一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分把答案填在題中橫線上)1在ABC中，已知a8，B60°，C75°，則b等于_解析：在ABC中，A180°(BC)45°，由正弦定理，得b4.答案：42在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，則sinAsinBsinC_.解析：(bc)(ca)(ab)456，設(shè)bc4k，ca5k，ab6k(k0)，解得ak，bk，ck，sinAsinBsinCabc753.答案：7533三角形兩邊之差為2，夾角的余弦值為，面積為14，那么這個(gè)三角形的此兩邊長(zhǎng)分別是_答案：5和74(2020年高考課標(biāo)全國(guó)卷)在ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC3BD，AD，ADB135°，若ACAB，則BD_.解析：如圖，設(shè)ABk，則ACk.再設(shè)BDx，則DC2x.在ABD中，由余弦定理得k2x222·x··x222x.在ADC中，由余弦定理得2k24x222·2x··4x224x，k22x212x.由得x24x10，解得x2(負(fù)值舍去)答案：25在ABC中，a80，b100，A45°，則此三角形解的情況是_解析：bsinA100×50，bsinAab，有兩解答案：有兩解6已知ABC的三邊a，b，c滿足b2ac，PsinBcosB，則P的取值范圍為_(kāi)解析：由余弦定理知：b2a2c22accosB.又b2ac，aca2c22accosB，(12cosB)aca2c22ac，cosB，0B，PsinBcosBsin(B)，0B，B，sinsin(B)1，sin(B)1，P的取值范圍是(1，答案：(1，7若在測(cè)量中，某渠道斜坡的坡度i34，設(shè)為坡角，那么cos為_(kāi)解析：由已知tan，則cos.答案：8等腰ABC中，一腰上的高為，這條高與底邊的夾角為60°，則這個(gè)三角形的外接圓半徑等于_解析：由已知，得三角形的底角為30°，腰長(zhǎng)為2.R×2.答案：29鈍角三角形邊長(zhǎng)為a，a1，a2，其最大角不超過(guò)120°，則a的取值范圍是_答案：，3)10在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則acosCccosA的值為_(kāi)解析：將a2RsinA，c2RsinC，代入acosCccosA2RsinAcosC2RsinCcosA2Rsin(AC)2RsinBb.答案：b11如果滿足ABC60°，AC12，BCk的三角形恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是_解析：設(shè)ABx，由余弦定理得122x2k22kxcos60°，化簡(jiǎn)得：x2kxk21440，因方程的兩根之和x1x2k0，故方程有且只有一個(gè)根等價(jià)于k24(k2144)0或k21440，解得0k12或k8.答案：0k12或k812在ABC中，若C30°，AC3，AB3，則ABC的面積為_(kāi)解析：由正弦定理得：，sinBsinC·，所以B60°或120°.當(dāng)B60°時(shí)，SAB×AC·3·3；當(dāng)B120°時(shí)，SAB×AC·sin30°.答案：或13在ABC中，若AB6，BC3，AC5，則·_.解析：由余弦定理，得cosABC，·|·|cos(180°ABC)6×3×()10.答案：1014(2020年高考江蘇卷)在銳角ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若6cos C，則的值是_解析：由6cos C，得b2a26abcos C.化簡(jiǎn)整理得2(a2b2)3c2，將切化弦，得···.根據(jù)正、余弦定理得4.答案：4二、解答題(本大題共6小題，共計(jì)90分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿分14分)已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a2，b2，c，解此三角形解：由余弦定理的推論，得cosA，所以A45°，cosB，所以B30°，于是C180°45°30°105°.16(本小題滿分14分)在ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C對(duì)邊，a2，B45°，面積SABC4.(1)求b；(2)求的值解：(1)由SacsinB4，即·2·csin45°4，所以c4.由余弦定理b2a2c22accosB20，所以b2.(2)由于b2，B45°，所以 .根據(jù)正弦定理，由等比定理得.17(本小題滿分14分)已知ABC中，cosA，且(a2)b(c2)123，試判斷三角形的形狀解：令k，則ak2，b2k，c3k2，又cosA，由cosA，得k0(舍去)或k4.此時(shí)，a6，b8，c10.c2a2b2，ABC為直角三角形18(本小題滿分16分)ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c.求證：.證明：法一：由余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，得a2b2b2a22c(acosBbcosA)，即a2b2c(acosBbcosA)，變形得cosBcosA，由正弦定理得，.法二：cosBcosA，cosB，cosA，代入上式得··.等式成立19(本小題滿分16分)(2020年高考遼寧卷)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)·sin B(2cb)sin C.(1)求A的大??；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀解：(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120°.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因?yàn)?°B90°，0°C90°，故BC.所以ABC是等腰的鈍角三角形20(本小題滿分16分)如圖所示，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)B，C分別在A的正東方20 km處和54 km處某時(shí)刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波，8 s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)A,20 s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào)在當(dāng)時(shí)氣象條件下，聲波在水中的傳播速率是1.5 km/s.(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x分別表示B，C到P的距離，并求x的值；(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(結(jié)果精確到0.01 km)解：(1)依題意，PAPB1.5×812(km)，PCPB1.5×2030(km)因此PB(x12)km，PCPB30x1230(18x)km.在PAB中，AB20 km，cosPAB.同理，cosPAC，由于cosPABcosPAC，即，解得x(km)(2)如圖所示，作PDa，垂足為D.在RtPDA中，PDPA·cosAPDPA·cosPABx·17.71(km)即靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71 km.