(時(shí)間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)1(2020·濰坊模擬)一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A. B. C. D.解析：一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體由27個(gè)單位正方體組成，由題意知，蜜蜂“安全飛行”的區(qū)域即為27個(gè)單位正方體中最中心的1個(gè)單位正方體區(qū)域，則所求概率P.答案：C2在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為一邊作正方形，則此正方形的面積介于36 cm2與81 cm2 之間的概率為()A. B.C. D.解析：正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間，所以正方形的邊長(zhǎng)介于6 cm到9 cm之間線段AB的長(zhǎng)度為12 cm，則所求概率為.答案：C3四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，AB2，BC1，O為AB的中點(diǎn)在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為()A. B1C. D1解析：如圖，根據(jù)幾何概型概率公式得概率為P1.答案：B4若a，b在區(qū)間0，上取值，則函數(shù)f(x)ax3bx2ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的概率是()A. B.C. D1解析：易得f(x)3ax22bxa，函數(shù)f(x)ax3bx2ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件是a0且其導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，即a0且4b212a2>0，又a，b在區(qū)間0，上取值，則a>0，b>a，滿足點(diǎn)(a，b)的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中正方形區(qū)域的面積為3，陰影部分的面積為，故所求的概率是.答案：C5在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在單位圓x2y21內(nèi)的概率為()A. B.C. D.解析：區(qū)域?yàn)锳BC內(nèi)部(含邊界)，則概率為P.答案：D6已知正三棱錐SABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VPABC<VSABC的概率是()A. B.C. D.解析：當(dāng)P在三棱錐的中截面及下底面構(gòu)成的正三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求，由幾何概型知，P1.答案：A二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)7(2020·南通、揚(yáng)州、泰州模擬)在RtABC中，A90°，AB1，BC2.在BC邊上任取一點(diǎn)M，則AMB90°的概率為_(kāi)解析：如圖，在RtABC中，作AMBC，M為垂足由題意知：AB1，BC2，可得BM，則AMB90°的概率為：P.答案：8設(shè)0<a<2,0<b<1，則雙曲線1的離心率e>的概率是_解析：由e>得>5，即>5，b>2a，在直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)作出符合題意的區(qū)域如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積為×1×，圖中矩形的面積為2，由幾何概型概率公式計(jì)算得所求的概率為.答案：9(2020·廣州模擬)圖(2)中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體(圖(1)的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖內(nèi)的概率是，則此長(zhǎng)方體的體積是_解析：設(shè)長(zhǎng)方體的高為h，則圖(2)中虛線圍成的矩形長(zhǎng)為22h，寬為12h，面積為(22h)(12h)，展開(kāi)圖的面積為24h；由幾何概型的概率公式知，得h3，所以長(zhǎng)方體的體積是V1×33.答案：3三、解答題(共3小題，滿分35分)10在等腰RtABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)作一條射線CD與線段AB交于點(diǎn)D，求AD<AC的概率解：射線CD在ACB內(nèi)是均勻分布的，故ACB90°可看成試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，在線段AB上取一點(diǎn)E，使AEAC，則ACE67.5°可看成事件構(gòu)成的區(qū)域，所以滿足條件的概率為.11投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面中，有兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是0，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是2，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是4.將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)(1)求點(diǎn)P落在區(qū)域C：x2y210上的概率；(2)若以落在區(qū)域C：x2y210上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的多邊形區(qū)域M.在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率解：(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9種，其中落在區(qū)域C：x2y210上的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4種故點(diǎn)P落在區(qū)域C：x2y210上的概率為.(2)區(qū)域M為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，區(qū)域C的面積為10，則豆子落在區(qū)域M上的概率為.12在區(qū)間0,1上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，求函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率解：f(x)x2a0，故函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(1)f(1)0，即(ab)·(ab)0，得(ab)·(ab)0，又0a1,0b1，所以得畫(huà)出不等式組表示的區(qū)域，如圖陰影部分，由得令a0，代入ab0，得所以陰影部分的面積為1××.所以P.