備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升 典型例題 例1 如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D、E分別是棱AB、B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，求DE、EF的長度． 解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得， D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(xiàn)(1,0,0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝. 例2 已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)． (1)在x軸上求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|； (2)在xOz平面內(nèi)的點(diǎn)M到A點(diǎn)與到B點(diǎn)等距離，求M點(diǎn)的軌跡． 解：(1)設(shè)P(a,0,0)，則由已知，得＝， 即a2－2a＋6＝a2－4a＋8.解得a＝1.所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,0)． (2)設(shè)M(x,0，z)，則有＝. 整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0. 故M點(diǎn)的軌跡是xOz平面內(nèi)的一條直線． 創(chuàng)新題型 1．在正四棱錐S－ABCD中，底面邊長為a，側(cè)棱長也為a，以底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，P點(diǎn)在側(cè)棱SC上，Q點(diǎn)在底面ABCD的對(duì)角線BD上，試求P、Q兩點(diǎn)間的最小距離． 當(dāng)點(diǎn)P(x，y，z)分別在面對(duì)角線A1C1、B1D1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的豎坐標(biāo)z不變，橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y分別在[0,1]內(nèi)取。 參考答案 解：由于S－ABCD是正四棱錐，所以P點(diǎn)在底面上的射影R在OC上，又底面邊長為a，所以O(shè)C＝a， 而側(cè)棱長也為a，所以SO＝OC，于是PR＝RC，故可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－x，x，a－x)(x>0)，又Q點(diǎn)在底面ABCD的對(duì)角線BD上，所以可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(y，y,0)，因此P、Q兩點(diǎn)間的距離PQ＝ ＝ ，顯然當(dāng)x＝，y＝0時(shí)d取得最小值，d的最小值等于，這時(shí)，點(diǎn)P恰好為SC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q恰好為底面的中心．