(時間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分)1“ab<0”是“方程ax2by2c表示雙曲線”的()A必要但不充分條件 B充分但不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：若ax2by2c表示雙曲線，即1表示雙曲線，則<0，這就是說“ab<0”是必要條件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分條件答案：A2(2020·西城模擬)若點P(2,0)到雙曲線1的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為()A. B.C2 D2解析：雙曲線的漸近線為ay±bx0，點P(2,0)到直線的距離為，所以a2b2，得離心率為.答案：A3已知點F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，動點P滿足|PF2|PF1|2，當(dāng)點P的縱坐標(biāo)是時，點P到坐標(biāo)原點的距離是()A. B.C. D2解析：由已知可知c，a1，b1，雙曲線方程為x2y21(x1)代入y可求P的橫坐標(biāo)為x.P到原點的距離為 .答案：A4(2020·遼寧高考)設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A. B.C. D.解析：設(shè)F(c,0)，B(0，b)，則直線FB的斜率為，與其垂直的漸近線的斜率為，所以有1即b2ac，所以c2a2ac，兩邊同時除以a2可得e2e10，解得e.答案：D5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點A(5,0)和C(5,0)，頂點B在雙曲線1上，則為()A. B.C. D.解析：設(shè)ABC中角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，由正弦定理得，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可知，A、C是雙曲線的焦點，且b10，|ca|8.所以.答案：C6(2020·全國新課標(biāo))已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，由題意知c3，a2b29，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則有：兩式作差得：，又AB的斜率是1，所以將4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是1.答案：B二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)7(2020·福建高考)若雙曲線1(b0)的漸近線方程為y±x，則b等于_解析：1的漸近線方程為y±bx，y±x，b，b1.答案：18(2020·北京高考)已知雙曲線1的離心率為2，焦點與橢圓1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為_；漸近線方程為_解析：橢圓的焦點坐標(biāo)為(4,0)，(4,0)，故c4，且滿足2，故a2，b2.所以雙曲線的漸近線方程為y±x±x.答案：(4,0)，(4,0)y±x9P為雙曲線x21右支上一點，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為_解析：雙曲線的兩個焦點為F1(4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：5三、解答題(共3小題，滿分35分)10已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱，且與圓x2y210相交于點P(3，1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程解：切點為P(3，1)的圓x2y210的切線方程是3xy10.雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱，兩漸近線方程為3x±y0.設(shè)所求雙曲線方程為9x2y2(0)點P(3，1)在雙曲線上，代入上式可得80，所求的雙曲線方程為1.11設(shè)雙曲線1的兩個焦點分別為F1、F2，離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1、l2的方程；(2)若A、B分別為l1、l2上的點，且2|AB|5|F1F2|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線解：(1)e2，c24a2，c2a23，a1，c2.雙曲線方程為y21，漸近線方程為y±x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x，y)2|AB|5|F1F2|，|AB|F1F2|×2c10，10.又y1x1，y2x2,2xx1x2,2yy1y2，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)， 10，3(2y)2(2x)2100，即1.則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為10，短軸長為的橢圓12(2020·廣州模擬)如圖，在以點O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中點，P為半圓弧上一點，且AB4，POB30°，雙曲線C以A、B為焦點且經(jīng)過點P.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求雙曲線C的方程；(2)設(shè)過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，若OEF的面積不小于2，求直線l的斜率的取值范圍解：(1)以O(shè)為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點A(2,0)，B(2,0)，P(，1)設(shè)雙曲線實半軸長為a, 虛半軸長為b，半焦距為c，則2a|PA|PB|2，2c|AB|4，所以a，c2，從而b2c2a22，故雙曲線C的方程是1.(2)據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為ykx2，代入雙曲線C的方程得，x2(kx2)22，即(1k2)x24kx60.因為直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，則即設(shè)點E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|EF|··.又原點O到直線l的距離d，所以SOEFd·|EF|···.因為SOEF2，則2k4k220，解得k.綜上分析，直線l的斜率的取值范圍是，1)(1,1)(1，