第12章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布章末整合(理)一、選擇題(6×5分30分)1(2020·廣州模擬)在區(qū)間，上隨機取一個數(shù)x，cosx的值介于0到之間的概率為()A.B.C. D.解析：當x，時，cosx0，P.故選A.答案：A2(2020·深圳模擬)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為()A18 B24C30 D36解析：由四名學生分到三個班，每個班至少分到一名學生可知，有一個班有2個人，另外兩個班各1人，故共有C42A33種不同分法，其中甲、乙兩名學生分到同一個班有A33種不同分法，所以滿足題意的不同分法為C42A33A3330種答案：C3.如圖，三行三列的方陣有9個數(shù)aij(i1,2,3；j1,2,3)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是() A. B.C. D.解析：從中任取三個數(shù)共有C9384種取法，沒有同行、同列的取法有C31C21C116，至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是1.答案：D4(2020·撫順模擬)國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別為，.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A. B.C. D.解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，.因此，他們不去北京旅游的概率分別為，所以，至少有1人去北京旅游的概率為P1××.答案：B5(2020·西寧模擬)用三種不同的顏色填涂右圖3×3方格中的9個區(qū)域，要求每行、每列的三個區(qū)域都不同色，則不同的填涂方法種數(shù)共有()A48 B24C12 D6解析：可將9個區(qū)域標號如圖：用三種不同顏色為9個區(qū)域涂色，可分步解決：第一步，為第一行涂色，有A336種方法；第二步，用與1號區(qū)域不同色的兩種顏色為4、7兩個區(qū)域涂色，有A222種方法；剩余區(qū)域只有一種涂法，綜上由分步乘法計數(shù)原理可知共有6×212種涂法答案：C6(2020·威海模擬)某同學同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a、b，則橢圓1的離心率e>的概率是()A. B.C. D.解析：當a>b時，e><a>2b，符合a>2b的情況有：當b1時，有a3,4,5,6四種情況；當b2時，有a5,6兩種情況，總共有6種情況，則概率為.同理當a<b時，e>的概率也為，綜上可知e>的概率為.答案：D二、填空題(3×5分15分)7(2020·遼寧高考)三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為_解析：三張卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE共3種，則恰好排成英文單詞BEE的概率為.答案：8若書架上有中文書5本，英文書3本，日文書2本，則隨機抽取一本恰為外文書的概率為_解析：P.答案：9(2020·南平模擬)“好運”出租車公司按月將某輛車出租給司機，按照規(guī)定：無論是否出租，該公司每月都要負擔這輛車的各種管理費100元，如果在一個月內(nèi)該車被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月對這輛車收入的期望值為_元解析：設公司每月對這輛車收入為X元，則其分布列為：X1002 500P0.20.8故E(X)(100)×0.22 500×0.81 980元答案：1 980三、解答題(共37分)10(12分)在某電視臺的一次有獎競猜活動中，主持人準備了A、B兩個相互獨立的問題，并且宣布：幸運觀眾答對問題A可獲100分，答對問題B可獲200分，先答哪個題由觀眾自由選擇，但只有第一個問題答對，才能再答第二題，否則終止答題答題終止后，獲得的總分將決定獲獎的檔次若你被選為幸運觀眾，且假設你答對問題A、B的概率分別為、.(1)記先回答問題A的得分為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)你覺得應先回答哪個問題才能使你得分更高？請說明理由解析：(1)X的分布列為：X0100300PE(X)0×100×300×75.(2)設先答問題B的得分為隨機變量Y，則Y的分布列為X0200300PE(Y)0×200×300×62.5.E(X)>E(Y)應先回答問題A所得的分較高11(12分)(2020·東北六校聯(lián)考)檢測部門決定對某市學校教室的空氣質(zhì)量進行檢測，空氣質(zhì)量分為A、B、C三級每間教室的檢測方式如下：分別在同一天的上、下午各進行一次檢測，若兩次檢測中有C級或兩次都是B級，則該教室的空氣質(zhì)量不合格設各教室的空氣質(zhì)量相互獨立，且每次檢測的結果也相互獨立根據(jù)多次抽檢結果，一間教室一次檢測空氣質(zhì)量為A、B、C三級的頻率依次為，.(1)在該市的教室中任取一間，估計該間教室空氣質(zhì)量合格的概率；(2)如果對該市某中學的4間教室進行檢測，記在上午檢測空氣質(zhì)量為A級的教室間數(shù)為X，并以空氣質(zhì)量為A級的頻率作為空氣質(zhì)量為A級的概率，求X的分布列及期望值解析：(1)該間教室兩次檢測中，空氣質(zhì)量均為A級的概率為×，該間教室兩次檢測中，空氣質(zhì)量一次為A級，另一次為B級的概率為2××，設“該間教室的空氣質(zhì)量合格”為事件E，則P(E)×2××.故估計該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率為.(2)法一：由題意可知，X的取值0,1,2,3,4.P(Xi)C4i()i(1)4i(i0,1,2,3,4)隨機變量X的分布列為：X01234PE(X)0×1×2×3×4×3.法二：XB(4，)，E(X)4×3.12(13分)(2020·揚州模擬)已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(1)求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；(2)X表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求X的期望解析：記A1、A2分別表示依方案甲需化驗1次、2次，B1、B2分別表示依方案乙需化驗2次、3次，A表示依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)依題意知A2與B2獨立(1)A1A2B2.P(A1)，P(A2)，P(B2).P()P(A1A2B2)P(A1)P(A2B2)P(A1)P(A2)P(B2)×.所以P(A)1P()0.72.(2)X的可能取值為2,3.P(B1)，P(B2)，P(X2)P(B1)，P(X3)P(B2)，所以E(X)2×3×2.4.(文)一、選擇題(6×530分)1從12個同類產(chǎn)品中(其中有10個正品，2個次品)，任意抽取3個，下列事件是必然事件的是()A3個都是正品B至少有一個是次品C3個都是次品 D至少有一個是正品解析：在基本事件空間中，每一個事件中正品的個數(shù)可能是1,2,3個，而不可能沒有答案：D2在20件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取一件，取到正品的概率為()A. B.C. D.解析：從20件產(chǎn)品中任取一件共有20個基本事件，任取一件取到正品的基本事件數(shù)為17，所以概率為.答案：B3在區(qū)間(15,25內(nèi)的所有實數(shù)中隨機取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)滿足17<a<20的概率是()A. B.C. D.解析：a(15,25，P(17<a<20).答案：C4某城市2020年的空氣質(zhì)量狀況如表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率P其中污染指數(shù)T50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T100時，空氣質(zhì)量為良；100<T150時，空氣質(zhì)量為輕微污染該城市2020年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為()A. B.C. D.解析：所求概率為.答案：A5某班準備到效外野營，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是()A一定不會淋雨 B淋雨的可能性為C淋雨的可能性為 D淋雨的可能性為解析：基本事件有“下雨帳篷到”“不下雨帳篷到”“下雨帳篷未到”“不下雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨，故淋雨的可能性為.答案：D6(2020·銀川模擬)把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n，向量p(m，n)，q(2,1)，則向量pq的概率為()A. B.C. D.解析：向量pq，p·q2mn0，n2m，滿足條件的(m、n)有3個：(1,2)，(2,4)，(3,6)，P.答案：B二、填空題(3×515分)7某家庭電話，打進的電話響第一聲時被接的概率為，響第二聲時被接的概率為，響第三聲時被接的概率為，響第四聲時被接的概率為，則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為_解析：設響n聲時被接的概率為Pn，則P1，P2，P3，P4.故前四聲內(nèi)被接的概率為P1P2P3P4.答案：8在區(qū)域內(nèi)任取一點P，則點P落在單位圓x2y21內(nèi)的概率為_解析：區(qū)域為ABC內(nèi)部(含邊界)，則概率為P.答案：93粒種子種在甲坑內(nèi)，每粒種子發(fā)芽的概率為.若坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則不需要補種，若坑內(nèi)的種子都沒有發(fā)芽，則需要補種，則甲坑不需要補種的概率為_解析：因為種子發(fā)芽的概率為，種子發(fā)芽與不發(fā)芽的可能性是均等的若甲坑中種子發(fā)芽記為1，不發(fā)芽記為0，每粒種子發(fā)芽與否彼此互不影響，故其基本事件為(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)，共8種而都不發(fā)芽的情況只有1種，即(0,0,0)，所以需要補種的概率是，故甲坑不需要補種的概率是1.答案：三、解答題(共37分)10(12分)(2020·福建高考)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)依次有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個球(1)試問：一共有多少種不同的結果？請列出所有可能的結果；(2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率解析：(1)一共有8種不同的結果，列舉如下：(紅、紅、紅)、(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(紅、黑、黑)、(黑、紅、紅)、(黑、紅、黑)、(黑、黑、紅)、(黑、黑、黑)(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A.事件A包含的基本事件為：(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(黑、紅、紅)，事件A包含的基本事件數(shù)為3.由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，所以事件A的概率為P(A).11(12分)甲、乙兩人共同拋擲一枚硬幣，規(guī)定硬幣正面朝上甲得1分，否則乙得1分，先積得3分者獲勝，并結束游戲(1)求在前3次拋擲中甲得2分、乙得1分的概率；(2)若甲已經(jīng)積得2分，乙已經(jīng)積得1分，求甲最終獲勝的概率解析：(1)擲一枚硬幣三次，列出所有可能情況共8種：(上上上)，(上上下)，(上下上)，(下上上)，(上下下)，(下上下)，(下下上)，(下下下)；其中甲得2分、乙得1分的情況有3種，故所求概率p.(2)在題設條件下，至多還要2局，情形一：在第四局，硬幣正面朝上，則甲積3分、乙積1分，甲獲勝，概率為；情形二：在第四局，硬幣正面朝下，第五局硬幣正面朝上，則甲積3分、乙積2分，甲獲勝，概率為.由概率的加法公式，甲獲勝的概率為.12(13分)(2020·普寧模擬)一個科研小組有6名成員，其中4名工程師，2名技術員，現(xiàn)要選派2人參加一個學術會議(1)選出的2人都是工程師的概率是多少？(2)若工程師甲必須參加，則有技術員參加這個會議的概率是多少？解析：把4名工程師編號為1、2、3、4，其中工程師甲編號為1；2名技術員編號為5、6，從中任選2人的所有可能結果如下：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6)共15種(1)從6人中選出的2人都是工程師，所包含的基本事件為(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)共6種選出的2人都是工程師的概率是P1.(2)若工程師甲必須參加，且有技術員參加這個會議包括的基本事件是(1,5)、(1,6)，則工程師甲必須參加，且有技術員參加這個會議的概率是P2.