意nN*都有k(k為常數(shù))，則稱an為等差比數(shù)列，k稱為公差比現(xiàn)給出下列命題：(1)等差比數(shù)列的公差比一定不為0；(2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；(3)若an3n2，則數(shù)列an是等差比數(shù)列；(4)若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比其中正確的命題的序號(hào)為_(kāi)解析：若k0，an為常數(shù)，分母無(wú)意義，(1)正確；公差為0的等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，(2)錯(cuò)誤；3，滿足定義，(3)正確；設(shè)ana1qn1，則q，(4)正確答案：(1)(3)(4)15不等式<1的解集為x|x<1或x>2，那么a的值為_(kāi)解析：不等式<1可化為<0，即(x1)(a1)x1<0，由題意知2，a.答案：16已知點(diǎn)P(x，y)滿足條件(k為常數(shù))，若zx3y的最大值為8，則k_.解析：由題意知k<0，且當(dāng)zx3y經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)取最大值(如圖)，由得xy，代入zx3y得8k，即k6.答案：6三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17(10分)(2020·天津市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)為a1，4,2a，記前n項(xiàng)和為Sn.(1)設(shè)Sk2550，求a和k的值；(2)設(shè)bn，求b3b7b11b4n1的值解：(1)由已知得a1a1，a24，a32a，又a1a32a2，(a1)2a8，即a3.a12，公差da2a12.由Skka1d，得2k×22550，即k2k25500，解得k50或k51(舍去)a3，k50.(2)由Snna1d，得Sn2n×2n2n.bnn1.bn是等差數(shù)列則b3b7b11b4n1(31)(71)(111)(4n11)2n(n1)18(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且2，an，Sn成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnlog2an，cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由題意知2anSn2，an>0，當(dāng)n1時(shí)，2a1a12，a12.當(dāng)n2時(shí)，Sn2an2，Sn12an12，兩式相減得an2an2an1，整理得2.數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an2×2n12n.當(dāng)n1時(shí)，上式亦成立，an2n.(2)由(1)知an2n，bnn，cn，Tn，Tn，得Tn，Tn1，Tn2.19(12分)已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)，a0，f(1)1，且使f(x)2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)若數(shù)列an滿足a1，an1f(an)，bn1，nN*，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求出bn的通項(xiàng)公式；(3)在(2)的條件下，證明：a1b1a2b2anbn<1(nN*)解：(1)由f(x)，f(1)1，得a2b1.由f(x)2x只有一解，即2x，也就是2ax22(1b)x0(a0)只有一解，b1.a1.故f(x).(2)an1f(an)(nN*)，bn1，bn為等比數(shù)列，q.又a1，b11，bnb1qn1n1n(nN*)(3)證明：anbnan1an1，a1b1a2b2anbn<1<1(nN*)20(12分)已知集合A，集合Bx|x2(2m1)xm2m<0(1)求集合A，B；(2)若BA，求m的取值范圍解：(1)102x<2，即Ax|2x<2；x2(2m1)xm2m<0(xm)x(m1)<0m<x<m1，即Bx|m<x<m1(2)BA2m1.21(12分)解關(guān)于x的不等式：x|xa|(a>0)解：xa時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為即，解得axa.當(dāng)x<a時(shí)不等式可化為即，解得x或x<a，故不等式的解集為(，.22(12分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所消耗的電能和煤、所需工人人數(shù)以及所得產(chǎn)值如表所示：品種電能(千度)煤(噸)工人人數(shù)(人)產(chǎn)值(萬(wàn)元)甲2357乙85210已知該工廠的工人最多是200人，根據(jù)限額，該工廠每天消耗電能不得超過(guò)160千度，消耗煤不得超過(guò)150噸，怎樣安排甲、乙這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，才能使每天所得的產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值是多少解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每天分別生產(chǎn)x噸和y噸，則每天所得的產(chǎn)值為z7x10y(萬(wàn)元)依題意，得不等式組(*)由解得由解得不等式組(*)所表示的平面區(qū)域是四邊形的邊界及其內(nèi)部(如圖中陰影部分)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.令z0，得7x10y0，即yx.作直線l0：yx.由圖可知把l0平移至過(guò)點(diǎn)B時(shí)，即x，y時(shí)，z取得最大值.故每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸、乙產(chǎn)品噸時(shí)，能獲得最大產(chǎn)值，最大產(chǎn)值為萬(wàn)元