《2020高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第六講解析幾何 第三節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第六講解析幾何 第三節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等.分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理等直線與圓錐曲線的關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，是命題的熱點(diǎn)也是難點(diǎn).一般出現(xiàn)一?。ㄟx擇題或填空題）一大（解答題）兩道，小題通常屬于中低檔題，難度系數(shù)為0.5-0.7左右，大題通常是高考的壓軸題，難度系數(shù)為0.3～0.5左右. 考試要求：(1) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,是高考考查的重中之中,在高考中以高難度題、壓軸題出現(xiàn)，主要

2、涉及弦長(zhǎng)，弦中點(diǎn)，對(duì)稱，參變量的取值范圍，求曲線方程等問題.突出考查了數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法. （2）直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題要充分重視韋達(dá)定理和判別式的應(yīng)用，解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)系方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”. 題型一 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題 例1 在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)(且斜率的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.（1）求的取值范圍.（2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B,是否存在常數(shù),使的向量與共線？如果存在,求值;如果不存在,請(qǐng)說明理由. 點(diǎn)撥:(1)設(shè)出L的方程與橢圓組成

3、聯(lián)立方程組,再利用判別式法求出的范圍. (2)利用向量共線的充要條件及韋達(dá)定理即可解出,再根據(jù)的取值范圍確定是否存在. 解： (1)由已知條件,直線的方程為代入橢圓方程得 ① 整理得( 直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于 △= 解得 即的的取值范圍為 (2)設(shè)P(, 則= 由方程①得 又 而A所以與共線等價(jià)于 解得 由(1)知矛盾,故沒有符合題意的常數(shù). 易錯(cuò)點(diǎn): 忽視的取值范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤. 圖 變式與引申 1.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)

4、交點(diǎn),則此雙曲線離心率是( ) A．(1,2 B． C．[2，+∞ D． 題型二 直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題 解（1）：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以=． 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值． （2）：由 得， ， …………② 設(shè)到的距離為，則 ，又因?yàn)椋? 所以，代入②式并整理，得， 解得，，代入①式檢驗(yàn)，，故直線的方程是 或或，或 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）忘記均值不等式的應(yīng)用導(dǎo)致寸步難行.（2）忘記弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線的距離公式導(dǎo)致出錯(cuò). 變式與引申 2.設(shè)橢圓與直線相交于A ﹑B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，若OC的斜率為求橢

5、圓的方程. 題型三 直線與圓錐曲線中點(diǎn)弦的問題 例3 已知雙曲線的方程為 （1）求以A（2，1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程； （2）以點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦是否存在？若存在，求出弦所在直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由. 點(diǎn)撥:（1）利用設(shè)而不求法和點(diǎn)差法構(gòu)建方程，結(jié)合直線的斜率公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率.也可設(shè) 點(diǎn)斜式方程,與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要驗(yàn)證直線與雙曲線是否有交點(diǎn). 解：（1）設(shè)是弦的兩個(gè)端點(diǎn)，則有 兩式相減得 ① ∵A（2，1）為弦的中點(diǎn)，∴， 代入①得 ∴.故直線的方程

6、為 （2）假設(shè)滿足條件的直線存在，同（1）可求 由得 ∵△= ∴所求直線與雙曲線無交點(diǎn). ∴以B(1,1)為中點(diǎn)的弦不存在. 易錯(cuò)點(diǎn)：存在性問題的結(jié)果通常是難以預(yù)料的，求時(shí)通?？汕蟮?，但不是充要條件，因此學(xué)生容易忽視. 變式與引申 3.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F，直線與其相交于M，N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是 （ ） A． B． C． D． 題型四 有關(guān)對(duì)稱問題 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以即 在，故橢圓的半焦距c =， 從而 所以橢圓C的方程為. （2）法一：已知圓的方程為 所以圓心，設(shè)8由題意得

7、 得 因?yàn)锳,B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以代人得 即直線L的斜率為，所以直線L的方程為（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意） 法二：設(shè)已知圓的方程為所以圓心.從而可設(shè)直線L的方程為代入橢圓C方程得因?yàn)锳,B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以，所以直線L的方程為（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意） 易錯(cuò)點(diǎn)：?jiǎn)为?dú)求解A,B兩點(diǎn)運(yùn)算量很大，容易出錯(cuò).采用“設(shè)而不求”簡(jiǎn)單方便. 圖 變式與引申 4. 在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線相交于兩點(diǎn). (1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值； (2)是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得

8、的弦長(zhǎng)恒為定值？ 若存在，求出的方程；若不存在，說明理由. 本節(jié)主要考查：1.的位置 關(guān)系可分為，相交，相離，相切.對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物 線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一

9、個(gè)交點(diǎn)，但不相切.有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線，雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件. 2.直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法. 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求來計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式）；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往能事半功倍. 習(xí)題6-3 1. 設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個(gè)

10、公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為( ). A. B. 5 C. D. 2. 已知(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過引一弦，使此弦在（1，1）點(diǎn)被平分，此弦所在的直線方程. 3．直線L：y=kx+1,拋物線C:，當(dāng)k為何值時(shí)L與C有：（1）一個(gè)公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒有公共點(diǎn). 4. 直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點(diǎn) （1）當(dāng)k為何值時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上； （2）當(dāng)k為何值時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上； （3）當(dāng)k為何值時(shí)，以A、B為直徑的圓過

11、坐標(biāo)原點(diǎn). 5．（2020年高考重慶卷·文）如圖6-3-3，橢圓的中心為原點(diǎn)0，離心率e=，一條準(zhǔn)線的方程是 （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點(diǎn)F，使得與點(diǎn)P到直線l：的距離之比為定值；若存在，求F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。 【答案】 變式與引申 1. C 提示：過點(diǎn)F且傾斜角為的直線L與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是：直線L與雙曲線的漸近線平行（即一條漸近線的斜率=）或直線L與雙曲線的左，右兩支各有一交點(diǎn).即.綜合得 所以 2. 解

12、：設(shè)A，則的解由 兩式相減得 即 ① 再由方程組消去y得 由 ② 由①②解得 故所求的橢圓的方程為 3. D 提示：依題意有 則雙曲線方程為.設(shè)M 則 ，兩式相減得 再由 ，，，所以由，得 所以雙曲線的方程為，故選D 4. 解法一：(1)依題意，如圖6-3-1，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)， 直線的方程為，與聯(lián)立得消去得. 由韋達(dá)定理得，. 于是. ， 當(dāng)時(shí)，. (2)假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，如圖6-3-2 的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為， 則，點(diǎn)的坐標(biāo)為. ， ， ， . 令，得，此時(shí)為定值，故滿足條

13、件的直線存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線. 解法二：(1)前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得 ， 又由點(diǎn)到直線的距離公式得. 從而， 當(dāng)時(shí)，. (2)假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為， 則以為直徑的圓的方程為， 將直線方程代入得， 則. 設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為， 則有. 令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線. 習(xí)題6-3 1．D 提示：雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y, 得有唯一解,所以△=, 所以,,故選D. 2．解法一：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為，弦的

14、兩端點(diǎn)（），）. 由 消去得 （ ∴∴ 故弦所在的直線方程為.即. 解法二：由于此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為，且設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為（），），則，兩式相減得 ∵∴.∴. ∴此弦所在的直線方程為. 3. 解：將和C的方程聯(lián)立，消去y得 ① 當(dāng)k=0時(shí)，方程①只有一個(gè)解.此時(shí) ∴直線與C只有一個(gè)公共點(diǎn)（），此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸. 當(dāng)k≠0時(shí)，方程①是一個(gè)一元二次方程， △=. （1） 當(dāng)時(shí)，即k﹤1且k≠0時(shí)，與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與C相交; （2） 當(dāng)時(shí),即k=1時(shí)，與C有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與C相切； （3） 當(dāng)時(shí)，即k＞1時(shí)，與C沒有

15、公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與C相離. 綜上所述，當(dāng)k=1或k=0時(shí)，直線與與C有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k﹤1且k≠0時(shí)，直線與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k＞1時(shí)，直線與C沒有公共點(diǎn). 4. 解：由消去y，得 ① 當(dāng)時(shí)，由且 （1）當(dāng)交點(diǎn)A、B在同一支上，則 或，又 （2）A、B在雙曲線兩支上時(shí)，， （3）設(shè)，，由①得：②， ③ 又，所以，所以 把②③代入上式得：. 5．解：（I）由解得， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由得 因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓上，所以， 故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知