第六講　函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值 班級(jí)________　姓名________　考號(hào)________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．) 1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數(shù)的是(　　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝3x2＋1 C．y＝ D．y＝|x| 解析：由函數(shù)單調(diào)性定義知選C. 答案：C 2．定義在R上的偶函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則在(－2,0)上，下列函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性不同的是(　　) A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1 C．y＝ D．y＝ 解析：利用偶函數(shù)的對(duì)稱性知f(x)在(－2,0)上為減函數(shù)．又y＝x2＋1在(－2,0)上為減函數(shù)；y＝|x|＋1在(－2,0)上為減函數(shù)；y＝在(－2,0)上為增函數(shù)，y＝在(－2,0)上為減函數(shù)．故選C. 答案：C 3．(精選考題·北京)給定函數(shù)①y＝x；②y＝log(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號(hào)是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：①是冪函數(shù)，其在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故此項(xiàng)不符合題意；②中的函數(shù)是由函數(shù)y＝logx向左平移1個(gè)單位而得到的，因原函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，故此項(xiàng)符合題意；③中的函數(shù)圖象是函數(shù)y＝x－1的圖象保留x軸上方的部分，下方的圖象翻折到x軸上方而得到的，由其圖象可知函數(shù)符合題意；④中的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)大于1，故其在R上單調(diào)遞增，不符合題意，綜上可知選擇B. 答案：B 4．已知函數(shù)f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：f(x)＝由f(x)的圖象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.故選C. 答案：C 5．(精選考題·撫順六校第二次模擬)f(x)＝ 是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8) 解析：因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以可得解得4≤a<8，故選B. 答案：B 6．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能為0 D．可正可負(fù) 解析：因?yàn)?x1－2)(x2－2)<0，若x1<x2，則有x1<2<x2，即2<x2<4－x1，又當(dāng)x>2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增且f(－x)＝－f(x＋4)，所以有f(x2)<f(4－x1)＝－f(x1)，f(x1)＋f(x2)<0；若x2<x1，同理有f(x1)＋f(x2)<0，故選A. 答案：A 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．若函數(shù)f(x)＝|logax|(0<a<1)在區(qū)間(a,3a－1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由于f(x)＝|logax|在(0,1]上遞減，在(1，＋∞)上遞增，所以0<a<3a－1≤1，解得<a≤，此即為a的取值范圍． 答案：<a≤ 8．函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值與最小值的和為a，則a＝________. 解析：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性可得最值．由于a是底數(shù)，要注意分情況討論． 若a>1，則f(x)為增函數(shù)，所以f(x)max＝a＋loga2，f(x)min＝1，依題意得a＋loga2＋1＝a， 即loga2＝－1，解得a＝(舍去)． 若0<a<1，則f(x)為減函數(shù)，所以f(x)min＝a＋loga2，f(x)max＝1，依題意得a＋loga2＋1＝a，于是a＝，故填. 答案： 9．已知定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，對(duì)于滿足0<x1<x2<1的任意x1、x2，給出下列結(jié)論： ①f(x2)－f(x1)>x2－x1； ②x2f(x1)>x1f(x2)； ③<f. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上) 解析：由f(x2)－f(x1)>x2－x1，可得>1，即兩點(diǎn)(x1，f(x1))與(x2，f(x2))連線的斜率大于1，顯然①不正確；由x2f(x1)>x1f(x2)得>，即表示兩點(diǎn)(x1，f(x1))、(x2，f(x2))與原點(diǎn)連線的斜率的大小，可以看出結(jié)論②正確；結(jié)合函數(shù)圖象，容易判斷③的結(jié)論是正確的． 答案：②③ 10．已知函數(shù)f(x)＝(a≠1)． (1)若a>0，則f(x)的定義域是________； (2)若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：(1)當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，由3－ax≥0得x≤，即此時(shí)函數(shù)f(x)的定義域是； (2)當(dāng)a－1>0，即a>1時(shí)，要使f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，則需3－a×1≥0，此時(shí)1<a≤3. 當(dāng)a－1<0，即a<1時(shí)，要使f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，則需－a>0，此時(shí)a<0.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪(1,3]． 答案：(1)　(2)(－∞，0)∪(1,3] 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟．) 11．函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上是遞增的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：f(x)＝＝＝＋a. 任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2， 則f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上為增函數(shù)， ∴f(x1)－f(x2)<0. ∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0， ∴1－2a<0，a>. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 評(píng)析：對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的理解，應(yīng)從文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言三個(gè)方面進(jìn)行辨析，做好定性刻畫(huà)、圖形刻畫(huà)和定量刻畫(huà)．逆用函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)x1－x2與f(x1)－f(x2)是同號(hào)還是異號(hào)構(gòu)造不等式，通過(guò)分離參數(shù)來(lái)求其取值范圍． 12．已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)解法一：∵函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1>x2，則x1－x2>0， f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝f(x1－x2)． 又∵x>0時(shí)，f(x)<0，而x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0， 即f(x1)<f(x2)． 因此f(x)在R上是減函數(shù)． 解法二：設(shè)x1>x2， 則f(x1)－f(x2) ＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)． 又∵x>0時(shí)，f(x)<0，而x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上為減函數(shù)． (2)∵f(x)在R上是減函數(shù)， ∴f(x)在[－3,3]上也是減函數(shù)， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2. 13．已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足：①對(duì)于任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)． (1)求f(0)的值； (2)求f(x)的最大值； (3)若對(duì)于任意x∈[0,1)，總有4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)對(duì)于條件③，令x1＝x2＝0得f(0)≤0， 又由條件①知f(0)≥0，故f(0)＝0. (2)設(shè)0≤x1<x2≤1，則x2－x1∈(0,1)， ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0. 即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上遞增，從而f(x)的最大值是f(1)＝1. (3)因f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，則f(x)∈[0,1]，又4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0?a≤對(duì)x∈[0,1)恒成立， 設(shè)y＝ ＝1－f(x)＋≥1， 則a≤1.