(時(shí)間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)1(2020·日照模擬)若a(2，2，2)，b(2,0,4)，則a與b的夾角的余弦值為()A.B.C D0解析：cos a，b.答案：C2.如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F、G分別為AB、AD、DC的中點(diǎn)，則a2等于()A2·B2·C2·D2·解析： ，2·2a2×cos a2.答案：B3下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有0；|a|b|ab|是a、b共線的充要條件；對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若xyz (其中x、y、zR)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面其中不正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D0解析：易知只有是正確的，其中對(duì)于，若O平面ABC，則、不共面，由空間向量基本定理知，P可為空間任一點(diǎn)，所以P、A、B、C四點(diǎn)不一定共面答案：B4.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，設(shè)OE和FD1所成的角為，則cos|cos，|.答案：B5(2020·天津模擬)已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于()A. B.C. D.解析：由于a、b、c三向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n，使得cmanb，即有，解得m，n，.答案：D6.二面角l為60°，A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，則CD的長(zhǎng)為()A2a B.aCa D.a解析：ACl，BDl，60°，且·0，·0，|2a.答案：A二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)7若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，1)，則|的取值范圍是_解析：法一：|2(3cos2cos)2(3sin2sin)201312cos()，|cos()|1，|21,25，即|1,5法二：點(diǎn)A、B在同一平面內(nèi)，且可以分別看作是有共同圓心(0,0)和半徑分別為3和2的圓上的點(diǎn)，故|max5，|min1.答案：1,58(2020·泰安模擬)已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，且a，b，c，用a，b，c表示向量_.解析：如圖，()()()(2)()(bca)答案：(bca)9已知ABCDA1B1C1D1為正方體，()232；·()0；向量與向量的夾角是60°；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號(hào)是_解析：中()22223()2，故正確；中，AB1A1C，故正確；中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°，但與的夾角為120°，故不正確；中|··|0，故也不正確答案：三、解答題10已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得b?解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)假設(shè)存在一點(diǎn)E滿足題意，即t (t0)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若b，則·b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在點(diǎn)E，使得b，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)11.如圖，ABACBD1，AB平面，AC平面，BDAB，BD與平面成30°角，求C、D間的距離解：AC，ACAB，·0，過(guò)D作DD于點(diǎn)D，則DDCA，120°，·，又ABBD，·0，|2()21112×()2，|，即C、D間的距離為.12(2020·福州模擬)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以、為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|且a分別與、垂直，求向量a的坐標(biāo)解：(2，1,3)，(1，3,2)(1)因?yàn)閏os，.所以sin，.所以S|·|sin，7.即以、為邊的平行四邊形面積為7.(2)設(shè)a(x，y，z)，由|a|，a，a，可得或所以a(1,1,1)或(1，1，1)