第三節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點、弦長等.分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等直線與圓錐曲線的關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，是命題的熱點也是難點.一般出現(xiàn)一?。ㄟx擇題或填空題）一大（解答題）兩道，小題通常屬于中低檔題，難度系數(shù)為0.5-0.7左右，大題通常是高考的壓軸題，難度系數(shù)為0.3～0.5左右. 考試要求：(1) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,是高考考查的重中之中,在高考中以高難度題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及弦長，弦中點，對稱，參變量的取值范圍，求曲線方程等問題.突出考查了數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法. （2）直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題要充分重視韋達定理和判別式的應(yīng)用，解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)系方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”. 題型一 直線與圓錐曲線的交點問題 例1 在平面直角坐標系中,經(jīng)過點(且斜率的直線與橢圓有兩個不同的交點P和Q.（1）求的取值范圍.（2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在常數(shù),使的向量與共線？如果存在,求值;如果不存在,請說明理由. 點撥:(1)設(shè)出L的方程與橢圓組成聯(lián)立方程組,再利用判別式法求出的范圍. (2)利用向量共線的充要條件及韋達定理即可解出,再根據(jù)的取值范圍確定是否存在. 解： (1)由已知條件,直線的方程為代入橢圓方程得 ① 整理得( 直線與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于 △= 解得 即的的取值范圍為 (2)設(shè)P(, 則= 由方程①得 又 而A所以與共線等價于 解得 由(1)知矛盾,故沒有符合題意的常數(shù). 易錯點: 忽視的取值范圍導(dǎo)致錯誤. 圖 變式與引申 1.已知雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率是( ) A．(1,2 B． C．[2，+∞ D． 題型二 直線與圓錐曲線的弦長問題 解（1）：設(shè)點的坐標為，點的坐標為，由，解得，所以=． 當且僅當時，取到最大值． （2）：由 得， ， …………② 設(shè)到的距離為，則 ，又因為， 所以，代入②式并整理，得， 解得，，代入①式檢驗，，故直線的方程是 或或，或 易錯點：（1）忘記均值不等式的應(yīng)用導(dǎo)致寸步難行.（2）忘記弦長公式與點到直線的距離公式導(dǎo)致出錯. 變式與引申 2.設(shè)橢圓與直線相交于A ﹑B兩點，點C是AB的中點，若OC的斜率為求橢圓的方程. 題型三 直線與圓錐曲線中點弦的問題 例3 已知雙曲線的方程為 （1）求以A（2，1）為中點的弦所在直線的方程； （2）以點B（1，1）為中點的弦是否存在？若存在，求出弦所在直線的方程；若不存在，請說明理由. 點撥:（1）利用設(shè)而不求法和點差法構(gòu)建方程，結(jié)合直線的斜率公式與中點坐標公式求出斜率.也可設(shè) 點斜式方程,與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理與中點坐標公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要驗證直線與雙曲線是否有交點. 解：（1）設(shè)是弦的兩個端點，則有 兩式相減得 ① ∵A（2，1）為弦的中點，∴， 代入①得 ∴.故直線的方程為 （2）假設(shè)滿足條件的直線存在，同（1）可求 由得 ∵△= ∴所求直線與雙曲線無交點. ∴以B(1,1)為中點的弦不存在. 易錯點：存在性問題的結(jié)果通常是難以預(yù)料的，求時通常可求得，但不是充要條件，因此學(xué)生容易忽視. 變式與引申 3.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F，直線與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是 （ ） A． B． C． D． 題型四 有關(guān)對稱問題 解：（1）因為點P在橢圓C上，所以即 在，故橢圓的半焦距c =， 從而 所以橢圓C的方程為. （2）法一：已知圓的方程為 所以圓心，設(shè)8由題意得 得 因為A,B關(guān)于點M對稱，所以代人得 即直線L的斜率為，所以直線L的方程為（經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意） 法二：設(shè)已知圓的方程為所以圓心.從而可設(shè)直線L的方程為代入橢圓C方程得因為A,B關(guān)于點M對稱，所以，所以直線L的方程為（經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意） 易錯點：單獨求解A,B兩點運算量很大，容易出錯.采用“設(shè)而不求”簡單方便. 圖 變式與引申 4. 在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線相交于兩點. (1)若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求面積的最小值； (2)是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？ 若存在，求出的方程；若不存在，說明理由. 本節(jié)主要考查：1.的位置 關(guān)系可分為，相交，相離，相切.對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物 線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但不相切.有一個公共點是直線與拋物線，雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件. 2.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法. 點評：當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求來計算弦長（即應(yīng)用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往能事半功倍. 習(xí)題6-3 1. 設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ). A. B. 5 C. D. 2. 已知(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，經(jīng)過引一弦，使此弦在（1，1）點被平分，此弦所在的直線方程. 3．直線L：y=kx+1,拋物線C:，當k為何值時L與C有：（1）一個公共點；（2）兩個公共點；（3）沒有公共點. 4. 直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點 （1）當k為何值時，A、B兩點在雙曲線的同一支上； （2）當k為何值時，A、B兩點在雙曲線的兩支上； （3）當k為何值時，以A、B為直徑的圓過坐標原點. 5．（2020年高考重慶卷·文）如圖6-3-3，橢圓的中心為原點0，離心率e=，一條準線的方程是 （Ⅰ）求該橢圓的標準方程； （Ⅱ）設(shè)動點P滿足：，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點F，使得與點P到直線l：的距離之比為定值；若存在，求F的坐標，若不存在，說明理由。 【答案】 變式與引申 1. C 提示：過點F且傾斜角為的直線L與雙曲線的右支有且只有一個交點的充要條件是：直線L與雙曲線的漸近線平行（即一條漸近線的斜率=）或直線L與雙曲線的左，右兩支各有一交點.即.綜合得 所以 2. 解：設(shè)A，則的解由 兩式相減得 即 ① 再由方程組消去y得 由 ② 由①②解得 故所求的橢圓的方程為 3. D 提示：依題意有 則雙曲線方程為.設(shè)M 則 ，兩式相減得 再由 ，，，所以由，得 所以雙曲線的方程為，故選D 4. 解法一：(1)依題意，如圖6-3-1，點的坐標為，可設(shè)， 直線的方程為，與聯(lián)立得消去得. 由韋達定理得，. 于是. ， 當時，. (2)假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，如圖6-3-2 的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為， 則，點的坐標為. ， ， ， . 令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線. 解法二：(1)前同解法1，再由弦長公式得 ， 又由點到直線的距離公式得. 從而， 當時，. (2)假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為， 則以為直徑的圓的方程為， 將直線方程代入得， 則. 設(shè)直線與以為直徑的圓的交點為， 則有. 令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線. 習(xí)題6-3 1．D 提示：雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y, 得有唯一解,所以△=, 所以,,故選D. 2．解法一：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為，弦的兩端點（），）. 由 消去得 （ ∴∴ 故弦所在的直線方程為.即. 解法二：由于此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為，且設(shè)弦的兩端點坐標為（），），則，兩式相減得 ∵∴.∴. ∴此弦所在的直線方程為. 3. 解：將和C的方程聯(lián)立，消去y得 ① 當k=0時，方程①只有一個解.此時 ∴直線與C只有一個公共點（），此時直線平行于拋物線的對稱軸. 當k≠0時，方程①是一個一元二次方程， △=. （1） 當時，即k﹤1且k≠0時，與C有兩個公共點，此時稱直線與C相交; （2） 當時,即k=1時，與C有一個公共點，此時稱直線與C相切； （3） 當時，即k＞1時，與C沒有公共點，此時稱直線與C相離. 綜上所述，當k=1或k=0時，直線與與C有一個公共點；當k﹤1且k≠0時，直線與C有兩個公共點；當k＞1時，直線與C沒有公共點. 4. 解：由消去y，得 ① 當時，由且 （1）當交點A、B在同一支上，則 或，又 （2）A、B在雙曲線兩支上時，， （3）設(shè)，，由①得：②， ③ 又，所以，所以 把②③代入上式得：. 5．解：（I）由解得， 故橢圓的標準方程為 （II）設(shè)，則由得 因為點M，N在橢圓上，所以， 故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知