(時間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分)1下面幾種推理過程是演繹推理的是()A兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，由此若A，B是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角，則AB180°B某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人數(shù)超過50人C由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)D在數(shù)列an中，a11，an(an1)(n2)，由此歸納出an的通項公式解析：兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補大前提A，B是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角小前提AB180°結論故A是演繹推理，而B、D是歸納推理，C是類比推理答案：A2觀察等式：sin230°cos260°sin30°cos60°，sin220°cos250°sin20°cos50°，sin215°cos245°sin15°cos45°.由此得出以下推廣命題不正確的是()Asin2cos2sincosBsin2(30°)cos2sin(30°)cosCsin2(15°)cos2(15°)sin(15°)cos(15°)Dsin2cos2(30°)sincos(30°)解析：由已知30°時，命題A才成立答案：A3下面給出了關于復數(shù)的四種類比推理：復數(shù)的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法則；由向量a的性質(zhì)|a|2a2類比得到復數(shù)z的性質(zhì)|z|2z2；方程ax2bxc0(a，b，cR)有兩個不同實數(shù)根的條件是b24ac0可以類比得到：方程az2bzc0(a，b，cC)有兩個不同復數(shù)根的條件是b24ac0；由向量加法的幾何意義可以類比得到復數(shù)加法的幾何意義其中類比得到的結論錯誤的是()A BC D解析：選項中zi，則|z|2i2，選項若a、b、c為實數(shù)，則方程有實根答案：C4如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i1,2,3,4)，若k，則(ihi).類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i1,2,3,4)，若K，則(iHi)()A. B.C. D.解析：平面中的面積與空間中的體積類比，平面二維與空間三維類比答案：B5如圖，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()A. B.C.1 D.1解析：B(0，b)，F(xiàn)(c,0)，A(a,0)在“黃金雙曲線”中，0.b2ac.而b2c2a2，c2a2ac.在等號兩邊同除以a2得e.答案：A6一同學在電腦中打出如下若干個圓：，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，則在前2 012個圓中共有的個數(shù)是()A61 B62C63 D64解析：作如下分類，第n個前共有小球的個數(shù)為由題意知2020n61.答案：A二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)7設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結論有：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列解析：根據(jù)類比原理知該兩空順次應填，.答案：8(2020·泉州模擬)給出下列不等式：2353>22·52·52,2454>23·52·53,25>22·52·52，.請將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使上述不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為_解析：由“2353>22·52·52”，“2454>23·52·53”，“25>22·52·5”，可得推廣形式的最基本的印象：應具有“>··”的形式再分析底數(shù)間的關系，可得較細致的印象：應具有“ab>a·ba·b”的形式再分析指數(shù)間的關系，可得準確的推廣形式：amnbmn>ambnanbm(a，b>0，ab，m，n>0)答案：amnbmn>ambnanbm(a，b>0，ab，m，n>0)9(2020·南寧模擬)已知結論：在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則2.若把該結論推廣到空間中，則有如下結論：在棱長都相等的四面體ABCD中，若BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等，則_.解析：設四面體內(nèi)部一點O到四面體各面都相等的距離為d，則由題意知dOM.設該四面體各個面的面積均為S，則由等體積法得：4×S×OMS×AM，4OMAM，AOOMAM，從而3.答案：3三、解答題10已知：sin230°sin290°sin2150°，sin25°sin265°sin2125°.通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出證明解：一般性的命題為sin2(60°)sin2sin2(60°).證明如下：左邊cos(2120°)cos2cos(2120°)右邊結論正確11已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值試對雙曲線1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明解：類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值證明：設點M、P的坐標分別為(m，n)、(x，y)，則N(m，n)因為點M(m，n)在已知雙曲線上，所以n2m2b2.同理y2x2b2.則kPM·kPN··(定值)12設an是集合2t2s|0st，且s、tZ中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a13，a25，a36，a49，a510，a612，將數(shù)列an各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表35691012(1)寫出這個三角形數(shù)表的第四行、第五行(2)求a100.解：用記號(s，t)表示s、t的取值，那么數(shù)列an中的項對應的(s，t)構成一個三角形表，第一行右邊的數(shù)是“1”，第二行右邊的數(shù)是“2”，第三行右邊的數(shù)是“3”；于是第四行右邊的數(shù)便是“4”；第五行右邊的數(shù)是“5”，而左邊的那個數(shù)總是從“0”開始逐個遞增，因此(1)第四行數(shù)是202417,212418,222420,232424；第五行數(shù)是202533,212534,222536,232540,242548.(2)由1231391，知a100是第十四行中的第9個數(shù)，于是a1002821416640.