一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共計70分把答案填在題中橫線上)1在等差數(shù)列an中，已知a2a3a10a1136，則a5a8_.解析：法一：根據(jù)題意，有(a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，4a122d36，則2a111d18.而a5a8(a14d)(a17d)2a111d，因此，a5a818.法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a5a8a3a10a2a1136÷218.答案：182若an為等差數(shù)列，a158，a6020，則a75_.解析：a158，a6020，d，a75a60(7560)d，2015×24.答案：243在等差數(shù)列中，若a3a4a5a6a7450，則a2a8的值等于_答案：1804(2020年高考遼寧卷)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和已知a2a41，S37，則S5_.解析：an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a41，設(shè)an的公比為q，則q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58.答案：5已知數(shù)列an的通項公式為an，則該數(shù)列的前4項依次為_解析：把n1,2,3,4分別代入an，依次得到0,1,0,1.答案：0,1,0,16設(shè)an為公比q>1的等比數(shù)列，若a2020和a2020是方程4x28x30的兩根，則a2020a2020_.解析：q>1，a2020，a2020，a2020，a2020，a2020a202018.答案：187設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6S312，則S9S3等于_解析：法一：S6S312，an的公比q1.由÷，得q3，.法二：因為an是等比數(shù)列，所以S3，S6S3，S9S6也成等比數(shù)列，即(S6S3)2S3·(S9S6)，將S6S3代入得.答案：8已知數(shù)列an中，a11，a2，且，則an_.答案：9已知等差數(shù)列an的公差d0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是_解析：a1·a9a，a1(a18d)(a12d)2.a1d.答案：10在數(shù)列an中，a13且對任意大于1的正整數(shù)n，點(， )在直線xy0上，則an_.解析：當nN*且n2時，點(， )在直線xy0上，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列數(shù)列的通項公式為(n1)n，an3n2.又a13符合an3n2，an3n2.答案：3n211在數(shù)列an中，a12,2an12an1，則a101的值是_解析：2an12an1，an1an，即an1an(常數(shù))數(shù)列an是以a12為首項，d為公差的等差數(shù)列a101a1(1011)×d2(1011)×52.答案：5212數(shù)列1，3，5，(2n1)，的前n項和是_解析：Sn(1)(3)(2n1)(132n1)()n21.答案：n2113若lgx，lg(3x2)，lg(3x2)成等差數(shù)列，則logx2_.解析：lgx，lg(3x2)，lg(3x2)成等差數(shù)列2lg(3x2)lgxlg(3x2)(3x2)2x(3x2)，解得x(舍)或x2.log22log22.答案：14(2020年高考廣東卷)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a2·a32a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5_.解析：設(shè)公比為q(q0)，則由a2·a32a1知a1q32，a42.又a42a7，a7.a116，q.S531.答案：31二、解答題(本大題共6小題，共計90分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)等差數(shù)列an的首項a10，前n項和為Sn，當lm時，SmSl，問n為何值時，Sn最大解：法一：SmSl，2a1(m1)d2a1(l1)d，d，Sna1nn2(a1)nn(a1)2(a1)2(n)2.a10，0，又l，mN*，若lm為偶數(shù)，則當n時，Sn最大，若lm為奇數(shù)，則當n時，Sn最大法二：依題意f(n)Snna1d，f(n)dn2(a1)n，此函數(shù)是以n為自變量的二次函數(shù)a10，SlSm(lm)，d0.此二次函數(shù)的圖象開口向下f(l)f(m)，x時，f(x)最大，但f(n)中，nN*.若lm為偶數(shù)，則當n時，Sn最大若lm為奇數(shù)，則當n時，Sn最大16(本小題滿分14分)已知an中，a11，求an.解：，an1·an，則anan1··an2···an3·····a1··×××.17(本小題滿分14分)(2020年高考福建卷)數(shù)列an中，a1，前n項和Sn滿足Sn1Snn1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式an以及前n項和Sn；(2)若S1，t(S1S2)，3(S2S3)成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值解：(1)由Sn1Snn1得an1n1(nN*)又a1，故ann(nN*)從而Sn(nN*)(2)由(1)可得S1，S2，S3.從而由S1，t(S1S2)，3(S2S3)成等差數(shù)列得3×2×t，解得t2.18(本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項和Sn12nn2，求數(shù)列|an|的前n項和Tn.解：當n1時，a1S1121211；當n2時，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1時也適合上式，an的通項公式是an132n.由an132n0，得n，nN*，當1n6時，an0；當n7時，an0.當1n6時，Tn|a1|a2|a3|an|12nn2；當n7時，Tn|a1|a2|a3|an|(a1a2a6)(|a7|a8|an|)(a7a8an)(a1a2a6)Sn2S6n212n72.Tn.19(本小題滿分16分)若公比為c的等比數(shù)列an的首項a11且滿足an(n3,4，)(1)求c的值；(2)求數(shù)列nan的前n項和Sn.解：(1)當n3時，anc2an2，an1can2，anan2.由題設(shè)條件可得an20，因此2c2c10.解得c1或c.(2)由(1)知，需要分兩種情況討論當c1時，可知an1(nN*)這時，數(shù)列nan的前n項和Sn123n.當c時，數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列，即an()n1(nN*)這時，數(shù)列nan的前n項和Sn12()3()2n()n1.Sn2()2(n1)·()n1n()n.，得(1)Sn1()()2()n1n()nn()n.所以Sn4(1)n(nN*)20(本小題滿分16分)(1)某企業(yè)年初有資金1000萬元，如果該企業(yè)經(jīng)過生產(chǎn)經(jīng)營，每年資金增長率為50%，但每年年底都要扣除消費資金x萬元，余下資金投入再生產(chǎn)，為實現(xiàn)經(jīng)過五年資金達到2000萬元(扣除消費資金后)，那么每年扣除的消費資金應(yīng)是多少萬元(精確到萬元)?(2)某人有人民幣若干，擬作股票投資或長期儲蓄，若存入銀行年利率為6%，若購某種股票年紅利為24%，不考慮物價變化因素，且銀行年利率及該種股票年紅利不變，股份公司不再發(fā)行新股票，但每年的利息和紅利可存入銀行求該人購股票或儲蓄x年后所擁有的人民幣總額y與x的函數(shù)關(guān)系式；問經(jīng)過幾年，該人購買股票與儲蓄所擁有的人民幣相等？(lg20.3010，lg30.4771，lg1.060.0253)解：(1)設(shè)an表示第n年年底扣除消費資金后的資金a11000(1)x，a21000(1)x(1)x 1000(1)2x(1)x，a31000(1)2x(1)x(1)x 1000(1)3x(1)2x(1)x，a51000(1)5x(1)4x(1)3x(1)2x(1)x.則1000()5x()4()312000，即1000()5x2000.解得x424.即每年扣除的消費資金約是424萬元(2)設(shè)某人有人民幣a元若長期儲蓄，則x年后人民幣總額為ya(10.06)x，即y1.06x·a.若購買股票，則x年后利息和紅利總額為y0.240.24(10.06)0.24(10.06)2024(10.06)x1a a，即y4(1.06x1)a.由1.06x·a4(1.06x1)a，得1.06x，兩邊取以10為底的對數(shù)，得x4.9368，即大約經(jīng)過5年，該人購買股票與儲蓄所擁有的人民幣相等